InsyaAllah

Dipublikasi di Info, Matematika, Pendidikan | Meninggalkan komentar

Lanjutan (Tambahan)

Pembagian Suku Banyak dengan Cara Horner-Kino

Anda bisa perhatikan rujukan berikut

Bagannya kurang lebih

\begin{array}{rr|rrrrrr} &&\multicolumn{4}{l}{\textrm{Koefisien-koefisien}}\\ -\displaystyle \frac{c}{a}&&\ast &\ast &&&\\ -\displaystyle \frac{b}{a}&&\ast &&&\ast &+\\\cline{3-6} \end{array}.

\begin{array}{rr|rr|rrr} &&p&q&r&s\\ i&&\ast &\ast &pi&mi&\\\cline{3-6} a&&\ast &pa&ma&\ast&+ \\\cline{3-6} \multicolumn{3}{r}{p}&m&F&G&\\\cline{5-6} \end{array}.

\begin{array}{rr|rrr|rrrr} &&p&q&r&s&t&\\ i&&\ast &\ast &pi&mi&yi\\\cline{3-7} a&&\ast &pa&ma&ya&\ast &+\\\cline{3-7} \multicolumn{3}{r}{p}&m&y&V&W\\\cline{6-7} \end{array}.

Selanjutnya dapat kita tuliskan sebagai berikut:

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textbf{Skema}:&\\ &\\ &\begin{array}{rr|rrrrrr} &&\multicolumn{4}{l}{\textrm{Koefisien-koefisien}}\\ -\displaystyle \frac{c}{a}&&\ast &\ast &&&\\ -\displaystyle \frac{b}{a}&&\ast &&&\ast &+\\\cline{3-6} \end{array}\\ & \end{aligned}}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Bentuk Suku Banyak dan Pembaginya}}\\\hline \begin{aligned}&\\ px^{3}+qx^{2}+rx+s:(ax^{2}+bx+c)&\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ px^{4}+qx^{3}+rx^{2}+sx+t:(ax^{2}+bx+c)&\\ & \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Bagan Horner-Kino}}\\\hline \begin{aligned}&\\ &\begin{array}{rr|rr|rrr} &&p&q&r&s\\ i&&\ast &\ast &pi&mi&\\\cline{3-6} a&&\ast &pa&ma&\ast&+ \\\cline{3-6} \multicolumn{3}{r}{p}&m&F&G&\\\cline{5-6} \end{array}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &\begin{array}{rr|rrr|rrrr} &&p&q&r&s&t&\\ i&&\ast &\ast &pi&mi&yi\\\cline{3-7} a&&\ast &pa&ma&ya&\ast &+\\\cline{3-7} \multicolumn{3}{r}{p}&m&y&V&W\\\cline{6-7} \end{array}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Sebagai Contoh perhatikan kembali pembahasan soal No. 7 m)  sebagai beikut:

\begin{array}{rr|rrrrrr} p=1&&2&0&-3&-1&2\\ &&&2&2&-1&-2&+\\\cline{3-7} q=1&&2&2&-1&-2&\fbox{0}\\ &&&2&4&3&\\\cline{3-7} \multicolumn{3}{r}{2}&4&3&\fbox{1} \end{array}\quad \Rightarrow \begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Pembagi}&\begin{aligned}&\textrm{Sisa}\\ &s_{2}(x-p)+s_{1}\\ &1(x-1)+0=x-1 \end{aligned}\\\cline{2-2} \begin{aligned}(x-p)(x-q)&=(x-1)(x-1)\\ &=(x-1)^{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Hasil bagi}\\ &2x^{2}+4x+3 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Coba bandingkan dengan model Horner-Kino berikut:

\begin{array}{rr|rrr|rrr} &&2&0&-3&-1&2\\ -1&&\ast &\ast &-2&-4&-2&\\\cline{3-7} 2&&\ast &4&8&6&\ast &+\\\cline{3-7} \multicolumn{3}{r}{2}&4&3&1&-1\\\cline{6-7} \end{array}\quad \Rightarrow \begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=2x^{4}-3x^{2}-x+2 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=x^{2}-2x+1 \\ &: -1\: \: \textrm{dari}\: -\frac{1}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 2=-\left ( \frac{-2}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=2x^{2}+4x+3\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=x-1 \end{cases} \\\\ \textrm{Sehingga},\\\\ 2x^{4}-3x^{2}-x+2=\left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( 2x^{2}+4x+3 \right )+x-1.

