Trigonometri (Kelas XI Peminatan Mat & IA K13 Revisi)

Arsip lama

A. Persamaan Trigonometri

Untuk persamaan trigonometriny adalah sebagai berikut:

\begin{array}{|c|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Persamaan Trigonometri}}\\\hline \textrm{No}&\qquad\qquad \textrm{Persamaannya}&\quad\qquad\qquad \textrm{atau}\\\hline 1&\begin{aligned}\sin x&=\sin \alpha \\ x&=\begin{cases} &=\alpha +k.360^{\circ} \\ &=\left ( 180^{\circ}-\alpha \right )+k.360^{\circ} \end{cases}\\ \textrm{deng}&\textrm{an}\\ k&\in \mathbb{Z} \end{aligned}&\begin{aligned}\sin x&=\sin \alpha \\ x&=\begin{cases} &=\alpha +k.2\pi \\ &=\left ( \pi -\alpha \right )+k.2\pi \end{cases}\\ \textrm{deng}&\textrm{an}\\ k&\in \mathbb{Z} \end{aligned}\\\hline 2&\begin{aligned}\cos x&=\cos \alpha \\ x&=\begin{cases} &=\alpha +k.360^{\circ} \\ &=-\alpha +k.360^{\circ} \end{cases}\\ \textrm{deng}&\textrm{an}\\ k&\in \mathbb{Z} \end{aligned}&\begin{aligned}\cos x&=\cos \alpha \\ x&=\begin{cases} &=\alpha +k.2\pi \\ &=-\alpha +k.2\pi \end{cases}\\ \textrm{deng}&\textrm{an}\\ k&\in \mathbb{Z} \end{aligned}\\\hline 3&\begin{aligned}\tan x&=\tan \alpha \\ x&=\alpha +k.180^{\circ}\\ \textrm{deng}&\textrm{an}\\ k&\in \mathbb{Z} \end{aligned}&\begin{aligned}\tan x&=\tan \alpha \\ x&=\alpha +k.\pi \\ \textrm{deng}&\textrm{an}\\ k&\in \mathbb{Z} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Berikut beberapa grafik fungsi trigonometri

A. 1. Grafik Fungsi Sinus

A. 2. Grafik Fungsi Cosinus

A. 3. Grafik Fungsi Tangen

Sebagai pengingat untuk nilai-nilai sudut istimewa dari grafik di atas adalah sebagai berikut:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \cdots \alpha &0^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha &0&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha &1&\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}&\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha &0&\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}.

Hal-hal yang perlu diperhatikan di antaranya:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Fungsi Trigonometri}&\textrm{Periode}&\textrm{Nilai}&\textrm{Amplitudo}\\\hline 1&y=A\sin nx&\displaystyle \frac{360^{\circ}}{n}\: \: \textrm{atau}\: \: \frac{2\pi }{n}&-A\leq A\sin nx\leq A&\\\cline{1-4} 2&y=A\cos nx&\displaystyle \frac{360^{\circ}}{n}\: \: \textrm{atau}\: \: \frac{2\pi }{n}&-A\leq A\cos nx\leq A&\frac{1}{2}\left ( Max-Min \right )\\\cline{1-4} 3&y=A\tan nx&\displaystyle \frac{180^{\circ}}{n}\: \: \textrm{atau}\: \: \frac{\pi }{n}&-\infty \leq A\tan nx\leq \infty &\\\hline 4&\textbf{sebagai ilustrasi}&\multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}y&=A\sin (nx-\alpha )\\ &\textrm{dapat diperoleh dari fungsi}\\ &y=A\sin nx\: \: \textrm{dengan menggesernya ke \textbf{kanan}}\\ &\textrm{sejauh}\: \: \displaystyle \frac{\alpha }{n}.\\ &\textrm{Dan jika sebaliknya}\: \: \left ( y=A\sin (nx+\alpha ) \right )\\ &\textrm{maka menggesernya ke sebelah \textbf{kiri}}\\ &\textrm{demikian juga untuk fungsi yang lainnya} \end{aligned}}\\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}..

