Lingkaran (XI Peminatan Mat dan IA K13 Revisi)

Arsip lama

Materi Lingkaran

A. Persamaan, Bentuk Umum, dan Garis singgung Lingkaran

\begin{array}{|c|c|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}\textbf{Lingkaran}:&\\ &\textrm{Kumpulan titik-titik yang berjarak sama}\\ &\textrm{pada bidang datar terhadap tetap}.\\\\ &\textrm{Jika suatu lingkaran}\: \: L\: \: \textrm{dengan}\\ &L\equiv x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\ &\textrm{maka}\: \: \begin{cases} \bullet & \text{ Pusat } \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right ) \\ \bullet & \text{ Jari-jari },r= \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C} \end{cases} \end{aligned}}\\\hline &(0,0)&x^{2}+y^{2}=r^{2}\\\cline{2-3} &(a,b)&(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\quad \textbf{atau}\\\cline{3-3} \raisebox{2,5ex}[0cm][0cm]{Pusat}&&x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\\cline{1-3} &\textrm{pada}&\left \{ (x,y)|(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<r^{2} \right \}\\\cline{2-3} \raisebox{0,0ex}[0cm][0cm]{Posisi Titik (K)}&\textrm{di dalam}&\left \{ (x,y)|(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \right \}\\\cline{2-3} (\textrm{kuasa titik})&\textrm{di luar}&\left \{ (x,y)|(x-a)^{2}+(y-b)^{2}>r^{2} \right \}\\\hline &D>0&\textrm{garis memotong lingkaran}\\\cline{2-3} \raisebox{0,0ex}[0cm][0cm]{Posisi garis,}&D=0&\textrm{garis menyinggung lingkaran}\\\cline{2-3} D=b^{2}-4ac&D<0&\textrm{garis \textbf{tidak} memotong/menyinggung}\\\hline &\textrm{di titik}\: \left ( x_{1},y_{1} \right )&x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\qquad \textbf{atau}\\\cline{3-3} &\textrm{pada lingkaran}&(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}\\\cline{2-3} \raisebox{0,0ex}[0cm][0cm]{Garis singgung}&\textrm{gradien}&y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1},\qquad \textbf{atau}\\\cline{3-3} &m&y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}\\\cline{2-3} &\textrm{titik}\: (p,q)&\textrm{Substitusikan garis}\: \: y=m(x-p)+q \\ &\textrm{di luar}&\textrm{ke (y) pada lingkaran dengan}\: \: D=0\\\hline \end{array}.

Berikut Contoh bentuk lingkaran

\LARGE\begin{cases} \textrm{Pusat lingkaran} & :(0,0) \\ \textrm{dan jari-jarinya} & =r=3 \end{cases}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}..

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Susunlah persamaan lingkaran yang berpusat di}\: \: O(0,0)\: \: \textrm{dan berjari-jari berikut}\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ \textrm{a}.&r=1&\textrm{f}.&r=4&\textrm{k}.&r=1+\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&r=\sqrt{2}&\textrm{g}.&r=\sqrt{5}&\textrm{l}.&r=-1+\sqrt{2}\\ \textrm{c}.&r=2&\textrm{h}.&r=5&\textrm{m}.&r=2+\sqrt{3}\\ \textrm{d}.&r=\sqrt{3}&\textrm{i}.&r=\sqrt{6}&\textrm{n}.&r=2-\sqrt{3}\\ \textrm{e}.&r=3&\textrm{j}.&r=6&\textrm{o}.&r=3-\sqrt{2}\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|c|l|c|l|c|}\hline \multicolumn{6}{|c|}{\begin{aligned}\textbf{Lingkaran}\: \: &\textrm{yang berpusat di}\: \: O(0,0)\\ &\textrm{dengan jari-jari}\: \: r\: \: \textrm{adalah}\\ &x^{2}+y^{2}=r^{2},\\ &\textrm{maka} \end{aligned}}\\\hline \textrm{k}.&r=1+\sqrt{2}&\textrm{l}.&r=-1+\sqrt{2}&\textrm{m}.&r=2+\sqrt{3}\\\cline{2-2}\cline{4-4}\cline{6-6} &\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=\left ( 1+\sqrt{2} \right )^{2}\\ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}&=1+2\sqrt{2}+2\\ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}&=3+2\sqrt{2} \end{aligned}&&\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=\left (-1+ \sqrt{2} \right )^{2}\\ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}&=1-2\sqrt{2}+2\\ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}&=3-2\sqrt{2} \end{aligned}&&\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=\left ( 2+\sqrt{3} \right )^{2}\\ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}&=4+4\sqrt{3}+3\\ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}&=7+4\sqrt{3} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Susunlah persamaan lingkaran yang berpusat di}\: \: O(0,0)\: \: \textrm{dan melalui titik-titik berikut}\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ \textrm{a}.&A(1,2)&\textrm{f}.&F(-3,4)&\textrm{k}.&K\left (\sqrt{2},\sqrt{3} \right )\\ \textrm{b}.&B(-1,2)&\textrm{g}.&G(3,-4)&\textrm{l}.&L\left ( -\sqrt{2},\sqrt{3} \right )\\ \textrm{c}.&C(1,-2)&\textrm{h}.&H(-3,-4)&\textrm{m}.&M\left ( \sqrt{2},-\sqrt{3} \right )\\ \textrm{d}.&D(-1,-2)&\textrm{i}.&I(5,0)&\textrm{n}.&N\left ( -\sqrt{2},-\sqrt{3} \right )\\ \textrm{e}.&E(3,4)&\textrm{j}.&J(-5,0)&\textrm{o}.&O\left ( 1-\sqrt{2},1+\sqrt{2} \right )\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ \end{array}.