Misalkan contoh yang lain adalah:

\begin{array}{l}\\ \textrm{Jika diketahui akar-akar persamaan}\: \: x^{2}+4x-5=0\: \: \textrm{juga akar-akar untuk persamaan}\\ 2x^{3}+9x^{2}-6x-5=0,\: \: \textrm{maka akar ketiga untuk persamaan yang kedua adalah}\: ...\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{rr|rr|rrrr} &&2&9&-6&-5&\\ 5&&\ast &\ast &10&5&&\\\cline{3-6} -4&&\ast &-8&-4&\ast &+&\\\cline{3-6} \multicolumn{3}{r}{2}&1&0&0&\\\cline{5-6} \end{array}\quad \Rightarrow \begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=2x^{3}+9x^{2}-6x-5 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=x^{2}+4x-5 \\ &: 5\: \: \textrm{dari}\: -\left (\frac{-5}{1} \right ),\: \: \textrm{sedang}\: \: -4=\left ( \frac{4}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=2x+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=0 \end{cases} \\\\ \textrm{Sehingga},\\\\ 2x^{3}+9x^{2}-6x-5=\left ( x^{2}+4x-5 \right )\left ( 2x+1 \right )\\ \textrm{Jadi, akar yang lain(yang ketiga) adalah}\: \: (2x+1)\Rightarrow x=-\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{SOAL LATIHAN}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a})\quad (x^{7}+3x^{5}+1):(x^{2}-1)\\ \textrm{b})\quad (x^{4}-3x^{3}-5x^{2}+x-6):(x^{2}-x-2)\\ \textrm{c})\quad (2x^{3}+x^{2}-4x+5):(x^{2}+x+1)\\ \textrm{d})\quad (2x^{4}+x^{3}-3x+6):(x^{2}+x+2)\\ \textrm{e})\quad (x^{4}-3x^{2}+7x-4):(x^{2}-2x-1)\\ \textrm{f})\quad (3x^{3}+4x-8):(3x^{2}+x+2) \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\: \: \textrm{bilangan bulat yang menyebabkan}\: \: x^{2}-x-1\: \: \textrm{merupakan faktor dari}\: \: ax^{3}+bx^{2}+1,\\ &\textrm{maka harga}\: \: b\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{A}.&-2&&&\textrm{D}.&1\\ \textrm{B}.&-1&\textrm{C}.&0&\textrm{E}.&2 \end{array}\\ &\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad (\textrm{AHSME 1988})\end{array}.

Sumber Referensi

  1. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, dan Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: Bumi Aksara.
  2. Suparmin, Sukino, Theresia Suli Intan, Yohanes Eric Santiago. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota. Bandung: Yrama Widya.

Dipublikasi di Info, Matematika, Pendidikan | Meninggalkan komentar

Suku Banyak (KTSP MA/SMA Kelas XI)

A. Bentuk Umum

f(x)=\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}.

Selanjutnya,

\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{f(x)=\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}}\\\hline \begin{aligned}a_{n}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n}\\ a_{n-1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-1}\\ a_{n-2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-2}\\ \vdots &\\ a_{2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{2}\\ a_{1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{1}\\ a_{0}&\: \: \textrm{adalah konstanta(suku tetap)} \\\end{aligned}&\begin{aligned}a_{n}\: &\: \neq 0\\ n:&\: \: \textrm{bilangan cacah},\\ :&\: \: \textrm{adalah derajat (pangkat)} \\ &\: \: \textrm{tertinggi dalam suku banyak} \\ &\: \: \textrm{tersebut}\\ &\\ &\end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}&\\ \textrm{Nilai}\: &\: \textrm{suku banyak}\: \: f(x)\: \: \textrm{berderajat n saat}\: \: x = k\: \: \textrm{adalah}\: \: f(k).\\ &\textrm{Jika}\: \: f(k)=0\: \: \textrm{maka}\: \: x = k\: \: \textrm{akar dari}\: \: f(x),\\ &\textrm{dan}\: \: (x-k)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: f(x)\\ &\end{aligned}}\\\hline \end{array}.

B. Pembagian dan Nilai Suku Banyak

Ada 2 cara, yaitu:

  1. Pembagian biasa (cara bersusun atau bentuk panjang)
  2. Metode pembagian sintetis atau pembagian cara Horner dan atau Horner-Kino

Perhatikanlah ilustrasi berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 9801&=&9&\times &1089&+&0\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7} &&&&&&\\ \Downarrow &&\Downarrow &&\Downarrow &&\Downarrow \\ &&&&&&\\ \textrm{yang dibagi}&&\textrm{pembagi}&&\textrm{hasil bagi}&&\textrm{sisa pembagian}\\ &&&&&&\\\hline \end{array}.

Berikut contoh pembagian cara biasa,

\begin{array}{rlllll}\\ \multicolumn{6}{l}{\qquad\qquad\quad \begin{aligned}\textrm{hasil}&\: \: \textrm{bagi}\\ &\Downarrow\\ & \end{aligned}}\\ &x^{2}+5x+3&&&&\\\cline{2-2} x-1\diagup &x^{3}+4x^{2}-2x+4& &\cdots &\Rightarrow&\textrm{yang dibagi}\\ &x^{3}-x^{2}&-&&&\\\cline{2-2} \Uparrow\qquad &\qquad 5x^{2}-2x&&&&\\ &\qquad 5x^{2}-5x&-&&&\\\cline{2-2} \textrm{pembagi}\quad &\qquad\qquad\: \: \: 3x+4&&&&\\ &\qquad\qquad\: \: \: 3x-3&-&&&\\\cline{2-2} &\qquad\qquad\qquad\quad 7& &\cdots &\Rightarrow&\textrm{sisa pembagian}\\ \end{array}.

