Lanjutan Sistem Persamaan Linear (Kelas X K13 Revisi)

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

A. 1  Bentuk Umum

\begin{array}{ll}\\ \textbf{\underline{Bentuk Umum}}&:\\\\ &\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y &=c_{1} \\\\ a_{2}x+b_{2}y &=c_{2} \end{cases}\\\\ \qquad\qquad \textit{\textbf{dengan}}&\bullet \quad a_{1},\: a_{2},\: b_{1},\: b_{2},\: c_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: c_{2}\: \: \textrm{bilangan real}.\\ &\bullet \quad \textrm{Jika}\: \: \begin{cases} c_{1}=c_{2}=0 & ,\: \textrm{maka dikatakan SPLDV }\textit{homogen}\\ c_{1}\neq 0\: \: \: \textrm{atau}& \: c_{2} \neq 0 \: \: ,\: \textrm{maka dikatakan SPLDV }\textit{tidak homogen} \end{cases} \end{array}.

Perhatikan bahwa

\begin{array}{ll}\\ \textrm{Jika}\: \: x=x_{0}\: \: \textrm{dan}\: \: y=y_{0}&\textrm{memenuhi}\\\\ &\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y &=c_{1} \\\\ a_{2}x+b_{2}y &=c_{2} \end{cases}\\\\ \qquad \textrm{maka akan berlaku}&\textbf{hubungan}\\\\ &\begin{cases} a_{1}x_{0}+b_{1}y_{0} &=c_{1} \\\\ a_{2}x_{0}+b_{2}y_{0} &=c_{2} \end{cases}\\\\ \textrm{sehingga pasangan terurut}&\left ( x_{0},y_{0} \right )\: \: \textrm{merupakan penyelesaian SPLDV tersebut}. \end{array}.

A. 2  Penyelesaian SPLDV 

Ada banyak cara penyelesaian SPLDV, yaitu:

  • metode grafik
  • cara substitusi
  • cara eliminasi
  • cara gabungan eliminasi-substitusi
  • cara determinan

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Dengan}\: &\: \underline{\textbf{determinan}}\: \: (D)\\\\ \textrm{misal}&\: \begin{cases} ax+by=c \\ px+qy=r \end{cases}\\ D&=\begin{vmatrix} a & b\\ p & q \end{vmatrix}=aq-bp\\ & \end{aligned}}\\\hline D_{x}=\begin{vmatrix} c&b\\ r&q \end{vmatrix}&D_{y}=\begin{vmatrix} a & c\\ p & r \end{vmatrix}\\\hline \begin{aligned}&\\ x&=\displaystyle \frac{D_{x}}{D}\\ &=\displaystyle \frac{cq-br}{aq-bp}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ y&=\displaystyle \frac{D_{y}}{D}\\ &=\displaystyle \frac{ar-cp}{aq-bp}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

A. 3  Kemungkinan Banyak Solusi untuk SPLDV

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textbf{Bentuk}&\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Banyak Solusi Penyelesaian SPLDV}}\\\hline &\textrm{Tunggal}&\textrm{Tak berhingga}&\textrm{Tidak memiliki}\\\cline{2-4} \begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{cases}&\begin{matrix} a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq 0\\ \textrm{atau}\\ a_{1}b_{2}\neq a_{2}b_{1} \end{matrix}&\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}&\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\\ &&&\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut}\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&\begin{cases} x+y=11 \\ x-y= 1 \end{cases}&\textrm{f}.&\begin{cases} x+3y=1 \\ 2x-4y=9 \end{cases}&\textrm{k}.&\begin{cases} 2x-3y=-6 \\ 3y-2x=18 \end{cases}\\\\ \textrm{b}.&\begin{cases} 2x+3y=6 \\ 2x+y=-2 \end{cases}&\textrm{g}.&\begin{cases} 2x-3y=-7 \\ 3x+5y=-1 \end{cases}&\textrm{l}.&\begin{cases} 3x+5y=15 \\ 9x+15y=45 \end{cases}\\\\ \textrm{c}.&\begin{cases} x-4y=-1 \\ 2x+8y=-2 \end{cases}&\textrm{h}.&\begin{cases} 3x+7y=-1 \\ x-3y=5 \end{cases}&\textrm{m}.&\begin{cases} 4x+3y=12 \\ 8x+6y=48 \end{cases}\\\\ \textrm{d}.&\begin{cases} 5x+2y=-10 \\ 6x-3y=-39 \end{cases}&\textrm{i}.&\begin{cases} 2x-y=7 \\ x-y=-1 \end{cases}&\textrm{n}.&\begin{cases} x-6y=7 \\ 2x-12y=10 \end{cases}\\\\ \textrm{e}.&\begin{cases} 2x+y=-9 \\ 3x+2y=-15 \end{cases}&\textrm{j}.&\begin{cases} 3x+2y=8 \\ x-2y=0 \end{cases}&\textrm{o}.&\begin{cases} x-y-2=0 \\ 2x-y-3=0 \end{cases} \end{array} \end{array}.

