Transformasi Geometri (Kelas XII IPA KTSP)

A. Pendahuluan

A. 1 Pengertian 

Transformasi Geometri adalah suatu perubahan objek dalam geometri atau suatu pemetaan dari himpunan titik menjadi himpunan titik yang lain.

A(x,y)\xrightarrow[.]{Transformasi}A'(x',y').

A. 2 Matriks Transformasi

Misalkan suatu transformasi T memetakan sebuah titik (x,y) ke (x’,y’) dengan

\boxed{\begin{aligned}A(x,y)&\xrightarrow[.]{Transformasi\, =\: T}A'(x',y')=A'\left ( ax+by,cx+dy \right )\\\\ \Rightarrow &\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\underset{\underset{transformasi}{Matriks}}{\underbrace{\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}}}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \end{aligned}}.

B. Menentukan Bayangan Titik

\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Jenis Transformasi}&\textrm{Rumus}&\textrm{Matriks}\\\hline 1.&\textrm{Translasi}&(x,y)\xrightarrow[.]{\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}(x+a,y+b)&\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\\\hline 2.&\multicolumn{3}{|l|}{\textrm{Refleksi}}\\\cline{2-4} &\textrm{terhadap sumbu}-\textrm{X}&(x,y)\rightarrow (x,-y)&\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{terhadap sumbu}-\textrm{Y}&(x,y)\rightarrow (-x,y)&\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{terhadap garis y = x}&(x,y)\rightarrow (y,x)&\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{terhadap garis y = -x}&(x,y)\rightarrow (-y,-x)&\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{terhadap garis x = h}&(x,y)\rightarrow (2h-x,y)&\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2h\\ 0 \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{terhadap garis y = k}&(x,y)\rightarrow (x,2k-y)&\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ 2k \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{pusat}\: (0,0)\begin{cases} y=mx \\ m=\tan \alpha \end{cases}&&\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}\\\hline 3.&\multicolumn{3}{|l|}{\textrm{Rotasi}}\\\cline{2-4} &\textrm{Pusat rotasi}\: \left [ O,\alpha \right ]&\begin{cases} x' =x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y' = x\sin \alpha +y\cos \alpha \end{cases}&\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{Pusat}\: (a,b)\: \textrm{sudut}\: \alpha &\multicolumn{2}{|r|}{\begin{pmatrix} x'-a\\ y'-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Jenis Transformasi}&\textrm{Rumus}&\textrm{Matriks}\\\hline 4.&\multicolumn{3}{|l|}{\textrm{Dilatasi}}\\\cline{2-4} &\textrm{Pusat}\: \left [ O,k \right ]&(x,y)\rightarrow (kx,ky)&\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\\\cline{2-4} &\textrm{Pusat}\: (a,b)\: \textrm{faktor skala}\: k &\multicolumn{2}{|r|}{\begin{pmatrix} x'-a\\ y'-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}}\\\cline{2-4} &\textrm{Luas bangun datar}&\textrm{Misal bangun A}&\textrm{T}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\\\cline{3-4} &&\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{Bangun A}'= \textrm{det T}\times \textrm{A}}\\\hline \end{array}.

Catatan:

Traslasi, refleksi, dan rotasi adalah bagian dari transformasi yang hanya mengubah posisi objek saja tidak mengubah ukuran bangun. Sehingga transformasi-tranformasi ini disebut dengan transformasi isomeri.

