Contoh Soal Induksi Matematika

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Diketahui bahwa jika}\: \: 31+39+47+\cdots +8n+23=4n^{2}+27n\: \: \textrm{dengan}\: \: k,n\in \mathbb{N}\\ &\textrm{maka}\: \: 31+39+47+\cdots +8n+23+8k+31=....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4k^{2}+27k&&&\textrm{d}.&4k^{2}+35k+1\\ \textrm{b}.&4k^{2}+35k&\textrm{c}.&4k^{2}+35k+31&\textrm{e}.&4k^{2}+35k+54\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}\begin{aligned}\underset{4k^{2}+27k}{\underbrace{31+39+47+\cdots +8k+23}}+8k+31&=4k^{2}+27k+8k+31\\ &=4k^{2}+35k+31 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\: \: \textrm{dapat dibuktikan bahwa}\: \: n(n+1)(n+2)\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4&&&\textrm{d}.&7\\ \textrm{b}.&5&\textrm{c}.&6&\textrm{e}.&8\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}P(n)&=n(n+1)(n+2)\\ P(1)&=1(1+1)(1+2)=1.2.3\\ &\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 6} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\: \: \textrm{dapat dibuktikan juga bahwa}\: \: 7^{n}-2^{n}\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&2&&&\textrm{d}.&5\\ \textrm{b}.&3&\textrm{c}.&4&\textrm{e}.&6\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}P(n)&=7^{n}-2^{n}\\ P(1)&=7^{1}-2^{1}\\ &=7-2=5\\ &\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 5} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: P(n)\: \: \textrm{rumus dari}\: \: 3+6+9+\cdots +3n=\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)\\ &\textrm{maka langkah pertama dengan induksi matematika}\\ &\textrm{dalam pembuktian rumus tersebut adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=-1\\ \textrm{b}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=1\\ \textrm{c}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan rasional}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan real} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Langkah}&\: \textrm{awal yang harus ditunjukkan adalah}\\ n=1&\: \: \textrm{atau}\: \: P(1)\: \: \textrm{harus benar, yaitu}:\\ P(1)&=3.1(\textit{ruas kiri})=\displaystyle \frac{3}{2}.1.(1+1)(\textit{ruas kanan})=3 \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Bila kita hendak membuktikan}\: \: \sum_{i=1}^{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\: \: \textrm{dengan induksi matematika}\\ &\textrm{maka untuk langkah}\: \: n=k+1\: , \: \textrm{bentuk yang harus ditunjukkan adalah}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \textrm{b}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ \textrm{c}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+2)\\ \textrm{d}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2)\\ \textrm{e}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(k+3)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}P(n)&=1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ P(k)&=1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ P(k+1)&=1+2+3+\cdots +k+(k+1)\\ &=\underset{\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+\cdots +k}}+(k+1)\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)=(k+1)\left ( \displaystyle \frac{1}{2}k+1 \right )\\ &=(k+1)\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2) \end{aligned} \end{array}.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s