Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma (Kelas X Peminatan)

Sebelumnya mari kita buka juga ke arsip lama berikut :

  • di sini 1 (materi fungsi, gunakan yang berkaitan dengan konsep fungsinya saja)
  • di sini 2 (materi eksponen/pangkat dan sifat-sifatnya serta contoh penggunaannya)
  • di sini 3 (operasi bentuk akar/pangkat bentuk rasional/pecahan)
  • di sini 4 (materi logaritma, sifat-sifatnya serta contoh penggunaannya)
  • di sini 5 (contoh soal-jawab ekponen/pangkat)
  • di sini 6 (materi dan contoh soal-jawab tentang ekponen dan fungsi eksponen serta logaritma)
  • di sini 7 (kumpulan contoh soal 1)
  • di sini 8 (kumpulan contoh soal 2)
  • di sini 9 (kumpulan contoh soal 3)
  • di sini 10 (kumpulan contoh soal 4)
  • di sini 11 (kumpulan contoh soal 5-logaritma)
  • di sini 12 (kumpulan contoh soal 6)
  • di sini 13 (kumpulan contoh soal 7-logaritma)
  • di sini 14 (contoh soal 1 disertai materi-KTSP 2006 kelas XII)
  • di sini 15 (contoh soal 2 disertai materi-KTSP 2006 kelas XII)
  • di sini 16 (contoh soal 3 disertai materi-KTSP 2006 kelas XII)
  • di sini 17 (kumpulan contoh 1 soal-K13 kelas X sebelum revisi)
  • di sini 18 (kumpulan contoh 2 soal-K13 kelas X sebelum revisi)
  • di sini 19 (contoh soal-jawab K13 kelas X revisi)

A. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Operasi bilangan berpangkat

\begin{array}{ll}\\ \multicolumn{2}{l}{\begin{aligned}\textrm{Yang}&\: \, \textrm{perlu diperhatikan untuk bilangan berpangkat/eksponen adalah}:\\ &\LARGE a^{m}=\displaystyle \underset{m\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\: \: ...\: \times a}}\\ &\bullet \: \: \: \: a^{m}\quad \textrm{disebut bilangan berpangkat}\\ &\bullet \: \: \: \: a\qquad \textrm{disebut bilangan pokok},\\ &\bullet \: \: \: \: n\qquad \textrm{disebut pangkat(eksponen)}\\ \textrm{Dan}\: \, &\textrm{sifat-sifat operasi bilangan berpangkat adalah sebagai berikut :} \end{aligned}}\\ 1.&a^{m}\times a^{n}=a^{(m+n)}\\ 2.&a^{m}\times b^{m}=(a\times b)^{m}\\ 3.&\displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{(m-n)},\quad a\neq 0\\ 4.&\displaystyle \frac{a^{m}}{b^{m}}=\left ( \displaystyle \frac{a}{b} \right )^{m},\quad b\neq 0\\ 5.&\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{(m\times n)}\\ 6.&a^{-m} =\displaystyle \frac{1}{a^{m}}, \: dan\: \: a^{m}=\displaystyle \frac{1}{a^{-m}},\quad a\neq 0\\ 7.&a^{1}=a\\ 8.&a^{0}=1,\quad \textrm{dengan}\: \: a\neq 0 \end{array}.

penjelasan untuk sifat di atas, di antaranya sebagai berikut :

\begin{aligned}\textbf{a}^{\textbf{m}}\: \times \: \textbf{a}^{\textbf{n}}&=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\textbf{a}\times \textbf{a}\times \textbf{a}\times \textbf{a}\: \: ...\: \times \textbf{a}}}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\qquad\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: \qquad\qquad}}\\\\ &=\textbf{a}^{^{\textbf{...}}} \end{aligned}.

Sebagai misal

\begin{aligned}3^{2019}\: \times \: 3^{2020}&=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{3\times 3\times 3\times 3\: \: ...\: \times 3}}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\qquad\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: \qquad\qquad}}\\\\ &=...^{\: ^{...}} \end{aligned}.

dan untuk

\begin{aligned}\displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}&=\displaystyle \frac{\overset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\overset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\qquad\: \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\: \qquad}}\: \: \times \: \: \overset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\qquad \: \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\: \qquad}}}}}{\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\qquad\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: \qquad\qquad}}}\\\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: \qquad}}\\\\ &=\textbf{...}^{^{\textbf{...}}} \end{aligned}.

Sebagai contohnya adalah

\begin{aligned}\textbf{5}^{\textbf{2034}}\: : \: \textbf{5}^{\textbf{17}}&=\displaystyle \frac{\overset{2034\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\overset{2017\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\qquad\: \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\: \qquad}}\: \: \times \: \: \overset{17\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\qquad \: \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\: \qquad}}}}}{\displaystyle \underset{17\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\qquad\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: \qquad\qquad}}}\\\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: \qquad}}\\\\ &=\textbf{...}^{^{\textbf{...}}} \end{aligned}.

