Vektor (Kelas X Peminatan Matematika dan IA)

Dari arsip lama

Materi

1. Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki besar/panjang dan memiliki arah. Secara geometri vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Sebagai ilustrasi

Perhatikan salah satu ruas garis berarah pada gambar di atas, misal ruas garis berarah AB, dengan titik pangkal A dan titik ujungnya adalah B yang menyatakan sebagai vektor  \overrightarrow{AB} .

Berikut adalah cara penulisan notasi vektor

  • Dengan menggunakan dua huruf kapital yang ditasnya ada anak panah \overrightarrow{AB}  .
  • Dengan menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada ruas garis, misal  \overline{AB}  .
  • Dengan menggunakan sebuah huruf kecil yang dicetak tebal, misal  \textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \textrm{dst}  .
  • Dengan menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya ada, anak panah, Sebagai misal  \overrightarrow{a},\: \overrightarrow{b},\: \overrightarrow{c},\: \textrm{dst}  .
  • Dengan menggunakan huruf kecil yang di atas atau di bawahnya ada ruas garis. Sebagai contoh :  \overline{a},\: \overline{b},\: \overline{c},\: ...\: \textrm{atau}\: \underline{a},\: \underline{b},\: \underline{c},\: ...\: \textrm{dst}  .

2. Vektor di  \Large{\textbf{R}^{2}}  dan  \Large{\textbf{R}^{3}}.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

\begin{array}{|p{2.0cm}|c|c|}\hline &\multicolumn{2}{c|}{\textrm{Vektor}}\\\cline{2-3}\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{\: \: Nama} &\textbf{R}^{2}&\textbf{R}^{3}\\\hline Vektor Satuan&\textrm{Bidang XY}&\textrm{Ruang (Bidang XYZ)}\\\cline{2-3} &\begin{cases} i= &\textrm{vektor satuan} \\ &\textrm{yang searah sumbu X}\\ j= &\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{yang searah sumbu Y} \end{cases} &\begin{cases} i= &\textrm{vektor satuan} \\ &\textrm{yang searah sumbu X}\\ j= &\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{yang searah sumbu Y}\\ k=&\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{searah sumbu Z} \end{cases} \\\cline{2-3} &\multicolumn{2}{|l|}{\textrm{Selanjutnya vektor satuan tersebut merupakan vektor basis bidang maupun ruang}}\\\cline{2-3} &\multicolumn{2}{|c|}{\hat{e}_{\vec{p}}=\displaystyle \frac{\vec{p}}{\left | \vec{p} \right |}}\\\hline Besar Vektor&\left | \vec{p} \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}&\left | \vec{p} \right |=\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}\\\hline Vektor Nol&\multicolumn{2}{|l|}{\textrm{Vektor yang panjangnya 0 dan arahnya sembarang}}\\\cline{2-3} &\overrightarrow{O}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}&\overrightarrow{O}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\\\hline Vektor Posisi&\multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}&\textrm{Vektor yang titik pangkalnya berada di titik pangkal koordinat}\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi gambar di atas} \end{aligned}}\\\cline{2-3} &\overrightarrow{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}&\overrightarrow{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix} p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{pmatrix}\\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tuliskan vektor}\: \: \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 5\\ -4 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dalam}\: \: \vec{i}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{j}\: \textrm{ dan gambarkan pula vektornya}\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\overrightarrow{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix} 5\\ -4 \end{pmatrix}=5\vec{i}-4\vec{j}\\\\ &\textrm{Sebagai ilustrasi, perhatikanlah gambar berikut ini} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut}\\ \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ .\: \quad&\textrm{a}.\quad \textrm{Nyatakan vektor pada gambar di atas secara aljabar}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tentukanlah besar vektor di atas}\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 4, &3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{atau}\: \: \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad &\textrm{Besar vektor}\: \: \overrightarrow{OP}\: \: \textrm{adalah}\: \: \left | \overrightarrow{OP} \right |,\: \textrm{di mana}\\ &\left | \overrightarrow{OP} \right |=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\ &\textrm{Jadi, besar vektor}\: \: \overrightarrow{OP}\: \: \textrm{adalah 5 satuan}\end{aligned} \end{array}.

3. Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor atau lebih akan dikatakan sama jika beberapa vektor tersebut memiliki arah dan besar yang sama.

Secara definisi misal vektor  \vec{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}  dan  \vec{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}. Jika  vektor  \vec{a}  sama dengan vektor  \vec{b}  , maka dapat dituliskan dengan  \vec{a}=\vec{b}.

4. Lawan Suatu Vektor

Dua buah vektor atau lebih dikatakan lawan dari vektor lainnya jika vektor tersebut memiliki besar yang sama, tetapi memiliki arah yang berlawanan. Sehingga vektor \vec{a}  lawannya adalah  -\vec{a}.

Perhatikan Contoh beberapa vektor berikut

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika diketahui}\: \: m,\: n,\: \: \textrm{dan}\: \: h\: \: serta\: \: \begin{pmatrix} m\\ 2\\ h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ n \\ 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui bahwa}\\ \begin{pmatrix} m\\ 2\\ h \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 1 \\ n \\ 3 \end{pmatrix},\: \textrm{maka}\: \: \begin{cases} m & =1 \\ n & =2 \\ h & =3 \end{cases}\end{aligned}\\ \end{array}.

InsyaAllah dilanjut

5. Operasi pada Vektor

a. Penjumlah Vektor

Secara geometri dapat dilakukan dengan

1).Aturan Segitiga

2).Aturan Jajargenjang

Secara aljabar adalah

\begin{array}{lll}\\ \textrm{Misalkan:}&\\ &\vec{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}&\begin{aligned}\textrm{Jika}\: \vec{c}&=\vec{a}+\vec{b}\\ &\textrm{maka}\\ \vec{c}&=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

b. Pengurangan Vektor

Secara geometri adalah

Secara aljabar adalah

\begin{array}{lll}\\ \textrm{Misalkan:}&&\\ &\vec{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}&\begin{aligned}\textrm{Jika}\: \vec{d}&=\vec{a}-\vec{b}\\ &\textrm{maka}\\ \vec{d}&=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -b_{1}\\ -b_{2} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut berkaitan penjumlahan dan pengurangan vektor serta perkalian skalar vektor

\begin{array}{|l|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|l|}{\begin{array}{ll}\\ \textrm{Diketahui}&\\ &\blacklozenge \: \: \textrm{vektor}\quad \begin{cases} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \end{cases}\\ &\blacklozenge \: \: \textrm{skalar}\quad \begin{cases} k \\ l \end{cases} \end{array}}\\\hline \textrm{No}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Sifat dan Keterangan/Contoh}}\\\hline 1.&\textrm{Komutatif penjumlahan}&\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\\\hline 2.&\textrm{Asosiatif penjumlahan}&\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )+\vec{c}=\vec{a}+\left ( \vec{b}+\vec{c} \right )\\\hline 3.&\textrm{Elemen Identitas}&\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\\\hline 4.&\textrm{Invers Penjumlahan}&\vec{a}+\left ( -\vec{a} \right )=\left ( -\vec{a} \right )+\vec{a}=\vec{0}\\\hline 5.&\textrm{Perkalian dengan skalar}&k\left ( l\vec{a} \right )=\left ( kl \right )\vec{a}\\\cline{3-3} &&k\left ( \vec{a}+ \vec{b} \right )=k\vec{a}+k\vec{b}\\\cline{3-3} &&k\left ( \vec{a}- \vec{b} \right )=k\vec{a}-k\vec{b}\\\hline 6.&\textrm{Jika A, B, dan C segaris (Kolinear)}&\begin{cases} \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} \\ dll \end{cases}\\\hline \end{array}.

c. Perbandingan/Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Diketahui titik  \textrm{P}\left ( x_{1},y_{1} \right )  dan  \textrm{Q}\left ( x_{2},y_{2} \right )  dan misalkan  \overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}=m:n. , maka vektor posisi titik T adalah  \vec{t}=\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n}.

