Barisan dan Deret (XI Wajib K13 Revisi & XII IPS/A KTSP 2006)

Arsip lama, silahkan buka

Materi

A. Pola, Barisan dan Deret Bilangan

Pola bilangan adalah susunan bilangan menurut pola tertentu. Sedangkan barisan bilangan adalah susunan bilangan yang mempunyai pola atau urutan tertentu. Adapun untuk deret bilangan adalah penjumlahan dari seluruh suku pada barisan bilangan tersebut.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{\textbf{CONTOH PERMASALAHAN}}}.

Yang Pertama

Coba perhatikanlah susunan kelompok kelorong yang berbentuk persegi berikut!

Dapatkah Anda menentuan jumlah kelereng untuk kelompok yang ke-20?

Jika dicermati susunan kelereng tersebut dari kiri ke kanan masing-masing jumlah dari  kelereng untuk tiap kelompok berturut-turut adalah: 1, 4, 9, 16, 25.

Sehingga Jika dirinci adalah sebagai berikut

Selanjutnya dari pola di atas jika kita tabelkan akan didapatkan informasi sebagaimana berikut

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textbf{Kelompok}&\textbf{Jumlah Kelereng}&\textbf{Pola}\\\hline k_{1}&1&1\times 1=1=1^{2}\\\hline k_{2}&4&2\times 2=4=2^{2}\\\hline k_{3}&9&3\times 3=9=3^{2}\\\hline k_{4}&16&4\times 4=16=4^{2}\\\hline k_{5}&25&5\times 5=25=5^{2}\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline k_{n}&n\times n=n^{2}&n\times n=n^{2} \\\hline \end{array}.

Sehingga dari uraian di atas kita dapat dengan mudah menentukan jumlah kelereng untuk kelompok ke-20 yaitu sebanyak  20^{2}=20\times 20=400\: \: \textrm{kelereng}.

Yang Kedua

Diketahui suku-suku berurutan sebuah barisan bilangan adalah sebagai berikut:

\displaystyle \frac{1}{2},\: \frac{1}{6},\: \frac{1}{12},\: \frac{1}{20},\: \frac{1}{30},\: \cdots.

dapatkah kita menentukan suku yang ke-2019?

Misalkan sekali lagi kita tabelkan sebagaimana berikut

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textbf{Suku ke-}&\textbf{Nilai}&\textbf{Pola}\\\hline u_{1}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{1\times 2}\\\hline u_{2}&\displaystyle \frac{1}{6}&\displaystyle \frac{1}{2\times 3}\\\hline u_{3}&\displaystyle \frac{1}{12}&\displaystyle \frac{1}{3\times 4}\\\hline u_{4}&\displaystyle \frac{1}{20}&\displaystyle \frac{1}{4\times 5}\\\hline u_{5}&\displaystyle \frac{1}{30}&\displaystyle \frac{1}{5\times 6}\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline u_{n}&\displaystyle \frac{1}{p\times q}&\displaystyle \frac{1}{n\times (n+1)} \\\hline \end{array}.

Dari bantuan tabel di atas kita dapat dengan mudah menentukan urutan bilangan dalam hal ini suku yang ke-2019 yaitu   u_{2019}=\displaystyle \frac{1}{2019\times 2020}.

Yang Ketiga

Untuk kasus yang berupa deret bilangan (jumlah) sebagai misal,

dapatkah kita menentukan jumlah dari

\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots +\frac{1}{1+2+3+4+\cdots +n}=\: .....

Untuk menentukan jumlah dari barisan bilangan di atas perlu kita berikan uraian sebagai langkah-langkah yang diperlukan dalam proses penyelesaian untuk menunjukkan hasil akhir perhitungan yang masih bersifat umum yaitu:

\begin{aligned}\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots +\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}&=\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2}n(n+1)}\\ &=\displaystyle \frac{2}{2}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\cdots +\displaystyle \frac{2}{n(n+1)}\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} \right )\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{n\times (n+1)} \right )\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)} \right )\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{(n+1)} \right )\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{n}{n+1} \right )\\ &=\displaystyle \frac{2n}{n+1} \end{aligned}.

Sumber Referensi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2017. Matematika Edisi Revisi 2017 untuk SMA/MA/SMK/MAK kelas XI. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  2. Kuntarti, Sulistiyono, dan Kurnianingsih, S. 2007. Matematika 3B SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: ESIS.
  3. Sembiring, S. 2002. Olimpiade Matematika untuk SMU. Bandung: YRAMA WIDYA.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s