.\quad\: \, \begin{array}{|l|c|l|c|l|c|}\hline \multicolumn{6}{|c|}{\begin{aligned}\textbf{Lingkaran}\: \: &\textrm{yang berpusat di}\: \: O(0,0)\\ &\textrm{dengan jari-jari}\: \: r\: \: \textrm{serta melalui}\\ &\textrm{titik-titik berikut}\\ &\textrm{maka} \end{aligned}}\\\hline \textrm{a}.&\textrm{titik}\: \: A(1,2)&\textrm{b}.&\textrm{titik}\: \: B(-1,2)&\textrm{c}.&\textrm{titik}\: \: C(1,-2)\\\cline{2-2}\cline{4-4}\cline{6-6} &\begin{aligned}r^{2}&=1^{2}+2^{2}\\ &=1+4\\ &=5\\ x^{2}&+y^{2}=r^{2}\\ x^{2}&+y^{2}=5 \end{aligned}&&\begin{aligned}r^{2}&=(-1)^{2}+2^{2}\\ &=1+4\\ &=5\\ x^{2}&+y^{2}=r^{2}\\ x^{2}&+y^{2}=5 \end{aligned}&&\begin{aligned}r^{2}&=1^{2}+(-2)^{2}\\ &=1+4\\ &=5\\ x^{2}&+y^{2}=r^{2}\\ x^{2}&+y^{2}=5 \end{aligned}\\\hline \textrm{k}.&\textrm{titik}\: \: K\left ( \sqrt{2},\sqrt{3} \right )&\textrm{m}.&\textrm{titik}\: \: M\left ( \sqrt{2},-\sqrt{3} \right )&\textrm{o}.&\textrm{titik}\: \: O\left ( 1-\sqrt{2},1+\sqrt{2} \right )\\\cline{2-2}\cline{4-4}\cline{6-6} &\begin{aligned}r^{2}&=\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}\\ &=2+3\\ &=5\\ x^{2}&+y^{2}=r^{2}\\ x^{2}&+y^{2}=5 \end{aligned}&&\begin{aligned}r^{2}&=\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}\\ &=2+3\\ &=5\\ x^{2}&+y^{2}=r^{2}\\ x^{2}&+y^{2}=5 \end{aligned}&&\begin{aligned}r^{2}&=\left ( 1-\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( 1+\sqrt{2} \right )^{2}\\ &=1-2\sqrt{2}+2+1+2\sqrt{2}+2\\ &=6\\ x^{2}&+y^{2}=r^{2}\\ x^{2}&+y^{2}=6 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah tempat kedudukan untuk titik}\: \: P(m,n)\: \: \textrm{yang memenuhi bentuk berikut}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\left \{ P(m,n)|PB=2PA \right \}&\textrm{f}.&\left \{ P(m,n)|PT=\frac{1}{2}PL \right \}\\ &\textrm{dengan}\: \: A(0,3)\: \: \textrm{dan}\: \: B(3,0)&&\textrm{dengan}\: \: T(-1,1)\: \: \textrm{dan}\: \: L(-2,2)\\ \textrm{b}.&\left \{ P(m,n)|PA=4PB \right \}&\textrm{g}.&\left \{ P(m,n)|PX:PY=\sqrt{2}:\sqrt{3} \right \}\\ &\textrm{dengan}\: \: A(0,3)\: \: \textrm{dan}\: \: B(3,0)&&\textrm{dengan}\: \: X(1,1)\: \: \textrm{dan}\: \: Y(2,2)\\ \textrm{c}.&\left \{ P(m,n)|PK:PH=3:1 \right \}&\textrm{h}.&\left \{ P(m,n)|PR:PS=\sqrt{3}:2 \right \}\\ &\textrm{dengan}\: \: K(0,3)\: \: \textrm{dan}\: \: H(3,0)&&\textrm{dengan}\: \: R(1,4)\: \: \textrm{dan}\: \: S(3,-1)\\ \textrm{d}.&\left \{ P(m,n)|PA:PD=4:1 \right \}&\textrm{i}.&\left \{ P(m,n)|PV:PW=2:\sqrt{5} \right \}\\ &\textrm{dengan}\: \: A(-1,-1)\: \: \textrm{dan}\: \: D(-2,-2)&&\textrm{dengan}\: \: V(-2,3)\: \: \textrm{dan}\: \: W(-3,2)\\ \textrm{e}&\left \{ P(m,n)|PF:PG=2:3 \right \}&\textrm{j}&\left \{ P(m,n)|PR:PU=\sqrt{5},3 \right \}\\ &\textrm{dengan}\: \: F(1,-1)\: \: \textrm{dan}\: \: G(2,-2)&&\textrm{dengan}\: \: R(-3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: U(3,-3)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}: \textrm{yang dibahas no.1 a dan diberikan gambar ilustrasinya} \\ \end{array}.