Jika contoh pembagian cara biasa di atas kita tampilkan dengan model Horner, maka akan berupa ilustrasi sebagai berikut:

\begin{array}{l|l|lllll} \text{x = 1}&&\text{1}&\text{4}&\text{-2}&\text{4}&\\\cline{1-1} \multicolumn{2}{l|}{.}&&&&&\\ \multicolumn{2}{c|}{.}&&1&5&3&+\\\cline{3-6} \multicolumn{3}{r}{.}&&&&\\ \multicolumn{3}{r}{1}&5&3&\fbox{7}&\\ \end{array}.

Perlu diingat di sini bahwa jika f(x) adalah suku banyak berderajat n dan p(x) suku banyak berderajat k dengan  k < n , maka akan menghasilkan hasil bagi h(x) dengan sisa s(x),

f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

dengan derajat h(x) adalah (n – k) dan derajat s(x) kurang dari k.

C. Kesamaan Suku Banyak

Jika dua suku banyak dengan sebuah variabel identik, koefisien-koefisien dari variabel yang bersesuaian derajatnya akan sama.

D. Teorema Sisa dan Teorema Faktor

\begin{aligned}\textrm{Perhatikan skema berikut}:&\\ &f(x)=(x-k).h(x)+s(x)\begin{cases} f(x) &: \text{ suku banyak} \\ (x-k) &: \text{ pembagi atau }p(x) \\ h(x) &: \text{ hasil bagi }\\ s(x) &: \text{ sisa pembagian } \end{cases} \end{aligned}.

Selanjutnya,

\begin{array}{|c|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{f(x)=p(x)\times h(x)+s(x)}\\\hline \textrm{Teorema Sisa}&\textrm{Teorema Faktor}\\\hline \begin{cases} f(x) &:(x-k) \text{ maka} \: \: s(x)=f(k)=c=\textrm{konstanta} \\ f(x) &:(x+k) \text{ maka } \: \: s(x)=f(-k)=c=\textrm{konstanta} \\ f(x) &:(ax-b)\text{ maka }\: \: s(x)=f\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ f(x) &:(ax+b)\text{ maka }\: \: s(x)=f\left ( -\displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ f(x) &:(ax^{2}+bx+c) \text{ maka }\: \: s(x)=px+q\\ f(x) &:(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)\text{ maka }\: \: s(x)=px^{2}+qx+r\\ &dst \end{cases}&\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: f(k)=0,\\ &\textrm{maka}\: \: (x-k)\\ & \textrm{faktor dari}\: \: f(x)\\ &\textrm{dan persamaan}\\ &\textrm{menjadi:}\\ &f(x)=(x-k).h(x)\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebutkanlah nama variabel (peubah), derajat, dan koefisien-koefisien dari tiap-tiap suku banyak berikut}\\ &\textrm{a})\quad 2x^{3}-5x^{2}-10x+6\\ &\textrm{b})\quad x^{3}+4x-2\\ &\textrm{c})\quad 3-2m+7m^{2}-m^{3}\\ &\textrm{d})\quad z^{12}+4z^{8}-z^{6}+z^{4}-5z^{2}+z+6 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\.