C. Bayangan Kurva dan Komposisi Transformasi

\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Penentuan bayangan dan Hasil dari}}\\\hline \qquad \textrm{Bayangan Kurva}\quad y=f(x)&\qquad\qquad\qquad \textrm{Komposisi Transformasi}\\\hline \begin{aligned}\textrm{Lan}&\textrm{gkah-langkah}:\\ 1.\quad&\textrm{Tentukan bayangan titiknya}\\ &(x,y)\rightarrow \left ( x',y' \right )\\ 2.\quad&\textrm{Salanjutnya tentukan}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\:\\ &\textrm{dalam}\: \: x'\: \: \textrm{dan}\: \: y'\\ 3.\quad&\textrm{Substitusikan}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\\ &\textrm{ke}\: \: \: y=f(x) \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{Lan}&\textrm{gkah-langkah}:\\ 1.\quad&\textrm{Selesaikan sesuai urutan transformasi}\\ &(x,y)\xrightarrow[\qquad.]{T_{1}}(x',y')\xrightarrow[\qquad.]{T_{2}}(x'',y'')\\ 2.\quad&\textrm{Jika dapat disederhanakan kedua transformasi}\\ &\textrm{tersebut di atas, maka cukup dengan}\\ &(x,y)\xrightarrow[\qquad.]{T_{2}\circ T_{1}}(x'',y'') \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah bayangan dari segitiga PQR dengan}\: \: P(0,2),\: Q(-1,1),\: \textrm{dan}\: \: R(3,6).\\ &\textrm{oleh translasi}\: \: \: T=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{cases} \begin{pmatrix} x_{P}^{'}\\ y_{P}^{'} \end{pmatrix} &=T+\begin{pmatrix} x_{P}\\ y_{P} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5+0\\ -2+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x_{Q}^{'}\\ y_{Q}^{'} \end{pmatrix} & =\cdots\qquad \textrm{isilah sendiri} \\ \begin{pmatrix} x_{R}^{'}\\ y_{R}^{'} \end{pmatrix} &= \cdots\qquad \textrm{isilah sendiri} \end{cases} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah bayangan dari garis}\: \: y=2x+4\: \: \textrm{oleh translasi}\: \: T=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}.\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Bayangan Titik-titik}&\textbf{Bayangan Garis}\\\hline \begin{aligned}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=T+\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1+x\\ 2+y \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} x' & =-1+x\Leftrightarrow x=x'+1 \\ y' & =2+y\quad\Leftrightarrow y=y'-2 \end{cases} \end{aligned}&\begin{aligned}y&=2x+4\\ y'-2&=2(x'+1)+4\\ y'&=2x+2+4+2\\ &=2x+8\\ \textrm{Jadi}\, ,&\: \textbf{bayangan garisnya}\\ \textrm{adala}&\textrm{h}:\\ y&=2x+8\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah bayangan titik A(4,6) oleh rotasi yang berpusat di titik P(3,-2)}\\ &\textrm{dengan sudut putar sebesar}\: \: 90^{\circ} \\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Untuk Ro}&\textrm{tasi yang berpusat di}\: \: (a,b)\: \: \textrm{dengan sudut}\: \: \alpha \: \: \textrm{adalah}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ}\\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4-3\\ 6-(-2) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -8\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -5\\ -1 \end{pmatrix}\\ \textrm{Jadi}\, ,\: &\textrm{bayangan titik A adalah}\: \: \textrm{A}'(-5,-1) \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah bayangan titik A(4,6) oleh dilatasi yang berpusat di titik P(3,-2)}\\ &\textrm{dengan faktor skala}\: \: k=2 \\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Bayangan}&\: \textrm{titik A-nya adalah}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4-3\\ 6-(-2) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2\\ 16 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ 14 \end{pmatrix}\\ \textrm{Jadi}\: ,\: &\textrm{bayangan titik A-nya adalah}\: \: \textrm{A}'(5,14) \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukanlah bayangan titik A(4,6) oleh translasi}\: \: t\: \: \textrm{dilanjutkan}\: \: s\: \: \textrm{dengan}\\ &\textrm{matriks transformasi berturut-turut adalah}\: \: T=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: S= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Bayangan}&\: \textrm{titik A-nya adalah}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=S\times T\times \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 26\\ 16 \end{pmatrix}\\ \textrm{Jadi}\: ,\: &\textrm{bayangan titik A-nya adalah}\: \: \textrm{A}'(26,16) \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Suatu kurva}\: \: y=\, ^{3}\log (2x-2)\: \: \textrm{memiliki bayangan}\: \: y=\, ^{3}\log \left ( \displaystyle \frac{2x+3}{3} \right )\\ &\textrm{oleh translasi}\: \: T=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}.