Selanjutnya

\begin{aligned}\left ( \textbf{b}^{\textbf{m}} \right )^{\textbf{n}}&=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\left ( \textbf{b}^{\textbf{m}} \right )\times \left ( \textbf{b}^{\textbf{m}} \right )\times \left ( \textbf{b}^{\textbf{m}} \right )\times \left ( \textbf{b}^{\textbf{m}} \right )\: \: ...\: \times \left ( \textbf{b}^{\textbf{m}} \right )}}\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times ...\times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\\\\ &=\textbf{b}^{^{\textbf{...}}} \end{aligned}.

Untuk contohnya sebagai berikut

\begin{aligned}\left ( \textbf{4}^{\textbf{5}} \right )^{\textbf{2019}}&=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\left ( \textbf{4}^{\textbf{5}} \right )\times \left ( \textbf{4}^{\textbf{5}} \right )\times \left ( \textbf{4}^{\textbf{5}} \right )\times \left ( \textbf{4}^{\textbf{5}} \right )\: \: ...\: \times \left ( \textbf{4}^{\textbf{5}} \right )}}\\\\ &=\displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \times ...\times \: \: \: \displaystyle \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\: \: \qquad\begin{matrix} .\: .\: .\\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\: \: \: \\ \end{matrix}\qquad\: \: }}\\\\ &=\textbf{4}^{^{\textbf{...}}} \end{aligned}.

Dan

\begin{aligned}\left ( \textbf{p}\: \times \: \textbf{q} \right )^{\textbf{n}}&=\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\left ( \textbf{p}\: \times \: \textbf{q} \right )\times \left ( \textbf{p}\: \times \: \textbf{q} \right )\times \left ( \textbf{p}\: \times \: \textbf{q} \right )\times ...\times \left ( \textbf{p}\: \times \: \textbf{q} \right )}}\\\\ &=\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad }}\: \: \: \times \: \: \: \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad }} \\\\ &=... \end{aligned}.

Dan contohnya adalah

\begin{aligned}\left ( \textbf{9}\: \times \: \textbf{8} \right )^{\textbf{2019}}&=\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\left ( \textbf{9}\: \times \: \textbf{8} \right )\times \left ( \textbf{9}\: \times \: \textbf{8} \right )\times \left ( \textbf{9}\: \times \: \textbf{8} \right )\times ...\times \left ( \textbf{9}\: \times \: \textbf{8} \right )}}\\\\ &=\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad }}\: \: \: \times \: \: \: \underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad \begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad }} \\\\ &=... \end{aligned}.

Berikutnya

\begin{aligned}\left ( \displaystyle \frac{\textbf{p}}{\textbf{q}} \right )^{\textbf{n}}&=\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\left ( \displaystyle \frac{\textbf{p}}{\textbf{q}} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{\textbf{p}}{\textbf{q}} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{\textbf{p}}{\textbf{q}} \right )\times ...\times \left ( \displaystyle \frac{\textbf{p}}{\textbf{q}} \right )}}\\\\ &=\displaystyle \frac{\overset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\qquad\qquad\begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad\qquad}}}{\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\qquad\begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad\qquad}}}\\\\ &=... \end{aligned}.

Contohnya

\begin{aligned}\left ( \displaystyle \frac{\textbf{3}}{\textbf{5}} \right )^{\textbf{2019}}&=\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\left ( \displaystyle \frac{\textbf{3}}{\textbf{5}} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{\textbf{3}}{\textbf{5}} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{\textbf{3}}{\textbf{5}} \right )\times ...\times \left ( \displaystyle \frac{\textbf{3}}{\textbf{5}} \right )}}\\\\ &=\displaystyle \frac{\overset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{\qquad\qquad\begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad\qquad}}}{\underset{...\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{\qquad\qquad\begin{matrix} ...\\ \end{matrix}\qquad\qquad}}}\\\\ &=... \end{aligned}.

Untuk bentuk

\begin{aligned}\displaystyle \frac{\textbf{a}^{\textbf{m}}}{\textbf{a}^{\textbf{n}}}&=\displaystyle \frac{\overset{\textbf{m}\: \: \: \textbf{faktor}}{\overbrace{a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times ...\times a}}}{\underset{\textbf{n}\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times ...\times a}}},\quad \textnormal{dengan}\quad \textbf{m}< \textbf{n}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\underset{\textbf{(n - m)}\: \: \: \textbf{faktor}}{\underbrace{a\times a\times a\times a\times \times a\times ...\times a}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\textbf{a}^{\textbf{(n - m)}}},\qquad \textnormal{hal ini juga berarti}\\\\ &=\textbf{a}^{\textbf{(m - n)}}\\\\ &\qquad \textrm{yang perlu diingat bilangan dasar sama}\\\\ &\qquad \textrm{sehingga}\\\\ \textbf{a}^{\textbf{- p}}&=\displaystyle \frac{1}{\textbf{a}^{\textbf{p}}} \end{aligned}.

