Limit Fungsi (KTSP MA/SMA Kelas XI)

A. Pengertian Limit

Adalah nilai hampiran melalui pendekatan intuitif suatu variabel pada suatu bilangan real. Notasi  limit adalah:

\LARGE\boxed{\lim_{x \to a}\: f(x)=L}.

  • Notasi di atas dapat dengan : ” limit suatu fungsi f(x) pada saat x mendekati a adalah sama dengan L
  • Limit fungsi f(x) ada jika limit(harga batas) tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan dengan harga yang sama.
  • Limit kiri adalah pendekatan secara intuitif nilai fungsi real dari arah sebelah kiri dan dinotasikan dengan  \LARGE\boxed{\lim_{x \to a^{-}}\: f(x)=L}
    .
  • Limit kanan adalah pendekatan secara intuitif nilai fungsi real dari arah sebelah kanan dan dinotasikan dengan  \LARGE\boxed{\lim_{x \to a^{+}}\: f(x)=L}
    .
  • Secara intuitif di sini diartikan dengan mulai menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik tersebut.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Berikut nilai limit untuk}\\ &\textrm{a}.\quad \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\: x=1\\ &\qquad \textrm{dibaca}:\: \textrm{limit \textsl{x} sama dengan 1, jika \textsl{x} mendekat 1}\\ &\textrm{b}.\quad \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\: x^{2}=4\\ &\qquad \textrm{dibaca}:\: \textrm{limit} \: \: x^{2}\: \: \textrm{sama dengan 4, jika \textsl{x} mendekati 2}\\ &\textrm{c}.\quad \underset{x \to 3}{\textrm{lim}}\: x^{3}=27\\ &\qquad \textrm{dibaca}:\: \textrm{limit} \: \: x^{3}\: \: \textrm{sama dengan 27, jika \textsl{x} mendekati 3}\\ &\textrm{d}.\quad \underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\: 2x+5=13\\ &\qquad \textrm{dibaca}:\: \textrm{limit} \: \: 2x+5\: \: \textrm{sama dengan 13, jika \textsl{x} mendekati 4}\\ &\textrm{e}.\quad \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}=4\\ &\qquad \textrm{dibaca}:\: \textrm{limit} \: \: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\: \: \textrm{sama dengan 4, jika \textsl{x} mendekati 2}\\ &\textrm{f}.\quad \underset{x \to 3}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-9}{x-3}=6\\ &\qquad \textrm{dibaca}:\: \textrm{limit} \: \: \displaystyle \frac{x^{2}-9}{x-3}\: \: \textrm{sama dengan 6, jika \textsl{x} mendekati 3}\\ \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Perhatikanlah CONTOH SOAL pada No.1 e di atas}\: ,\\ &\textrm{Sebagai penjelasannya adalah sebagai berikut}:\\\\ &\qquad \begin{array}{|l|l|r|r|}\hline x\rightarrow 2^{-}&\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ &\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\\ & \end{aligned}}&x\rightarrow 2^{+}\\\hline 1,7&3,7&4,2&2,2\\\hline 1,8&3,8&4,1&2,1\\\hline 1,99&3,99&4,01&2,01\\\hline 1,999&3,999&4,001&2,001\\\hline \: \: \: \: \downarrow &\: \: \: \: \downarrow &\downarrow \: \: \: \: &\downarrow \: \: \: \: \\ \: \: \: \: 2^{-}&\: \: \: \: 4&4\: \: \: \: &2^{+}\: \: \\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\underset{x\rightarrow 2^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)}\\\hline \end{array} \end{array}.

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned} &\\\textrm{Walaupun nilai limit}&\\ f(x)&=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\: \: \textrm{saat x mendekati 2 \textbf{ada} dan bernilai 4},\\ \textrm{masih }&\textrm{ada beberapa hal yang perlu dicermati, antara lain}:\\ & \end{aligned}}\\\hline x=2&x\neq 2\\\hline \begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\\ f(2)&=\displaystyle \frac{0}{0},\quad \textrm{hasil ini dinamakan bentuk taktentu}\\ &\quad\qquad \textrm{dan tidak ada definisi untuk bentuk ini}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\\ f(x)&=\displaystyle \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}\\ f(x)&=x+2\\ &\textrm{adalah berupa garis lurus yang}\\ &\textrm{terputus di titik}\: \: (2,4) \\ &\textrm{sebagaimana ilustrasi gambar berikut} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

387

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui suatu fungsi}\: \: f(x)\: \: \textrm{dirumuskan sebagai}\\\\ &\qquad\qquad\qquad f(x)=\begin{cases} 2x-3 &, \: \: \textrm{untuk}\: \: x\leq 3\\ x-1 &, \: \: \textrm{untuk}\: \: x>3 \end{cases}\\\\ &\textrm{Tentukanlah}\: \: \underset{x\rightarrow 3}{\textrm{lim}}\: f(x)\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\textrm{Perhatikan bahwa}&\\ &\\ &\begin{array}{|l|l|r|r|}\hline x\rightarrow 3^{-}&\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ &f(x)=\begin{cases} 2x-3 &, \: \: \textrm{untuk}\: \: x\leq 3\\ x-1 &, \: \: \textrm{untuk}\: \: x>3 \end{cases}\\ & \end{aligned}}& x\rightarrow 3^{+}\\\hline 2,7&2,4&2,2&3,2\\\hline 2,8&2,6&2,1&3,1\\\hline 2,99&2.98&2,01&3,01\\\hline 2,999&2,998&2,001&3,001\\\hline \: \: \: \: \downarrow&\: \: \: \: \downarrow&\downarrow\: \: \: \: \: \: &\downarrow\: \: \: \: \\\hline \: \: \: \: 3&\: \: \: \: 3&2\: \: \: \: \: \: &3\: \: \: \: \\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)\: \neq \: \underset{x\rightarrow 3^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)}\\\hline \end{array}\\ &\\ \textrm{Sehingga nilainya}\, &\, \textbf{limit ini tidak ada} \end{aligned}.

Selanjutnya berkaitan dengan bentuk taktentu, perlu kita perhatikan juga bentuk tak tentu semisal yang mungkin, yaitu:

\begin{array}{|l|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Bentuk tak tentu yang harus dihindari diantaranya}}\\\hline \displaystyle \frac{0}{0}&\displaystyle \frac{\infty }{\infty }&\infty -\infty \\\hline &\multicolumn{2}{l|}{\textrm{Misalkan saja}}\\\hline &\begin{aligned}\displaystyle \frac{\infty }{\infty }&=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{0}}{\displaystyle \frac{1}{0}}\\ &=\displaystyle \frac{0}{0} \end{aligned}&\begin{aligned}\infty -\infty&=\displaystyle \frac{1}{0}-\frac{1}{0}\\ &=\displaystyle \frac{1-1}{0}\\ &=\displaystyle \frac{0}{0} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s