Jawab:

yang dibahas hanya no. 1. b, yaitu:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{5}{|c|}{\begin{aligned}&\\ &\begin{cases} 2x+3y=6 \\ 2x+y=-2 \end{cases}\\ & \end{aligned}}\\\hline \textrm{Metode}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Gabungan}}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Determinan}}\\\cline{2-5} \textrm{Grafik}&\textrm{Eliminasi\: (y)}&\textrm{Substitusi\: (x)}&\textrm{Nilai}\: x&\textrm{Nilai}\: y\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah}\\ &\textrm{ilustrasi}\\ &\textrm{gambar}\\ &\textrm{di bawah}\\ & \end{aligned} &\begin{aligned}&\begin{matrix} 2x+3y=6&\\ 2x+y=-2&\\ \underline{\quad\qquad\qquad}\:&-\\ \quad 2y=8&\\ \quad \: \: \,y=4& \end{matrix}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}2x&+3y=6\\ 2x&=6-3y\\ x&=\displaystyle \frac{6-3y}{2}\\ &=\displaystyle \frac{6-3(4)}{2}\\ &=\displaystyle \frac{-6}{2}\\ &=-3 \end{aligned}&\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{D_{x}}{D}\\ &=\displaystyle \frac{cq-br}{aq-bp}\\ &=\displaystyle \frac{(6)(1)-(3)(-2)}{(2)(1)-(3)(2)}\\ &=\displaystyle \frac{6+6}{2-6}\\ x&=-3 \end{aligned} &\begin{aligned}y&=\displaystyle \frac{D_{y}}{D}\\ &=\displaystyle \frac{ar-cp}{aq-bp}\\ &=\displaystyle \frac{(2)(-2)-6(2)}{(2)(1)-(3)(2)}\\ &=\displaystyle \frac{-4-12}{2-6}\\ y&=4 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Untuk gambarnya adalah berikut

\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ (-3,4) \right \}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{4}{x}-\frac{3}{y}=1 \\\\ \displaystyle \frac{6}{x}-\frac{3}{y}=4 \end{cases}&\textrm{f}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{4}{x}+\frac{7}{y}=-1 \\\\ \displaystyle \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=3 \end{cases}&\textrm{k}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{x+y}=\frac{1}{3} \\\\ \displaystyle \frac{xy}{x-y}=\frac{1}{7} \end{cases} \\\\ \textrm{b}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{4}{x}-\frac{3}{y}=-1 \\\\ \displaystyle \frac{9}{x}-\frac{8}{y}=7 \end{cases}&\textrm{g}.&\begin{cases} -3x+4y=xy \\ 9x-2y=-4xy \end{cases}&\textrm{l}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{2x+3y}=\frac{1}{4} \\\\ \displaystyle \frac{xy}{x-3y}=\frac{1}{3} \end{cases}\\\\ \textrm{c}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=-1 \\\\ \displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=2 \end{cases}&\textrm{h}.&\begin{cases} x+2y=5xy \\ -x+5y=9xy \end{cases}&\textrm{m}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{5x+3y}=\frac{1}{3} \\\\ \displaystyle \frac{-xy}{7x+4y}=1 \end{cases}\\\\ \textrm{d}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{2}{x}-\frac{3}{y}=2 \\\\ \displaystyle \frac{3}{x}-\frac{5}{y}=1 \end{cases}&\textrm{i}.&\begin{cases} 2x-5y=16xy \\ 7x+2y=17xy \end{cases}&\textrm{n}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{y-x}=1 \\\\ \displaystyle \frac{xy}{x+4y}=\frac{1}{14} \end{cases}\\\\ \textrm{e}.&\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3 \\\\ \displaystyle \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=-2 \end{cases}&\textrm{j}.&\begin{cases} -2x+5y=6xy \\ 2x-y=5xy \end{cases}&\textrm{o}.&\begin{cases} 3(x-(y-2))=2x-3(y+1)+5 \\\\ 4(x-2(y-1))=5y+1 \end{cases} \end{array} \end{array}.

Jawab:

\begin{aligned}2.\: \textrm{a}\quad &\textrm{Dengan cara gabungan eliminasi-substitusi}\\ &\begin{cases} \displaystyle \frac{4}{x}-\frac{3}{y}=1 \\\\ \displaystyle \frac{6}{x}-\frac{3}{y}=4 \\ \underline{\qquad\qquad}\: \: \: - \end{cases}\\ &\: \: \: \quad \displaystyle -\frac{2}{x}=-3\\ &\textrm{sehingga},\\ x&=\displaystyle \frac{2}{3}\quad \textrm{dengan}\quad \displaystyle \frac{3}{y}=\frac{4}{x}-1\Leftrightarrow \displaystyle \frac{3}{y}=\displaystyle \frac{4}{\left ( \frac{2}{3} \right )}-1\Leftrightarrow \displaystyle \frac{3}{y}=6-1\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{3}{5}\\ &\textrm{Jadi},\: \textrm{HP}=\left \{ \left (\displaystyle \frac{2}{3},\frac{3}{5} \right ) \right \} \end{aligned}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{LATIHAN SOAL}}.

  1. Kerjakanlah soal pada no. 1 yang belum dibahas
  2. Selesaikan pula soal no. 2 yang belum dibahas juga
  3. Jika titik potong antara garis  l  dan garis  g  adalah titik (-1 , 3) dan garis  l  mempunyai persamaan  2x+ay=7  dan garis  g  dengan persamaan  bx+2y=3  , maka nilai dari  a+b  adalah….
  4. Jika jumlah dua buah bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, tentukanlah bilangan-bilangan itu!
  5. Jika sebuah garis dengan persamaan  y=mx+c  dan melalui titik  (3 , 5) serta (4 , 7) , tentukanlah nilai dari  m  dan  c   dan tulislah persamaan garis tersebut!
  6. Antara pukul 03.00 dan 04.00 jarum panjang dan pendek sebuah jam dinding akan berimpit pada pukul 03.00 lebih…

Sumber Referensi

  1. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  2. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, Subagya. 2004. Matematika I A untuk SMA Kelas 1. Jakarta: PT Bumi Aksara.
  3. Yuana, R. A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika 1 untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata Pelajaran Wajib. Solo: PT. Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s