Contohnya

\begin{aligned}\displaystyle \frac{a^{6}b^{-4}c^{-1}d^{19}}{p^{7}q^{-3}r^{-1}s^{84}}&=\displaystyle \frac{a^{6}d^{19}b^{-4}c^{-1}}{p^{7}s^{84}q^{-3}r^{-1}}\\ &=\displaystyle \frac{a^{6}d^{19}}{p^{7}s^{84}}\times \displaystyle \frac{b^{-4}}{1}\times \displaystyle \frac{c^{-1}}{1}\times \displaystyle \frac{1}{q^{-3}}\times \frac{1}{r^{-1}}\\ &=\displaystyle \frac{a^{6}d^{19}}{p^{7}s^{84}}\times \frac{1}{b^{4}}\times \frac{1}{c^{1}}\times \frac{q^{3}}{1}\times \frac{r^{1}}{1}\\ &=\displaystyle \frac{a^{6}d^{19}q^{3}r^{1}}{b^{4}c^{1}p^{7}s^{84}} \\ &=\displaystyle \frac{a^{6}d^{19}q^{3}r}{b^{4}cp^{7}s^{84}}\\\\ &\qquad \textrm{perhatikanlah hasil akhir c berpangkat satu yang semula pangakt negatif 1},\\ &\qquad \textrm{sambil Anda perhatikan posisinya juga tentunya yaitu dari posisi pembilang berubah menjadi penyebut}.\\ &\qquad \textrm{Demikian pula r yang semual berpangkat negatif 1 berubah menjadi berpangkat positif satu}\\ &\qquad \textrm{dan posisinya berapada pada posisi pembilang}. \end{aligned}.

Perhatikan pula untuk bentuk

\begin{aligned}\displaystyle \frac{\textbf{b}^{m}}{\textbf{b}^{m}}&=1\\ \textrm{atau}&\\ 1&=\displaystyle \frac{\textbf{b}^{m}}{\textbf{b}^{m}}\\ 1&=\displaystyle \frac{\textbf{b}^{m}}{1}\times \frac{1}{\textbf{b}^{m}}\\ 1&=\textbf{b}^{m}\times \textbf{b}^{-m}\\ 1&=\textbf{b}^{(m - m)}\\ 1&=\textbf{b}^{0},\qquad\quad \textrm{dengan}\: \: b\neq 0 \end{aligned}.

B. Bilangan Eksponen Yang Berpangkat Berupa Fungsi

\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Bentuk}&\textrm{Syarat}\\\hline 1.&a^{f(x)}=1&a\neq 0,\quad \textrm{maka}\: \: f(x)=0\\\hline 2.&a^{f(x)}=a^{p}&a>0,\: \: a\neq 1,\quad \textrm{maka}\: \: f(x)=p\\\hline 3.&a^{f(x)}=a^{g(x)}&a>0,\: \: a\neq 1,\quad \textrm{maka}\: \: f(x)=g(x)\\\hline 4.&a^{f(x)}=b^{f(x)}&a\neq 0,\: b\neq 0\: ,\quad \textrm{maka}\: \: f(x)=0\\\hline 5.&f(x)^{g(x)}=1&\begin{cases} f(x)=1 & \\ g(x)=0, & \textrm{jika}\: \: f(x)\neq 0 \\ f(x)=-1, & \textrm{jika}\: \: g(x)=\: \textrm{genap} \end{cases}\\\hline 6.&f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}&\begin{cases} (i).\quad g(x)=h(x)& \\ (ii).\quad f(x)=1& \\ (iii).\quad f(x)=0,&g(x)>0,\: \: h(x)>0 \\ (iv).\quad f(x)=-1,&g(x)\: \textrm{dan}\: h(x)\: \: \\ &\textrm{keduanya ganjil atau genap} \end{cases}\\\hline 7.&g(x)^{f(x)}=h(x)^{f(x)}&\begin{cases} (i).\quad g(x) =h(x)& \\ (ii).\quad f(x)=0, & g(x)\neq 0,\: h(x)\neq 0 \end{cases}\\\hline 8.&A\left ( a^{f(x)} \right )^{2}+B\left ( a^{f(x)} \right )+C=0&a>0,\: \: a\neq 1\\\hline \end{array}.

 

 

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s