\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam variabel}\: \: x\\ &\textrm{berderajat 3, dengan}\\ &\textrm{koefisien}\: \: x^{3}\: \: \textrm{adalah}\: \: 2\\ &\textrm{koefisien}\: \: x^{2}\: \: \textrm{adalah}\: \: -5\\ &\textrm{koefisien}\: \: x\: \: \textrm{adalah}\: \: -10\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{suku tetapnya(konstanta) adalah}\: \: 6 \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam variabel}\: \: x\\ &\textrm{berderajat 3, dengan}\\ &\textrm{koefisien}\: \: x^{3}\: \: \textrm{adalah}\: \: 1\\ &\textrm{koefisien}\: \: x^{2}\: \: \textrm{adalah}\: \: 0\\ &\textrm{koefisien}\: \: x\: \: \textrm{adalah}\: \: 4\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{suku tetapnya(konstanta) adalah}\: \: -2\end{aligned}\\\hline \begin{aligned}\textrm{c})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam variabel}\: \: m\\ &\textrm{berderajat 3, dengan}\\ &\textrm{koefisien}\: \: m^{3}\: \: \textrm{adalah}\: \: -1\\ &\textrm{koefisien}\: \: m^{2}\: \: \textrm{adalah}\: \: 7\\ &\textrm{koefisien}\: \: m\: \: \textrm{adalah}\: \: -2\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{suku tetapnya(konstanta) adalah}\: \: 3\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam variabel}\: \: z\\ &\textrm{berderajat 3, dengan}\\ &\textrm{koefisien}\: \: z^{12}\: \: \textrm{adalah}\: \: 1\\ &\textrm{koefisien}\: \: z^{11}\: \: \textrm{adalah}\: \: 0\\ &\textrm{koefisien}\: \: z^{10}\: \: \textrm{adalah}\: \: 0\: \: \textrm{dan}\\ &\vdots \\ &\textrm{koefisien}\: \: z^{2}\: \: \textrm{adalah}\: \: -5\\ &\textrm{koefisien}\: \: z\: \: \textrm{adalah}\: \: 1\\ &\textrm{suku tetapnya(konstanta) adalah}\: \: 6 \end{aligned} \\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah banyaknya variabel dan derajat dari tiap-tiap suku banyak berikut}\\ &\textrm{a})\quad x^{5}y+xy^{3}+4x-5y+12\\ &\textrm{b})\quad (2x-y)^{4}-(2y-3z)^{3}+(2z-x)^{6}\\ &\textrm{c})\quad a^{5}b^{5}-a^{4}b^{3}+a^{3}b^{2}+a+b^{2}-6\\ &\textrm{d})\quad p^{4}+q^{4}+r^{4}+3pq-5pr+6qr+4 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam 2 variabel, yaitu}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\\ &\textrm{berderajat 5 dalam variabel}\: \: x\\ &\textrm{dan berderajat 3 dalam variabel}\: \: y\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam 3 variabel, yaitu}\: \: x,\: y\: \: \textrm{dan}\: \: z\\ &\textrm{berderajat 6 dalam variabel}\: \: x\\ &\textrm{berderajat 4 dalam variabel}\: \: y\\ &\textrm{dan berderajat 6 dalam variabel}\: \: z \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}\textrm{c})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam 2 variabel, yaitu}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\\ &\textrm{berderajat 5 dalam variabel}\: \: a\\ &\textrm{dan berderajat 5 dalam variabel}\: \: b\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d})\quad &\textrm{adalah suku banyak dalam 3 variabel, yaitu}\: \: p,\: q\: \: \textrm{dan}\: \: r\\ &\textrm{berderajat 4 dalam variabel}\: \: p\\ &\textrm{berderajat 4 dalam variabel}\: \: q\\ &\textrm{dan berderajat 4 dalam variabel}\: \: r \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sederhanakanlah bentuk berikut}!\\ &\textrm{a})\quad (x^{3}+5x^{2}-2x+1)+(x^{3}+x+4)\\ &\textrm{b})\quad (2x^{4}-3x^{2}+4x+3)+(x^{4}-2x^{3}-x-8)\\ &\textrm{c})\quad (x^{5}-7x^{3}+3x)-(3-2x+5x^{2}-2x^{3})\\ &\textrm{d})\quad (3x^{4}+5x^{2}-x)-(x^{4}-2x^{3}+x^{2}-3)\\ &\textrm{e})\quad (2-3x+4x^{2}-5x^{4})-(x^{4}-3x^{3}+5x^{2}+x+2)\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\textrm{a})\quad (x^{3}+5x^{2}-2x+1)+(x^{3}+x+4)=2x^{3}+5x^{2}-x+5\\ &\textrm{b})\quad (2x^{4}-3x^{2}+4x+3)+(x^{4}-2x^{3}-x-8)=3x^{3}-2x^{3}-3x^{2}+3x-5\\ &\textrm{c})\quad (x^{5}-7x^{3}+3x)-(3-2x+5x^{2}-2x^{3})=...x^{5}-...x^{3}-...x^{2}+...x-...\\ &\textrm{d})\quad (3x^{4}+5x^{2}-x)-(x^{4}-2x^{3}+x^{2}-3)=...x^{4}+...x^{3}+...x^{2}-x+...\\ &\textrm{e})\quad (2-3x+4x^{2}-5x^{4})-(x^{4}-3x^{3}+5x^{2}+x+2)=-...x^{4}+...x^{3}-...x^{2}-...x \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah koefisien dari}\\ &\textrm{a})\quad x^{3}\: \: \textrm{pada}\: \: (2x^{2}-1)(x^{2}-2x+1)\\ &\textrm{b})\quad x^{2}\: \: \textrm{pada}\: \: (x^{2}-1)(1-x)(2x+3)\\ &\textrm{c})\quad x^{5}\: \: \textrm{pada}\: \: (x^{2}-2x)^{2}(2x+1)^{3}\\ &\textrm{d})\quad m^{3}\: \: \textrm{pada}\: \: (m-1)(m-2)(2m+3)m^{2}\\ &\textrm{e})\quad y^{3}\: \: \textrm{pada}\: \: (y-1)^{2}(y+2)(3x+1)\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textrm{yang dibahas hanya no 4.a) saja}\\\\ \begin{aligned}\textrm{a})\quad (2x^{2}-1)(x^{2}-2x+1)&=2x^{4}-4x^{3}+2x^{2}-x^{2}+2x-1\\ &=2x^{4}-4x^{3}+x^{2}+2x-1\\ &\: \: \textrm{sehingga koefisien dari}\: \: x^{3}\: \: \textrm{adalah -4} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Dengan metode Horner, tentukanlah nilai suku banyak berikut ini}!\\ &\textrm{a})\quad 4x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-2x+3\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=2\\ &\textrm{b})\quad 2x^{5}+3x^{3}-x+1\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=-3\\ &\textrm{c})\quad 2x^{3}+x^{2}-2x+3\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=\displaystyle \frac{1}{3}\\ &\textrm{d})\quad 5x^{4}+2x^{2}-x+1\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=0,5\\ &\textrm{e})\quad (3x-1)^{2}(x^{2}-2)\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=\displaystyle \frac{3}{2}\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textrm{yang dibahas hanya no. 5.a) saja}\\\\ \begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{f(x)=4x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-2x+3}\\\hline \textrm{Dengan Horner}&\textrm{Substitusi (hanya sebagai pembanding)}\\\hline \begin{aligned}&\\ &\begin{array}{l|l|lrrrrl} \multicolumn{2}{l}{.}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\ \multicolumn{2}{l}{.}&&&&&\\ \text{x = 2}&&\text{4}&\text{-7}&\text{8}&\text{-2}&3&\\\cline{1-1} \multicolumn{2}{l|}{.}&&&&&\\ \multicolumn{2}{c|}{.}&&8&2&20&36&+\\\cline{3-7} \multicolumn{3}{r}{.}&&&&\\ \multicolumn{3}{r}{4}&1&10&18&\fbox{39}\\ \end{array}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}f(2)&=4(2)^{4}-7(2)^{3}+8(2)^{2}-2(2)+3\\ &=64-56+32-4+3\\ &=39\\ \textrm{Sebagai}&\: \: \textrm{catatan bahwa}:\\ &\: \textrm{Polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{tersebut di atas jika dibagi}\: \: (x-2)\\ &\: \textrm{akan bersisa 39} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Hitunglah nilai}\: \: a,\: b,\: c,\: \: \textrm{dan}\: \: d,\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{a})\quad -3x+4\equiv a(x-7)-b(2x-3)\\ &\textrm{b})\quad a(x-1)^{2}-b(x+4)\equiv 2x^{2}-5x-7\\ &\textrm{c})\quad 3x^{2}+2x-5\equiv (ax+1)(x+b)-c(x+1)+2(ab-c)\\ &\textrm{d})\quad x^{4}-8x^{3}+15x-20\equiv x^{4}+ax^{3}+(a+b)x^{2}+(2b-c)x+d\\ &\textrm{e})\quad \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}\equiv \displaystyle \frac{8}{x^{2}+2x-3}\\ &\textrm{f})\quad \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-4}\equiv \displaystyle \frac{3}{x-1}+\frac{20}{x-4}+\frac{x+17}{x^{2}-5x+4}\\ &\textrm{g})\quad \displaystyle \frac{5x-4}{x^{2}-1}\equiv \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x^{2}-1}\\ &\textrm{h})\quad \displaystyle \frac{2x^{2}+x+2}{x^{3}-1}\equiv \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1}\\ &\textrm{i})\quad \displaystyle \frac{3x^{2}+2x-5}{x^{2}+5x+6}\equiv \displaystyle \frac{a(x-3)}{x+3}+\frac{b(x-5)}{x+2}+\frac{4c}{(x+2)(x+3)}\\ &\textrm{j})\quad x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\: \: \textrm{dengan akar-akar}\: \: x_{1}=x_{2}=-1\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}=-3\\ &\textrm{k})\quad x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\: \: \textrm{dengan akar-akar}\: \: 1,\: 2,\: \: \textrm{dan}\: \: 3 \end{array}.