.\quad\: \, \begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{Cara 1}&\begin{aligned}(PB)^{2}&=(2PA)^{2}\\ (PB)^{2}&=4(PA)^{2}\\ (3-m)^{2}+(0-n)^{2}&=4\left ( (0-m)^{2}+(3-n)^{2} \right )\\ 9-6m+m^{2}+n^{2}&=4\left ( m^{2}+9-6n+n^{2} \right )\\ m^{2}-4m^{2}+n^{2}-4n^{2}&-6m+24n=36-9\\ -3m^{2}-3n^{2}-6m&+24n=27\\ m^{2}+n^{2}-2m&+8n=9\\ m^{2}-2m+1+n^{2}+&8n+16=9+1+16\\ (m-1)^{2}+(n+4)^{2}&=26\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} \quad \bigodot &:(1,-4) \\ \textrm{Jari-jari}\: \: (r) & =\sqrt{26} \end{cases} \end{aligned}\\\hline \textbf{Cara 2}&\begin{aligned}(PB)^{2}&=(2PA)^{2}\\ (PB)^{2}&=4(PA)^{2}\\ (3-m)^{2}+(0-n)^{2}&=4\left ( (0-m)^{2}+(3-n)^{2} \right )\\ 9-6m+m^{2}+n^{2}&=4\left ( m^{2}+9-6n+n^{2} \right )\\ m^{2}-4m^{2}+n^{2}-4n^{2}&-6m+24n+9-36=0\\ -3m^{2}-3n^{2}-6m&+24n-27=0\\ m^{2}+n^{2}-2m&+8n-9=0\\ x^{2}+y^{2}+Ax&+By+C=0\\ \textrm{maka}\quad \: &\begin{cases} \textrm{Pusat}\: \: \bigodot &:\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right ) \\ &=\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2}(8) \right )=(1,-4)\\ \textrm{jari-jari}\: (r) &= \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( (-2)^{2}+(8)^{2} \right )-(-9)}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( 4+64 \right )+9}\\ &=\sqrt{17+9}=\sqrt{26} \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut}\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&A(1,0),\: B(1,2),\: \textrm{dan}\: \: C(2,1)\\ \textrm{b}.&D(1,3),\: E(-3,-5),\: \textrm{dan}\: \: F(6,-2)\\ \textrm{c}.&G(2,5),\: H(6,1),\: \textrm{dan}\: \: I(2,1)\\ \textrm{d}.&J(5,4),\: K(5,-2),\: \textrm{dan}\: \: L(10,4)\\ \textrm{e}.&M(1,2),\: N(4,6),\: \textrm{dan}\: \: P(1,6)\\ \textrm{f}.&P(3,1),\: Q(2,-6),\: \textrm{dan}\: \: R(-5,-3)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}: \textrm{yang dibahas no.4 a dan diberikan gambar ilustrasinya}\\  &\begin{aligned}\textrm{Misalkan}&\: \textrm{persamaan lingkaran}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ A(1,0):&(1-a)^{2}+(0-b)^{2}=r^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-2a+1=r^{2}.............\textcircled{1}\\ B(1,2):&(1-a)^{2}+(2-b)^{2}=r^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-2a-4b+5=r^{2}.........\textcircled{2}\\ C(2,1):&(2-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-4a-2b+5=r^{2}...........\textcircled{3}\\ \textrm{Dari per}&\textrm{samaan}\: \: \textcircled{1}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{2}\: \: \textrm{didapatkan}:\\ &a^{2}+b^{2}-2a+1=r^{2}\\ &a^{2}+b^{2}-2a-4b+5=r^{2}\\ &-----------\: \: ^{-}\\ &\: \qquad\qquad\qquad 4b-4=0\Leftrightarrow b=1\: ..........................................\textcircled{4}\\  \end{aligned} \end{array}.