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut}\\ &\textrm{ini untuk}\: \: 0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.& \sin x=\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{f}.& \tan x=-\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}&\textrm{k}.& \sin 2x=\displaystyle \frac{1}{2}\\ \textrm{b}.& \cos x=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}&\textrm{g}& 2\cos x=-\sqrt{3}&\textrm{l}.& \cos 2x=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \textrm{c}.& \tan x=\sqrt{3}&\textrm{h}& 3\tan x=\sqrt{3}&\textrm{m}.& \tan 2x=\sqrt{3}\\ \textrm{d}.& \sin x=-1&\textrm{i}.& \sin x=\sin 46^{\circ}&\textrm{n}.& \sin \left ( 2x-30^{\circ} \right )=\sin 45^{\circ}\\ \textrm{e}.& \cos x=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}&\textrm{j}.& \cos x=\cos 93^{\circ}&\textrm{o}.& \sin \left ( 2x+60^{\circ} \right )=\sin 90^{\circ}\\ \end{array}\\ \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad\sin x&=\displaystyle \frac{1}{2}\\ \sin x&=\sin 30^{\circ}\\ x&=\begin{cases} 30^{\circ} & +k.360^{\circ}\\ \left (180^{\circ}-30^{\circ} \right ) & +k.360^{\circ} \end{cases}\\ k=0&\: \: \textrm{diperoleh}:\\ x&=\begin{cases} 30^{\circ} & \\ 150^{\circ} & \end{cases}\\ k=1&\: \: \textrm{tidak ada yang memenuhi}\\ \textrm{HP}&=\left \{ 30^{\circ},150^{\circ} \right \} \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d}.\quad\sin x&=-1\\ \sin x&= \sin 270^{\circ}\\ x&=\begin{cases} 270^{\circ} & +k.360^{\circ} \\ \left ( 180^{\circ}-270^{\circ} \right ) & +k.360^{\circ} \end{cases}\\ k=0&\: \: \textrm{diperoleh}\\ x&=\begin{cases} 270^{\circ} & \\ -90^{\circ} & \textrm{tidak memenuhi} \end{cases}\\ k=1&\: \: \textrm{tidak memenuhi semuanya}\\ \textrm{HP}&=\left \{ 270^{\circ} \right \} \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{n}.\quad\sin \left ( 2x-30^{\circ} \right )&=\sin 45^{\circ}\\ \left ( 2x-30^{\circ} \right )&=\begin{cases} 45^{\circ} & +k.360^{\circ} \\ \left ( 180^{\circ}-45^{\circ} \right ) & +k.360^{\circ} \end{cases}\\ 2x&=\begin{cases} 45^{\circ}+30^{\circ} &+k.360^{\circ} \\ 135^{\circ}+30^{\circ} &+ k.360^{\circ} \end{cases}\\ x&=\begin{cases} 37,5^{\circ} & +k.180^{\circ} \\ 82,5^{\circ} & +k.180^{\circ} \end{cases}\\ k=0&\: \: \textrm{diperoleh}\\ x&=\begin{cases} 37,5^{\circ} & \\ 82,5^{\circ} & \end{cases}\\ k=1&\: \: \textrm{diperoleh}\\ x&=\begin{cases} 37,5^{\circ}+180^{\circ} &=217,5^{\circ} \\ 82,5^{\circ}+180^{\circ} &=262,5^{\circ} \end{cases}\\ k=2&\: \: \textrm{tidak ada yang memenuhi}\\ \textrm{HP}&=\left \{ 37,5^{\circ},82,5^{\circ},217,5^{\circ},262,5^{\circ} \right \} \end{aligned} }\\\hline \end{array}.

Yang belum dibahas, silahkan gunakan sebagai latihan mandiri

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut}\\ &\textrm{ini untuk}\: \: 0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.& \sin \left ( x+30^{\circ} \right )-\sin 2x=0&\textrm{d}.& \sqrt{1-\sin ^{2}x}=\cos 90^{\circ}\\ \textrm{b}.& \cot x-\sin x\cos x=0&\textrm{e}.&\sqrt{4-4\cos ^{2}x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \textrm{c}.& 1-\cos 2x=0&\textrm{f}.&\sqrt{\sin x\sqrt{\sin x\sqrt{\sin x\sqrt{\cdots }}}}=\cos x\\ \end{array}\\ \end{array}..