Jawab:

Yang dibahas poin 6. d), yaitu:

\begin{aligned}x^{4}-8x^{3}+15x-20&\equiv x^{4}+ax^{3}+(a+b)x^{2}+(2b-c)x+d\\ \textrm{koefisien}\: \: x^{4}&:\: \: 1=1\\ \textrm{koefisien}\: \: x^{3}&:\: \: -8=a,\: \: \textrm{maka}\: \: a=-8\\ \textrm{koefisien}\: \: x^{2}&:\: \: 0=a+b,\: \: \textrm{maka}\: \: b=-a=-(-8)=8\\ \textrm{koefisien}\: \: x^{1}&:\: \: 15=2b-c,\: \: \textrm{maka}\: \: c=2b-15=2(8)-15=1\\ \textrm{koefisien}\: \: x^{0}&:\: \: -20=d,\: \: \textrm{maka}\: \: d=-20\\ \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a})\quad (3x^{3}-2x^{2}+x-4):(x-1)&\textrm{k})\quad (x^{7}+3x^{5}+1):(x^{2}-1)\\ \textrm{b})\quad (2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-5x+3):(x-2)&\textrm{l})\quad (x^{4}-3x^{3}-5x^{2}+x-6):(x^{2}-x-2)\\ \textrm{c})\quad (3-x+4x^{2}-x^{3}):(x-3)&\textrm{m})\quad (2x^{4}-3x^{2}-x+2):(x^{2}-2x+1)\\ \textrm{d})\quad (x^{4}-x^{2}+11):(x+4)&\textrm{n})\quad (3x^{6}+4x^{4}-2x-1):(x-1)(x^{2}-4)\\ \textrm{e})\quad (x^{3}-10x+9):(x+5)&\textrm{o})\quad (x^{4}-4x^{3}+2x^{2}-x+1):(2x+1)(x^{2}-3x+2)\\ \textrm{f})\quad (2x^{3}-5x^{2}-11x+8):(3x+1)&\textrm{p})\quad (x^{7}-7x^{4}+3x):(x^{3}-4x)\\ \textrm{g})\quad (5x^{3}+11x^{2}+7x-4):(5x+1)&\textrm{q})\quad (2x^{3}+x^{2}-4x+5):(x^{2}+x+1)\\ \textrm{h})\quad (2x^{3}+5x^{2}-4x+5):(2x+3)&\textrm{r})\quad (2x^{4}+x^{3}-3x+6):(x^{2}+x+2)\\ \textrm{i})\quad (2x^{3}+7x^{2}-5x+4):(2x-1)&\textrm{s})\quad (x^{4}-3x^{2}+7x-4):(x^{2}-2x-1)\\ \textrm{j})\quad (6x^{3}-x^{2}+3):(2x-3)&\textrm{t})\quad (3x^{3}+4x-8):(3x^{2}+x+2) \end{array} \end{array}.

