Contoh Soal Transformasi

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Sebuah transformasi yang didefiniskan oleh}\: \: \begin{cases} x' & =2x+3y \\ y' & =3x+2y \end{cases}\\ &\textrm{Maka bayangan titik M}(2,-1)\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (7,10)&&\textrm{d}.\quad (1,10)\\ \textrm{b}.\quad (10,7)&\textrm{c}.\quad (1,4)&\textrm{e}.\quad (4,1) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{bahwa}:\\ &\begin{cases} x' & =2x+3y \\ y' & =3x+2y \end{cases}\\ \left.\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right\}&\Rightarrow \begin{cases} x' & =2(2)+3(-1)=4-3=1 \\ y' & =3(2)+2(-1)=6-2=4 \end{cases} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Sebuah transformasi yang didefiniskan oleh}\: \: \begin{cases} x' & =4-3x \\ y' & =2x-y-4 \end{cases}\\ &\textrm{Yang merupakan titik \textbf{invarian} (tidak berubah) adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (0,0)&&\textrm{d}.\quad (0,-1)\\ \textrm{b}.\quad (1,-1)&\textrm{c}.\quad (1,0)&\textrm{e}.\quad (1,1) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{D}&\textrm{iketahui bahwa}:\\ &\begin{cases} x' & =4-3x \\ y' & =2x-y-4 \end{cases}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textrm{NO}&\textrm{Titik}&\textrm{Disubstitusikan ke}\: \: \begin{cases} x' & =4-3x \\ y' & =2x-y-4 \end{cases}&\textrm{Keterangan Titik}\\\hline \textrm{a}.&(0,0)&\begin{cases} x' & =4-3(0)=4 \\ y' & =2(0)-(0)-4=-4 \end{cases}&\textrm{Varian}\\\hline \textrm{b}&(1,-1)&\begin{cases} x' & =4-3(1)=1 \\ y' & =2(1)-(-1)-4=-1 \end{cases}&\textbf{Invarian}\\\hline \textrm{c}&(1,0)&\begin{cases} x' & =4-3(1)=1 \\ y' & =2(1)-(0)-4=-2 \end{cases}&\textrm{Varian}\\\hline \textrm{d}&(0,-1)&\begin{cases} x' & =4-3(0)=4 \\ y' & =2(0)-(-1)-4=-3 \end{cases}&\textrm{Varian}\\\hline \textrm{e}&(1,1)&\begin{cases} x' & =4-3(1)=1 \\ y' & =2(1)-(1)-4=-3 \end{cases}&\textrm{Varian}\\\hline \end{array} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Suatu translasi yang memetakan titik P(9,8) ke titik}\: \: \textrm{P}'(14,-2)\: \: \textrm{adalah}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ -10 \end{pmatrix}&&\textrm{d}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 6 \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ 6 \end{pmatrix}&\textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} 23\\ -10 \end{pmatrix}&\textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\textrm{T}+\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \textrm{T}&=\begin{pmatrix} x'-x\\ y'-y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 14-9\\ -2-8 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ -10 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Suatu lingkaran dengan jari-jari 4 dengan pusat di O(0,0) dtranslasikan}\\ &\textrm{oleh}\: \: \textrm{T}=\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix},\: \textrm{maka luas bayanganlingkaran tersebut adalah}\, ...\, \textrm{satuan luas}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \pi &&\textrm{d}.\quad 8\pi \\ \textrm{b}.\quad 2\pi &\textrm{c}.\quad 4\pi &\textrm{e}.\quad 16\pi \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran berpusat di O dengan}\: \: r=4\\ &\textrm{Karena translasi adalah termasuk transformasi isometri(kongruen)}\\ &\textrm{maka jari-jari lingkaran bayangannya akan sama dengan bendanya}\\ &\textrm{Sehingga luas bayangan lingkarannya}=\pi r^{2}=\pi \times 4^{2}=16\pi \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Bayangan untuk titik A(1,3) oleh rotasi dengan pusat \textit{O}(0,0)}\\ &\textrm{sejauh}\: \: 90^{\circ}\: \: \textrm{adalah}\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (-1,3)&&\textrm{d}.\quad (1,-3)\\ \textrm{b}.\quad (-1,-3)&\textrm{c}.\quad (-3,1)&\textrm{e}.\quad (3,1) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}\textrm{Karena rotasi d}&\textrm{engan pusat \textit{O} sebesar}\: \: 90^{\circ},\: \: \textrm{maka}\\ R\left ( O(0,0),90^{\circ} \right )&=\begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ}\\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ \textrm{sehingga}\quad\qquad&\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Bayangan untuk titik P(2,5) oleh rotasi dengan pusat \textit{A}(1,3)}\\ &\textrm{sejauh}\: \: 180^{\circ}\: \: \textrm{adalah}\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (1,0)&&\textrm{d}.\quad (2,0)\\ \textrm{b}.\quad (0,1)&\textrm{c}.\quad (0,2)&\textrm{e}.