Jawab:

\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad \sin \left ( x+30^{\circ} \right )&-\sin 2x=0\\ \sin 2x&=\sin \left ( x+30^{\circ} \right )\\ 2x_{1,2}&=\begin{cases} \left ( x_{1}+30^{\circ} \right ) &+k.360^{\circ} \\ 180^{\circ}-\left ( x_{2}+30^{\circ} \right ) & +k.360^{\circ} \end{cases}\\ 2x_{1}-x_{1}&=30^{\circ}+k360^{\circ}\Leftrightarrow x_{1}=30^{\circ}+k.360^{\circ}\\ 2x_{2}+x_{2}&=150^{\circ}+k.360^{\circ}\Leftrightarrow 3x_{2}=150^{\circ}+k.360^{\circ}\\ \textrm{Sehingga},&\\ \Leftrightarrow x_{1}&=30^{\circ}+k.360^{\circ}\\ \Leftrightarrow x_{2}&=50^{\circ}+k.120^{\circ}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}k=0&\\ x_{1}&=30^{\circ}\\ x_{2}&=50^{\circ}\\ k=1&\\ x_{1}&=390^{\circ}\quad \textrm{tidak memenuhi=tm}\\ x_{2}&=170^{\circ}\\ k=2&\\ x_{1}&=30^{\circ}+2.360^{\circ}=750^{\circ}\: \: (\textrm{tm})\\ x_{2}&=290^{\circ}\\ \textrm{yang lain}&\textrm{ jelas tidak ada yang memenuhi}\\ \textbf{HP}&=\left \{ 30^{\circ},50^{\circ},170^{\circ},290^{\circ} \right \} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{e}.\quad \sqrt{4-4\cos ^{2}x}&=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 4-4\cos ^{2}x&=\displaystyle \frac{1}{2}\\ 4\left ( 1-\cos ^{2}x \right )&=\displaystyle \frac{1}{2}\\ 4\sin ^{2}x&=\displaystyle \frac{1}{2}\\ \sin ^{2}x&=\displaystyle \frac{1}{8}\\ \sin x&=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{8}} \end{aligned}&\begin{aligned}x&=\begin{cases} \sin ^{-1}\left ( \sqrt{\displaystyle \frac{1}{8}} \right ) & +k.360^{\circ}\Leftrightarrow x_{1,2}=\begin{cases} \sin ^{-1}\left ( \sqrt{\displaystyle \frac{1}{8}} \right ) & +k.360^{\circ} \\ 180^{\circ}-\left ( \sin ^{-1}\left ( \sqrt{\displaystyle \frac{1}{8}} \right ) \right ) & +k.360^{\circ} \end{cases} \\ \sin ^{-1}\left ( \sqrt{\displaystyle -\frac{1}{8}} \right ) & +k.360^{\circ}\Leftrightarrow x_{3,4}=\begin{cases} \sin^{-1} \left ( -\sqrt{\displaystyle \frac{1}{8}} \right ) & +k.360^{\circ} \\ 180^{\circ}-\sin^{-1} \left ( - \sqrt{\displaystyle \frac{1}{8}}\right ) & +k.360^{\circ} \end{cases} \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

HP silahkan tentukan sendiri dapat dilakukan dengan bantuan tabel nilai trigonometri.

\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{f}.\quad \sqrt{\sin x\sqrt{\sin x\sqrt{\sin x\sqrt{...}}}}&=\cos x\\ \sin x\sqrt{\sin x\sqrt{\sin x\sqrt{...}}}&=\cos^{2} x\\ \sin x\underset{\cos x}{\underbrace{\sqrt{\sin x\sqrt{\sin x\sqrt{...}}}}}&=\cos^{2} x\\ \sin x.\cos x&=\cos ^{2}x\\ \sin x&=\cos x\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}&=1\\ \tan x&=\tan 45^{\circ}\\ x&=45^{\circ}+k.180^{\circ}\\ k=0&\\ x&=45^{\circ}\\ k=1&\\ x&=45^{\circ}+180^{\circ}=225^{\circ}\\ k=2&\quad (\textrm{tidak ad yang memenuhi})\\ \textbf{HP}&=\left \{45^{\circ},225^{\circ} \right \} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{LATIHAN SOAL}}}};

Yang belum dibahas, silahkan gunakan sebagai latihan mandiri

Sumber Referensi

  1. Kurnia, N.,  dkk. 2017. Jelajah Matematika 2 SMA Kelas XI Peminatan MIPA(Edisi Revisi 2016). Jakarta: Yudistira.
  2. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, dan Rusdi, I. 2017. Matematika untuk siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam(Edisi Revisi 2016). Bandung: SEWU.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s