Jawab:

Yang dibahas No. 7. i)

\begin{array}{l|l|lrrrrl} \multicolumn{2}{l}{.}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&\\ \multicolumn{2}{l}{.}&&&&&\\ x=\displaystyle \frac{1}{2}&&\text{2}&\text{7}&\text{-5}&\text{4}&&\\\cline{1-1} \multicolumn{2}{l|}{.}&&&&&\\ \multicolumn{2}{c|}{.}&&1&4&-\displaystyle \frac{1}{2}&&+\\\cline{3-7} \multicolumn{3}{r}{.}&&&&\\ \multicolumn{3}{r}{2}&8&-1&\boxed{\frac{7}{2}}&\\ \end{array} \quad \Rightarrow \begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Pembagi}&\begin{aligned}&\textrm{Sisa}\\ &s(x)=\displaystyle \frac{7}{2} \end{aligned}\\\cline{2-2} \begin{aligned}&2x-1=2(x-\frac{1}{2}) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Hasil bagi}\\ &\displaystyle \frac{h(x)}{2}=\frac{2x^{2}+8x-1}{2}=x^{2}+4x-\frac{1}{2}\ \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Sementara untuk No. 7. m)

\begin{array}{rr|rrrrrr} p=1&&2&0&-3&-1&2\\ &&&2&2&-1&-2&+\\\cline{3-7} q=1&&2&2&-1&-2&\fbox{0}\\ &&&2&4&3&\\\cline{3-7} \multicolumn{3}{r}{2}&4&3&\fbox{1} \end{array}\quad \Rightarrow \begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Pembagi}&\begin{aligned}&\textrm{Sisa}\\ &s_{2}(x-p)+s_{1}\\ &1(x-1)+0=x-1 \end{aligned}\\\cline{2-2} \begin{aligned}(x-p)(x-q)&=(x-1)(x-1)\\ &=(x-1)^{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Hasil bagi}\\ &2x^{2}+4x+3 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Untuk jawaban No. 7 .m), jika ingin diselesaikan dengan cara pembagian Horner-Kino lihat di sini

E. Penyelesaian Persamaan Suku Banyak

  1. Akar-akar rasional suku banyak
  2. Jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak

Keterangan

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Akar-akar rasional}}&\textrm{Jumlah dan hasil kali}\\\hline \textrm{Faktor linear}&\textrm{Pemilihan}\: x=h&\textrm{Polinom berderajat}\: \: 3\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: (x-h)\: \textrm{adalah faktor}\\ &\textrm{dari}\: f(x)\: \textrm{maka}\: f(h)=0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}1.\: \: &\textrm{Misalkan suku banyak} \\ &f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}.\\ &\textrm{Jika}\: \: r\: \: \textrm{adalah faktor dari}\: \: a_{0}\\ &\textrm{dan}\: \: s\: \: \textrm{faktor dari}\: \: a_{n},\: \textrm{maka akar rasional}\\ &\textrm{yang mungkin adalah}\: \: h=\displaystyle \frac{r}{s}.\\ 2.\: \: &\textrm{Jika ditemukan suatu akar}\: x=h_{1},\\ &\textrm{maka hasil bagi}\: \: f(x)\: \textrm{oleh}\: \: (x-h_{1})\\ &\textrm{adalah}\: \: h_{1}(x)\: \textrm{dan jika dimungkinkan}\\ &\textrm{carilah}\: \: x=h_{2}\: \textrm{demikian seterusnya} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: x_{1},\: x_{2},\: \textrm{dan}\: \: x_{3}\\ &\textrm{adalah akar-akar persamaan}\\ &ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\\ &\textrm{maka},\\ &ax^{3}+bx^{2}+cx+d\equiv (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\\ &x^{3}+\displaystyle \frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\\ &\: \: \equiv x^{3}-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+(x_{1}x_{2}\\ &\: \: \: +x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-(x_{1}x_{2}x_{3})\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{LANJUTAN CONTOH SOAL}}.