\: \textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a+b\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{bahwa}\\ y&=\, ^{3}\log (2x-2)\quad \Leftrightarrow\quad 3^{y}=2x-2\: (\textrm{benda})\\ y&=\, ^{3}\log \left ( \displaystyle \frac{2x+3}{3} \right )\quad \Leftrightarrow\quad 3^{y}=\left ( \displaystyle \frac{2x+3}{3} \right )\quad (\textbf{bayangan})\\ \textrm{sehingga}&\: \textrm{untuk bayangan}\\ 3^{y'-b}&=2(x'-a)-2\quad \Leftrightarrow \quad 3^{y'}.3^{-b}=2(x'-a)-2\quad \Leftrightarrow\quad 3^{y'}=\displaystyle \frac{2(x'-a)-2}{3^{-b}}=\displaystyle \frac{2x'+3}{3}\\ \textrm{Jadi}\, ,\: &\begin{cases} a &=\displaystyle \frac{5}{2} \\ b &=-1 \end{cases}\\ \textrm{Sehingga}&\: a+b=\displaystyle \frac{5}{2}+(-1)=\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tentukanlah bayangan garis}\: \: ax+by+c=0\: \: \textrm{oleh transformasi}\\ &\textrm{yang bersesuaian dengan matriks}\: \: \: \begin{pmatrix} 1&-2\\ 3&-4 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Proses Awal}&\textbf{Penentuan Bayangan}\\\hline \begin{aligned}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & -4 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 3 & -4 \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} -4 & 2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{-4+6}\begin{pmatrix} -4x'+2y'\\ -3x'+y' \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -4x'+2y'\\ -3x'+y' \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} x &=-2x'+y' \\ y &=-\displaystyle \frac{3}{2}x'+\displaystyle \frac{1}{2}y' \end{cases} \end{aligned}&\begin{aligned}ax+by+c&=0\\ a\left ( -2x'+y' \right )+b\left ( -\displaystyle \frac{3}{2}x'+\frac{1}{2}y' \right )+c&=0\\ -2ax'-\displaystyle \frac{3}{2}bx'+ay'+\displaystyle \frac{1}{2}by'+c&=0\\ (-4a-3b)x'+(2a+b)y'+2c&=0\\ &\\ \textbf{Jadi, bayangan garisnya adalah}:&\\ &\\ (-4a-3b)x+(2a+b)y+2c&=0\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned} \\\hline \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Diketahui kurva}\: \: y=4x^{2}-9\: \: \textrm{dicerminkan terhadap sumbu-X kemudian}\\ &\textrm{ditranslasikan dengan}\: \: \begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}.\: \textrm{Ordinat titik potong terhadap sumbu-Y adalah}....\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1+x\\ 2-y \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} x &= x'-1\\ y &= 2-y' \end{cases} \end{aligned}&\begin{aligned}y&=4x^{2}-9\\ (2-y')&=4(x'-1)^{2}-9\\ -y'&=4(x'^{2}-2x'+1)-9-2\\ -y'&=4x'^{2}-8x'+4-11\\ y'&=-4x'^{2}+8x'+7\\ &\\ \textbf{Maka}\, ,&\, \textbf{persamaan kurva bayangannya adalah}:\\ y&=-4x^{2}+8x+7 \end{aligned} \\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Sehingga}&\: \textrm{ordinat dari titik potong terhadap sumbu-Y-nya adalah}:\\ y&=-4x^{2}+8x+7,\qquad \textbf{atau}\\ f(x)&=-4x^{2}+8x+7\\ f(0)&=-4(0)^{2}+8(0)+7\qquad\quad \textrm{saat}\: \: x=0\: (\textrm{karena memotong sumbu-Y})\\ &=7\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{ordinatnya adalah}\: \: y=f(0)=7 \end{aligned}}\\\hline \end{array} \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{LATIHAN SOAL}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah bayangan dari titik-titik berikut oleh translasi}\: \: \textrm{T}=\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{A}(-3,7)\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{B}(3,-7)\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{C}\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{3}\sqrt{3} \right )\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{D}\left ( \sqrt{2}-3,2-\sqrt{3} \right ) \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Titik Z(-3,4) oleh translasi}\: \: \textrm{T}=\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}\: \: \textrm{menghasilkan bayangan Z}'(-1,-1)\\ &\textrm{Tentukanlah nilai dari}\\ &\textrm{a}.\quad p+q\\ &\textrm{b}.\quad p-q\\ &\textrm{c}.\quad p^{q}\\ &\textrm{d}.\quad q^{p}\\ &\textrm{e}.\quad p^{-q}+q^{-p} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Persamaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=25\: \: \textrm{oleh translasi}\: \: \begin{pmatrix} 4\\ -2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{adalah}....\\ \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui kurva}\: \: y=2x^{2}-7\: \: \textrm{dicerminkan terhadap sumbu-Y kemudian}\\ &\textrm{ditranslasikan dengan}\: \: \begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}.\: \textrm{Ordinat titik potong terhadap sumbu-X adalah} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukanlah bayangan titik A(-2,9) oleh rotasi yang berpusat di titik P(3,-1)}\\ &\textrm{dengan sudut putar sebesar}\: \: 90^{\circ} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukanlah bayangan titik A(-3,5) oleh dilatasi yang berpusat di titik P(-1,4)}\\ &\textrm{dengan faktor skala}\: \: k=\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Suatu kurva}\: \: y=\, ^{3}\log (2x-2)\: \: \textrm{memiliki bayangan}\: \: y=\, ^{3}\log \left ( \displaystyle \frac{2x-8}{\sqrt{3}} \right )\\ &\textrm{oleh translasi}\: \: T=\begin{pmatrix} t\\ s \end{pmatrix}.\: \textrm{Tentukanlah nilai}\: \: t+s \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Jika diketahui titik Z(-3,1) dicerminkan terhadap garis}\: \: y=\displaystyle \frac{1}{3}x\sqrt{3}\\ &\textrm{Bayangan titik Z tersebut adalah}\, .... \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Program IPA Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  2. Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal-Bahas Matematika SMA/MA. Jakarta: WAHYUMEDIA.
  3. Tim IGMP. ____ . Tabloid matematika SMA/MA kurikulum 2006 kelas XII IA semester 2. Semarang: CV. SARANA ILMU.

 

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s