.\quad\: \: \begin{aligned} \textrm{Dari per}&\textrm{samaan}\: \: \textcircled{4}\: \: \textrm{ke persamaan}\: \: \textcircled{1}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{3}\: \: \textrm{didapatkan}:\\ b=1\Rightarrow &a^{2}+(1)^{2}-2a+1=r^{2}\Leftrightarrow a^{2}-2a+2=r^{2}....................\textcircled{5}\\ b=1\Rightarrow &a^{2}+(1)^{2}-4a-2(1)+5=r^{2}\Leftrightarrow a^{2}-4a+4=r^{2}.............\textcircled{6}\\ \textrm{Dari per}&\textrm{samaan}\: \: \textcircled{6}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{5}\: \: \textrm{dieliminasi dan akan didapatkan}:\\ &-2a+2=0\Leftrightarrow a=1\: .............\textcircled{7}\\ \textrm{Dari per}&\textrm{samaan}\: \: \textcircled{4}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{7}\: ,\: \textrm{jika disubstitusikan ke persamaan}\: \: \textcircled{1}\: \: \textrm{akan didapatkan}\\ &(1)^{2}+(1)^{2}-2(1)+1=r^{2}\Leftrightarrow r^{2}=1\\ \textrm{Sehingga}&\: \textrm{persamaan lingkarannya adalah}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung(PGS) di titik}\: \: A(-2,-4)\: \: \textrm{pada lingkaran}\\ &(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Kita}&\: \textrm{cek dulu posisi titik \textit{A} terhadap lingkaran(kuasa lingkaran)}=K_{A}\\ K_{A}&\equiv (-2-2)^{2}+(-4+1)^{2}-25=16+9-25=0\\ \textrm{bera}&\textrm{rti titik \textit{A} berapa tepat \textbf{pada keliling} lingkaran}\\ \textrm{PGS}&:(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2},\qquad \textrm{untuk}\: \: A(-2,-4),\: \textrm{maka}\\ &\Leftrightarrow (-2-2)(x-2)+(-4+1)(y+1)=25\\ &\Leftrightarrow -4(x-2)-3(y+1)-25=0\\ &\Leftrightarrow -4x+8-3y-3-25=0\\ &\Leftrightarrow -4x-3y-20=0\\ &\Leftrightarrow 4x+3y+20=0\\ \textrm{Jadi}&\: \: \textrm{PGSL-nya adalah}:4x+3y+20=0\: \: \textrm{dan berikut pula ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}.