\quad (1,2) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Karena rotasi de}&\textrm{ngan pusat \textit{A} sebesar}\: \: 180^{\circ},\: \: \textrm{maka}\\ R\left ( A(1,3),180^{\circ} \right )&=\begin{pmatrix} \cos 180^{\circ} & -\sin 180^{\circ}\\ \sin 180^{\circ} & \cos 180^{\circ} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ \textrm{sehingga bayang}&\textrm{an titik P(2,5)-nya adalah}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2-1\\ 5-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{7}.&\textrm{Bayangan kurva}\: \: xy=6\: \: \textrm{oleh rotasi sebesar}\: \: \displaystyle \frac{\pi }{2}\: \: \textrm{dengan pusat}\: \: O(0,0)\: \: \textrm{adalah}\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad xy=-6&&\textrm{d}.\quad x(y-x)=6\\ \textrm{b}.\quad xy=6&\textrm{c}.\quad x(x-y)=6&\textrm{e}.\quad x(x+y)=-6\end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\textrm{Karena rotasi d}&\textrm{engan pusat \textit{O} sebesar}\: \: \displaystyle \frac{\pi }{2}=90^{\circ},\: \: \textrm{maka}\\ R\left ( O(0,0),90^{\circ} \right )&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ \textrm{sehingga bayan}&\textrm{gan tiap titik pada kurva adalah}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y\\ x \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} x & =y' \\ y & =-x' \end{cases}\\ \textrm{Selanjunya unt}&\textrm{uk bayangan kurvanya adalah}:\\ xy&=6\\ y'.(-x')&=6\\ x'y'&=-6\\ \textrm{Jadi , persamaa}&\textrm{n kurva bayangannya adalah}\: \: xy=-6 \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{8}.&\textrm{Sebuah lingkaran yang berpusat di (3,4) dan menyinggung sumbu-X dicerminkan}\\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=x\: \textrm{, maka persamaan akhir lingkaran yang terjadi adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-6y+9=0&&\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\\ \textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+6y+9=0&\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+8y+9=0&\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+6y+16=0\end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\textrm{Refleksi l}&\textrm{ingkaran yang berpusat di (3,4) dan menyinggung sumbu-X, dengan}\: \: r=(y)=4\\ \textrm{maka}\: \textrm{per}&\textrm{maan lingkarannya adalah}:\: \: (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4^{2}.\: \textrm{Karena}\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} x & =y' \\ y & =x' \end{cases}\\ \textrm{selanjutn}&\textrm{ya untuk persamaan bayangan lingkarannya adalah}:\\ &(y'-3)^{2}+(x'-4)^{2}=4^{2},\qquad \textbf{menjadi}\\ &(y-3)^{2}+(x-4)^{2}=4^{2},\quad \textrm{atau}:\\ &x^{2}+y^{2}-8x-6y+9=0 \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{9}.&\textrm{Jika}\: \: M_{x}\: \: \textrm{adalah pencerminan terhadap sumbu-X dan}\: \: M_{y=x}\: \: \textrm{adalah pencerminan}\\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=x\: ,\: \textrm{maka matriks transformasi tunggal yang mewakili}\: \: M_{x}\circ M_{y=x}=\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}&&\textrm{d}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}&\textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}&\textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}\: &\textrm{bahwa}:\\ &\begin{cases} M_{x} & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ M_{y=x} & =\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{cases}\\ M_{x}\circ M_{y=x}&=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0+0 & 1+0\\ 0-1 & 0+0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{10}.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \vec{x}\: \: \textrm{dirotasikan terhadap titik asal}\: \: O\: \: \textrm{sebesar}\: \: \theta >0\: \: \textrm{searah jarum jam}.\\ &\textrm{Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis}\: \: y=0\: ,\: \textrm{menghasilkan vektor}\: \: \vec{y}.\\ &\textrm{Jika}\: \: \vec{y}=A.\vec{x}\: ,\: \textrm{maka matriks}\: \: A-\textrm{nya adalah}\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}&&\textrm{d}.\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}&&\textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\\ \textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}&& \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui bah}&\textrm{wa}:\\ &\begin{cases} M_{x} & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ R_{-\theta } & =\begin{pmatrix} \cos (-\theta ) & -\sin (-\theta )\\ \sin (-\theta ) & \cos (-\theta ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{cases}\\ A=M_{x}\circ R_{-\theta }&=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s