Bukti:

\begin{aligned}\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}&=m:n\\ \displaystyle \frac{\overrightarrow{PT}}{\overrightarrow{TQ}}&=\frac{m}{n}\\ \displaystyle \frac{\vec{t}-\vec{p}}{\vec{q}-\vec{t}}&=\frac{m}{n}\\ n\left ( \vec{t}-\vec{p} \right )&=m\left ( \vec{q}-\vec{t} \right )\\ n\vec{t}-n\vec{p}&=m\vec{q}-m\vec{t}\\ m\vec{t}+n\vec{t}&=m\vec{q}+n\vec{p}\\ \vec{t}\left ( m+n \right )&=n\vec{p}+m\vec{q}\\ \vec{t}&=\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n}\qquad\quad \blacksquare \end{aligned}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ .\: \, \quad&\textrm{Pada Balok ABCD.EFGH diatas diketahui DA = 4 cm, DC = 5 cm, dan DH 3 cm.}\\ &\textrm{Misalkan}\: \: \vec{i}\: \: \textrm{adalah vektor satuan dengan arah sama dengan}\: \: \overrightarrow{DA},\: \vec{j}\: \: \textrm{adalah vektor satuan dengan arah sama}\\ &\overrightarrow{DC}\: ,\: \textrm{dan}\: \: \vec{k}\: \: \textrm{adalah vektor satuan dengan arah sama dengan}\: \: \overrightarrow{DH}.\: \\ &\textrm{Nyatakanlah vektor-vektor berikut dalam vektor}\: \: \vec{i},\: \vec{j}\: \textrm{dan}\: \: \vec{k}.\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\overrightarrow{DA},\: \: \overrightarrow{DC}\: \: \textrm{dan} \: \: \overrightarrow{DH}\\ \textrm{b}.&\overrightarrow{DB}\: \: \: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{DF}\\ \textrm{c}.&\overrightarrow{DP}\: \: \textrm{jika}\: \: P\: \: \textrm{titik tengan}\: \: EF\\ \textrm{d}.&\overrightarrow{DQ}\: \: \textrm{jika}\: \: Q\: \: \textrm{titik pada perpanjangan}\: \: FG\: \: \textrm{dengan}\: \: FG=GQ\end{array} \end{array}.

.\: \, \quad \textrm{Jawab:}.