\begin{array}{lll}\\ 8&\textrm{a})&\textrm{Diketahui akar-akar persamaan}\: \: x^{3}-12x^{2}+28x+p=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x_{1},x_{2},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}.\: \: \textrm{Jika}\: \: x_{1}=x_{2}+x_{3},\\ &&\textrm{tentukan nilai}\: \: p\: \: \textrm{dan akar-akarnya}!\\ &\textrm{b})&\textrm{Diketahui akar-akar persamaan}\: \: x^{3}-6x^{2}+ax-6=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x_{1},x_{2},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}.\: \: \textrm{Jika}\: \: x_{1},x_{2},x_{3}\\ &&\textrm{membentuk deret aritmetika, Carilah nilai}\: \: a\: \: \textrm{dan akar-akarnya}!\\ &\textrm{c})&\textrm{Diketahui akar-akar persamaan}\: \: x^{3}+qx^{2}-6x+8=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x_{1},x_{2},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}.\: \: \textrm{Jika}\: \: x_{1},x_{2},x_{3}\\ &&\textrm{membentuk deret geometri, Carilah nilai}\: \: q\: \: \textrm{dan akar-akarnya}!\\ &\textrm{d})&\textrm{Akar-akar persamaan}\: \: x^{3}-14x^{2}+px+q=0\: \: \textrm{merupakan deret geometri dengan rasio 2},\\ &&\textrm{tentukan harga}\: \: p+q!\\ &\textrm{e})&\textrm{Akar-akar persamaan}\: \: x^{4}-8x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\: \: \textrm{merupakan deret aritmetika dengan beda 2},\\ &&\textrm{tentukan nilai}\: \: a^{2}-2ab+c^{2}!\\ &\textrm{f})&\textrm{Jika diketahui}\: \: x^{3}+px^{2}+qx+r=0\: \: \textrm{sama dengan akar-akar persamaan}\\ &&x^{3}+rx^{2}+(p-q+16)x+p+3q-r-15=0\: \: \textrm{dikurangai 1},\: \: \textrm{maka carilah nilai}\: \: p,\: q,\: r,\: \: \textrm{dan akar-akarnya} \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Untung Setiyadi. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: Intan Pariwara.
  2. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, dan Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: Bumi Aksara.
  3. Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: Erlangga.

Dipublikasi di Info, Matematika, Pendidikan | Meninggalkan komentar

Met Tahun Baru 2017

Dipublikasi di Uncategorized | Meninggalkan komentar

InsyaAllah

Dipublikasi di Uncategorized | Meninggalkan komentar

Lanjutan Contoh Soal Transformasi Geometri

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Sebuah transformasi dengan}\: \: {x}'=2x+3y\: \: \textrm{dan}\: \: {y}'=3x+2y.\\ &\textrm{Peta titik}\: \: A(2,-1)\: \: \textrm{oleh transformasi tersebut adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (7,10)&&\textrm{d}.\quad (1,10)\\ \textrm{b}.\quad (10,7)&\textrm{c}.\quad (1,4)&\textrm{e}.\quad (4,1) \end{array}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{c}\\\\ \begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{cases} {x}' & =2x+3y \\\\ {y}' & =3x+2y \end{cases}}\\\hline \begin{aligned}A(x,y)&\rightarrow {A}'({x}',{y}')\\ A(2,-1)&\rightarrow {A}'(1,4) \end{aligned}&\begin{aligned}{A}'({x}',{y}')&={A}'(2x+3y,\, 3x+2y)\\ &={A}'(2.2+3(-1),\, 3(2)+2(-1))\\ &={A}'(4-3,\, 6-2)\\ &={A}'(1,4) \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Dipublikasi di Info, Matematika, Pendidikan | Meninggalkan komentar