B. Hubungan Dua Lingkaran

Coba perhatikanlah ilustrasi berikut

Keterangan

\begin{array}{|c|c|c|l|}\hline &\multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}\textbf{Ada 4}\: &\: \textrm{Kemungkinan posisi \textbf{dua} lingkaran} \end{aligned}}\\\cline{2-4} \raisebox{1.0ex}[0cm][0cm]{No}&\textbf{Kedudukan}&\textbf{Ilustrasi}&\qquad\qquad\: \textbf{Keterangan}\\\hline &\left | L_{1}L_{2} \right |>r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 1}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{dan tidak pula bersinggungan}\\ &\textrm{dan saling lepas} \end{aligned}\\\cline{2-4} 1&\left | L_{1}L_{2} \right |=0&\textbf{Gambar 5}&\textrm{Dikarenakan sepusat}\\\cline{2-4} &\left | L_{1}L_{2} \right |\leq r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 6}&\textrm{Terletak di dalam lingkaran}\: \: L_{1} \\\hline 2&\left | L_{1}L_{2} \right |=r_{1}+r_{2}&\textbf{Gambar 2}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{tetapi bersinggungan di luar} \end{aligned}\\\hline 3&\left | L_{1}L_{2} \right |=r_{1}-r_{2}&\textbf{Gambar 3}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ &\textrm{tetapi bersinggungan di dalam} \end{aligned}\\\hline 4&\begin{cases} \left | L_{1}L_{2} \right | > r_{1}-r_{2} \\ \left | L_{1}L_{2} \right | < r_{1}+r_{2} \end{cases}&\textbf{Gambar 4}&\begin{aligned}&\textrm{kedua lingkaran berpotongan} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\: \qquad\textrm{Istilah}&\: \qquad\textrm{Posisi}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Keterangan}\\\hline &&\textrm{suatu lingkaran}&\textrm{Posisi sebuah titik terhadap lingkaran}\\\cline{3-4} &&\textrm{titik}&\textrm{Tempat kedudukan titik-titik yang memiliki}\\ 1&\textrm{Kuasa}&\textrm{dua lingkaran}&\textrm{kuasa yang sama terhadap dua lingkaran}\\\cline{3-4} &&\textrm{garis}&\textrm{Tempat kedudukan titik yang memiliki}\\ &&\textrm{tiga lingkaran}&\textrm{kuasa yang sama terhadap tiga buah lingkaran}\\\hline 2&\textrm{Berkas Lingkaran}&\textrm{Pada garis}&\textrm{Sejumlah lingkaran yang dapat dibuat melalui}\\ &&\textrm{busur}&\textrm{titik-titik potong kedua lingakaran itu}\\\hline 3&\textrm{Tali busur sekutu}&\textrm{Kedua lingkaran}&\textrm{Ruas garis yang menghubungkan titik-titik }\\ &&\textrm{berpotongan}&\textrm{potong irisan irisan kedua lingkaran tersebut}\\\cline{3-4} &&\multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}\bullet \: \: \textrm{Persamaan}&\textrm{talibusur sekutunya adalah}:L_{1}-L_{2}=0\\ \bullet \: \: \textrm{Persamaan}&\: \textrm{yang melalui titik potong dua lingkaran(berkas) itu}\\ \textrm{adalah}\: \, \: L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2}),\:  \textrm{atau}\:  L_{3}=L_{1}+pL_{2}\\ \textrm{dengan}\quad p&\: \: \textrm{adalah suatu parameter(suatu nilai yang jadi patokan)} \end{aligned}}\\\cline{2-4} &\textrm{Luas daerah irisan}&\multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}\textrm{Luas irisannya}&=\left (\theta _{1}r_{1}^{2}+\theta 2r_{2}^{2} \right )-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( r_{1}^{2}\sin \theta _{1}+r_{2}^{2}\sin \theta _{2} \right ) \end{aligned}}\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}..