.\quad \: \, \begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.&\begin{cases} \overrightarrow{DA}=4\vec{i}\\ \overrightarrow{DC}=5\vec{j} \\ \overrightarrow{DH}=3\vec{k} \end{cases}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\: \overrightarrow{DB}&=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}\\ &=5\vec{j}+4\vec{i}\\ \overrightarrow{DF}&=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}\\ &=4\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{c}.\: \overrightarrow{DP}&=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EP}\\ &=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}\\ &=4\vec{i}+3\vec{k}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}\\ &=4\vec{i}+3\vec{k}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\\ &= 4\vec{i}+3\vec{k}+\frac{1}{2}\left ( 5\vec{j} \right )\\ &=4\vec{i}+\frac{5}{2}\vec{j}+3\vec{k}\end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d}.\: \overrightarrow{DQ}&=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GQ}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GQ}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{AD}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}-\overrightarrow{DA}\\ &=5\vec{j}+3\vec{k}-4\vec{i}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p}=\begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{q}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \vec{p}+\vec{q}\qquad\qquad \textrm{b}.\quad \vec{q}+\vec{p}\qquad\qquad \textrm{c}.\quad 4\left ( \vec{p}+\vec{q} \right )\qquad\qquad \textrm{d}.\quad 4\vec{p}+4\vec{q}\\ &\textrm{e}.\quad 4\left ( \vec{p}-\vec{q} \right )\: \: \quad\quad \textrm{f}.\quad 4\vec{p}-4\vec{q}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{llll}\\ \begin{aligned}a.\quad \vec{p}+\vec{q}&=\begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}b.\quad \vec{q}+\vec{p}&=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}&&\\ \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Pada contoh soal No. 1 tentukanlah panjang vektor}\: \: \overrightarrow{DA},\: \overrightarrow{DP}\: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{DQ}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\left |\overrightarrow{DA} \right |&=4\: cm,\qquad &\left |\overrightarrow{DP} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DE} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{EP} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DA} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{AE} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{EP} \right |^{2}\\ &&&=4^{2}+3^{2}+\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}\\ &&&=16+9+\frac{25}{4}\\ &&\left | \overrightarrow{DP} \right |&=\sqrt{\frac{125}{4}}\\ &&&=\displaystyle \frac{5}{2}\sqrt{5}\: cm,\: \: \textrm{dan}\\ &&\left | \overrightarrow{DQ} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DG} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{GQ} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DC} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{CG} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{GQ} \right |^{2}\\ &&&=5^{2}+3^{2}+4^{2}\\ &&&=25+9+16\\ &&&=50\\ &&\left | \overrightarrow{DQ} \right |&=\sqrt{50}\\ &&&=5\sqrt{2}\: cm \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}\: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}.\\ &\textrm{Tentukan}\: \: m\: \: \textrm{jika}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\overrightarrow{u}&=k\vec{v}\qquad (\textrm{vektor}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah})\\ \begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}&=k\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4k\\ mk \end{pmatrix}\\ -8&=-4m\: \: \Rightarrow \: \: m=\displaystyle \frac{-8}{-4}=2\\ &\\ \textrm{Jadi}\: &m=2\\ \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Perhatikanlah gambar di bawah ini dan nyatakan titik-titik pada gambar tersebut}\\ &\textrm{dalam vektor posisi}\\ \end{array}.

.\quad\: \, \textrm{Jawab}.

.\quad\: \, \textrm{Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut}.

\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Titik}&\textrm{Vektor Posisi}\\\hline P(5,3)&\vec{p}=\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\\\hline Q(2,-3)&\vec{q}=\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}\\\hline R(-5,-1)&\vec{r}=\begin{pmatrix} -5\\ -1 \end{pmatrix}\\\hline S(-3,7)&\vec{s}=\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{7}.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas. Tentukanlah vektor-vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \overrightarrow{PQ}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{PS}\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{QS}\\ &\textrm{d}.\quad \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad \overrightarrow{PQ}&=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}\\ &=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\\ &=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\\ &=\vec{q}-\vec{p}\\ &=\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \overrightarrow{PS}&=\vec{s}-\vec{p}\\ &\textrm{dengan cara semisal poin a}\\ \overrightarrow{PS}&=\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -8\\ 4 \end{pmatrix}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{c}.\quad \overrightarrow{QS}&=\vec{s}-\vec{q}\\ &=\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -5\\ 10 \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d}.\quad &\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QS}\\ &=\begin{pmatrix} -5\\ 10 \end{pmatrix}\\ &\textrm{lihat jawaban poin c}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{8}.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas. Jika titik T terletak pada }\: \overrightarrow{SP},\: \\ &\textrm{sehingga}\: \: \overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=1:3,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah koordinat titik T}\:\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\: \: \overrightarrow{SP},\: \textrm{tentukanlah koordinat titik M}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad \vec{t}&=\displaystyle \frac{3\vec{s}+\vec{p}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{3\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \begin{pmatrix} -9\\ 21 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -4\\ 24 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ 6 \end{pmatrix}\\ \textrm{jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: T(-1,6) \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \vec{m}&=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \vec{s}+\vec{p} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2\\ 10 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: M(1,5)\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Budhi, Wono Setya. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: RICARDO.
  2. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  3. Kurnia, N., dkk. 2016. Jelajah Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.
  4. Sembiring, S., Mamun, Z., Marsito, dan Ibnu, R. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s