Lanjutan Contoh Soal Vektor 2

\begin{array}{ll}\\ \fbox{11}.&\textrm{Jika}\: \: \angle \left ( \vec{a},\vec{b} \right )=60^{\circ},\: \: \left |\vec{a} \right |=4\: \: \textrm{dan}\: \: \left |\vec{b} \right |=3,\: \: \textrm{maka}\: \: \vec{a}(\vec{a}-\vec{b})\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 2&&\textrm{d}.\quad 8\\ \textrm{b}.\quad 4&\textrm{c}.\quad 6&\textrm{e}.\quad 10\end{array}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{e}\\\\ \begin{aligned}\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})&=\vec{a}.\vec{a}-\vec{a}.\vec{b}\\ &=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{a} \right |\cos 0^{\circ}-\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\cos 60^{\circ}\\ &=\left | \vec{a} \right |^{2}-\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |.\displaystyle \frac{1}{2}\\ &=4^{2}-4.3.\displaystyle \frac{1}{2}\\ &=16-6\\ &=10 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{12}.&\textrm{Jika}\: \: \overline{OA}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix},\: \overline{OB}=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix},\: \textrm{dan}\: \: \theta =\angle \left ( \overline{OA},\: \overline{OB} \right ),\: \textrm{maka}\: \: \tan \theta =....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{3}{5}&&\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{4}{3}\\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{9}{16}&\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{3}{4}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{16}{9} \end{array} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{c}\\\\ \begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}\cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}\sqrt{4^{2}+2^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{4+4}{\sqrt{5}.\sqrt{20}}\\ &=\displaystyle \frac{8}{10} \end{aligned}&\begin{aligned}\sin \theta &=\sqrt{1-\cos ^{2}\theta }\\ &=\sqrt{1-\left ( \displaystyle \frac{8}{10} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{36}{100}}\\ &=\displaystyle \frac{6}{10}\\ & \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\tan \theta &=\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }\\ &=\displaystyle \frac{\frac{6}{10}}{\frac{8}{10}}\\ &=\displaystyle \frac{3}{4} \end{aligned}}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{13}.&\textrm{Jika}\: \: \vec{a}=\begin{pmatrix} 2\\ -5 \end{pmatrix},\: \vec{b}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix},\: \textrm{maka proyeksi skalar ortogonal vektor}\: \vec{a}\: \: \textrm{pada}\: \: \vec{b}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{3}{5}&&\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{9}{5}\\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{7}{5}&\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{8}{5}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{10}{5} \end{array} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{b}\\\\ \begin{aligned}\left | \vec{p} \right |&=\displaystyle \frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left | \vec{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 2\\ -5 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{8+(-15)}{\sqrt{25}}\\ &=\left | \displaystyle \frac{-7}{5} \right |\\ &=\displaystyle \frac{7}{5} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{14}.&\textrm{Vektor satuan untuk}\: \: \vec{a}=\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}\: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}&&\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{7}\sqrt{7}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}\\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}&\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{5}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{21}\sqrt{21}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix} \end{array}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{e}\\\\ \begin{aligned}\textrm{Vektor satuan}\: \: \vec{a}&\: \: \textrm{adalah}\: \: \vec{e}_{\vec{a}},\: \textrm{yaitu}:\\ \vec{e}_{\vec{a}}&=\displaystyle \frac{\vec{a}}{\left | \vec{a} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+4^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{21}\sqrt{21}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{15}.&\textrm{Jika diketahui}\: \: \left | \vec{a} \right |=4\sqrt{3},\: \left | \vec{b} \right |=5,\: \textrm{ dan}\: \: \left ( \vec{a}+\vec{b} \right ).\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )=13,\: \: \textrm{maka}\: \: \angle \left ( \vec{a},\: \vec{b} \right )=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle 30^{\circ}&&\textrm{d}.\quad \displaystyle 135^{\circ}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 60^{\circ}&\textrm{c}.\quad \displaystyle 120^{\circ}&\textrm{e}.\quad \displaystyle 150^{\circ} \end{array}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{e}\\\\ \begin{aligned}\left ( \vec{a}+\vec{b} \right ).\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )&=13\\ \vec{a}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{b}+\vec{b}.\vec{a}+\vec{b}.\vec{b}&=13\\ \left | \vec{a} \right |^{2}+2\vec{a}.\vec{b}+\left | \vec{b} \right |^{2}&=13,\qquad \textrm{ingat bahwa}\: \: \vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a}\\ \left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}+2\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\cos \angle \left ( \vec{a},\: \vec{b} \right )+5^{2}&=13\\ 48+2.(4\sqrt{3}).5.\cos \angle \left ( \vec{a},\: \vec{b} \right )+25&=13\\ 40\sqrt{3}\cos \angle \left ( \vec{a},\: \vec{b} \right )&=13-25-48\\ \cos \angle \left ( \vec{a},\: \vec{b} \right )&=\displaystyle \frac{-60}{40\sqrt{3}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &=-\cos 30\\ &=\cos \left ( 180^{\circ}-30^{\circ} \right )\\ \cos \angle \left ( \vec{a},\: \vec{b} \right )&=\cos 150^{\circ}\\ \angle \left ( \vec{a},\: \vec{b} \right )&=150^{\circ} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{16}.&\textrm{Jika diketahui titik}\: \: A(2,-1,4),\: B(4,1,3),\: \textrm{ dan}\: \: C(2,0,5),\: \: \textrm{maka}\: \: \sin \angle \left ( \overline{AB},\: \overline{AC} \right )=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{7}\sqrt{5}&&\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{3}\\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{34}&\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{2}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{2} \end{array}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{b}\\\\ \begin{aligned}\cos \angle \left ( \overline{AB},\: \overline{AC} \right )&=\displaystyle \frac{\overline{AB}.\, \overline{AC}}{\left | \overline{AB} \right |.\left | \overline{AC} \right |} \\ &=\displaystyle \frac{(\vec{b}-\vec{a}).(\vec{c}-\vec{a})}{\sqrt{x^{2}_(\vec{b}-\vec{a})+y^{2}_(\vec{b}-\vec{a})+z^{2}_(\vec{b}-\vec{a})}.\sqrt{x^{2}_(\vec{c}-\vec{a})+y^{2}_(\vec{c}-\vec{a})+z^{2}_(\vec{c}-\vec{a})}} \\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 4-2\\ 1+1\\ 3-4 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2-2\\ 0+1\\ 5-4 \end{pmatrix}}{\sqrt{(4-2)^{2}+(1+1)^{2}+(3-4)^{2}}.\sqrt{(2-2)^{2}+(0+1)^{2}+(5-4)^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{2.0+2.1+-1.1}{\sqrt{4+4+1}.\sqrt{0+1+1}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{2} \end{aligned}.

\begin{aligned}\textrm{Sehingga},\qquad \qquad &\\ \sin \angle \left ( \overline{AB},\: \overline{AC} \right )&=\sqrt{1-\cos ^{2}\angle \left ( \overline{AB},\: \overline{AC} \right )}\\ &=\sqrt{1-\left ( \displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{2} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{1-\displaystyle \frac{2}{36}}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{34}{36}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{34} \end{aligned}.

 

Dipublikasi di Info, Matematika, Pendidikan | Meninggalkan komentar