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah kedudukan untuk dua buah lingkaran}\: \: L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x-2y-1=0.\: \textrm{Jika kedua lingkaran tersebut bersinggungan atau berpotongan},\\ &\textrm{tentukanlah titik yang singgung atau potongnya}\\\\ &\textrm{jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline L_{1}&L_{2}\\\hline x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0&x^{2}+y^{2}-4x-2y-1=0\\\hline \begin{cases} P_{1} & :\left ( - \displaystyle \frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2}(-4) \right )=(1,2) \\ r &=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( (-2)^{2}+(-4^{2}) \right )-1}\\ &=2 \end{cases}&\begin{cases} P_{2} & :\left ( - \displaystyle \frac{1}{2}(-4),-\frac{1}{2}(-2) \right )=(2,1) \\ r &= \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( (-4)^{2}+(-2^{2}) \right )-(-1)}\\ &=\sqrt{6} \end{cases}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Jarak ke}&\textrm{dua pusat lingkarannya adalah}\: \: P_{1}P_{2}\: \: \textrm{yaitu}:\\ P_{1}P_{2}&=\sqrt{(2-1)^{2}+(1-2)^{2}}\\ &=\sqrt{2}\\ \textrm{Karena n}&\textrm{ilai}\: \: P_{1}P_{2}=\sqrt{2}\: \: \textrm{dan nilai}\: \: P_{1}+P_{2}=2+\sqrt{6},\\ \textrm{sehingga}\: &P_{1}P_{2}<P_{1}+P_{2}\: \: \textrm{maka kedua lingkaran itu berpotongan} \end{aligned}}\\\hline \end{array} \end{array}.

.\quad\: \, \begin{aligned}x^{2}+y^{2}-2x-4y+1&=0\: ..................\textcircled{1}\\ x^{2}+y^{2}-4x-2y-1&=0\: ..................\textcircled{2}\\ ----------&---\: ^{-}\\ 2x-2y+2&=0\\ y&=x+1\: ........................\textcircled{3}\\ \textrm{persamaan}\: \: \textcircled{3}\rightarrow \textcircled{1}&\\ x^{2}+(x+1)^{2}-2x-&4(x+1)+1=0\\ x^{2}+x^{2}+2x+1-2x&-4x-4+1=0\\ 2x^{2}-4x-2&=0\Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\\ x_{1,2}&=\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-4.1(-1)}}{2}\\ &=\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\displaystyle \frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}\begin{cases} x_{1} & =1+\sqrt{2}\: .........\textcircled{4}\: \: \textbf{atau} \\ x_{2} & =1-\sqrt{2}\: .........\textcircled{5} \end{cases}\\ \textrm{persamaan}\: \: \textcircled{4}\rightarrow \textcircled{3}&,\: y_{1}=1+\sqrt{2}+1=2+\sqrt{2}\\ \textrm{persamaan}\: \: \textcircled{5}\rightarrow \textcircled{3}&,\: y_{1}=1-\sqrt{2}+1=2-\sqrt{2}\\ \textrm{Sehingga titik poton}&\textrm{gnya ada 2 yaitu}:\\ &\begin{cases} \left ( 1+\sqrt{2},2+\sqrt{2} \right )\: \: \textrm{dan} \\ \left ( 1-\sqrt{2},2-\sqrt{2} \right ) \end{cases}& \\\textrm{Berikut ilustrasinya} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 2&\textrm{Dari contoh soal no.1, tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua}\\ &\textrm{lingkaran itu serta melalui titik pusat koordinat}\: \: O(0,0)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Pada jawaban soal no.1 didapatkan persamaan \textbf{tali busur}}:L_{1}-L_{2}\equiv x-y+1=0\\ &\textrm{Sehingga persamaan \textbf{berkas lingkaran}nya adalah}:L_{3}=L_{1}+p\left (L_{1}-L_{2} \right )=0\\ &\, \, \: \qquad \Leftrightarrow L_{3}= \left (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1 \right )+p(x-y+1)=0\\ &\textrm{Karena melalui titik asal}\: \: O(0,0),\: \textrm{maka}\\ &\, \, \: \qquad \Leftrightarrow (0+0-0-0+1)+p(0-0+1)=0\Leftrightarrow p=-1\\ &\textrm{Selanjutnya persamaan berkas lingkarannya akan menjadi}\\ &\, \, \: \qquad L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+1 -(x-y+1)=0\\ &\textrm{Jadi},\: L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}-3x-3y=0 \\\\ &\textrm{Dan gambar berikut sebagai ilustrasinya} \end{aligned} \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya.
  2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga.
  3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu alam. Bandung: SEWU.
  4. Sukino. 2017. Matematika jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s