Lanjutan Contoh Soal Suku Banyak

\begin{array}{ll}\\ \fbox{11}.&\textrm{Iketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: x+2\: \: \textrm{bersisa 5},\: \textrm{dan dibagi}\: \: x-3\: \: \textrm{bersisa 7. Jikaaka}\: \: f(x)\: \: \\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: x^{2}-5x+6\: \: \textrm{akan memiliki sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle x-2&&\textrm{d}.\quad \displaystyle 2x+1\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 2x-4&\textrm{c}.\quad \displaystyle x+2&\textrm{e}.\quad 2x+3 \end{array}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\\\ \begin{aligned}f(x)&=(x-2).h(x)+5\\ f(x)&=(x-3).h(x)+7\\ f(x)&=(x^{2}-5x+6).H(x)+s(x)\\ f(x)&=(x-2)(x-3).H(x)+px+q\\ f(2)&=(2-2)(2-3).H(x)+2p+q=5\Rightarrow 0+2p+q=5\\ f(3)&=(3-2)(3-3).H(x)+3p+q=7\Rightarrow 0+3p+q=7\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad ------- (-)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -p=-2\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \: \: \: \: \: p=2\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad \textrm{maka}, \: \: \: q=1\\ &\textrm{Sehingga},\: \: \\ &\: \: \: \: \: s(x)=px+q=2x+1\end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{12}.&\textrm{Polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 6},\: \textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 24}.\\ &\textrm{Dan polinom}\: \: g(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 5},\: \textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 2}.\\ &\textrm{Jika}\: \: h(x)=f(x).g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: h(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (2x^{2}+4x-16)\: \: \textrm{akan sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3x+24&&\textrm{d}.\quad -6x+36\\ \textrm{b}.\quad -3x+36&\textrm{c}.\quad 6x+24&\textrm{e}.\quad 12x+3 \end{array} \end{array}.

Jawab:  b

\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}f(x)&=(2x-4).h(x)+6\\ f(x)&=(x+4).h(x)+24\\ f(x)&=(2x-4)(x+4).H_{1}(x)+p_{1}x+q_{1}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagaimana}\\ &\textrm{contoh soal No. 11 di atas}.\\ \textrm{maka}&\quad p_{1}x+q_{1}=-3x+12 \end{aligned}&\begin{aligned}g(x)&=(2x-4).h(x)+5\\ g(x)&=(x+4).h(x)+2\\ g(x)&=(2x-4)(x+4).H_{2}(x)+p_{2}x+q_{2}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagaimana}\\ &\textrm{contoh soal No. 11 di atas}.\\ \textrm{maka}&\quad p_{2}x+q_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}h(x)&=f(x)\times g(x)\\ &=\left ( (2x-4)(x+4)H_{1}(x)+(-3x+12) \right )\left ( (2x-4)(x+4)H_{2}(x)+\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \right )\\ h(2)&=\left ( 0+(-3.2+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.2+4 \right )=6.5=30\\ h(-4)&=\left ( 0+(-3.-4+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.-4+4 \right )=24.2=48\\ &\textrm{pembagi}\: \: 2x^{2}+x-16,\: \: \textrm{maka sisanya adalah}\: \: s_{3}(x)=p_{3}x+q_{3}\\ x&=2\qquad \Rightarrow 2p+q=30\\ x&=-4\: \: \Rightarrow -4p+q=48\\ &\textrm{selanjutnya dengan eliminasi-substitusi diperoleh}\: \: p=-3,\: q=36\\ &\textrm{sehingga}\: \: s(x)=px+q=-3x+36 \end{aligned}}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{13}.&\textrm{(KSM 2015)Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{adalah polinom}\: \: (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})(x-x_{5})\\ &\textrm{dengan}\: \: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{5}\: \: \textrm{adalah bilangan bulat berbeda}.\: \textrm{Jika}\: \: f(104)=2012,\\ &\textrm{maka nilai} \: \: \: x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}+x_{5}\: \: \textrm{sama dengan}....\\ &\textrm{a}.\quad 13\\ &\textrm{b}.\quad 14\\ &\textrm{c}.\quad 16\\ &\textrm{d}.\quad 17\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\\\ \begin{aligned}\textrm{Diketa}&\textrm{hui bahwa}:\\ f(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})(x-x_{5})\\ f(104)&=(104-x_{1})(104-x_{2})(104-x_{3})(104-x_{4})(104-x_{5})=2012\\ &=2012=1\times 2\times 503\\ &=(-1)\times (1)\times (-2)\times (2)\times (503)\\ \textrm{maka}&\: \: \begin{cases} (104-x_{1}) &=-2\Rightarrow x_{1}=106 \\ (104-x_{2}) &=-1\Rightarrow x_{2}=105 \\ (104-x_{3}) &=1\Rightarrow x_{3}=103 \\ (104-x_{4}) &=2\Rightarrow x_{4}=102 \\ (104-x_{5}) &=503\Rightarrow x_{5}=-399 \\ \end{cases}\\ \textrm{sehin}&\textrm{gga},\\ &x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}+x_{5}=106+105+103+102+(-399)=17 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{14}.&\textrm{Tentukanlah suku banyak}\: \: f(x)\: \: \textrm{sedemikian sehingga}\: \: f(x)\: \: \textrm{terbagi oleh}\: \: x^{2}+1,\\ &\textrm{sedangkan}\: \: f(x)+1\: \: \textrm{terbagi oleh}\: \: x^{3}+x^{2}+1\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}f(x)&=\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x\\ f(x)+1&=\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x+1\\ \textrm{supaya}\: \: \: &f(x)+1\: \: \textrm{terbagi habis oleh}\: \: x^{3}+x^{2}+1 ,\: \: \textrm{maka akan ada bilangan bulat}\: \: k,\: \: \left ( k\neq 0 \right )\\ k&=\displaystyle \frac{f(x)+1}{x^{3}+x^{2}+1}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x+1}{x^{3}+x^{2}+1}\\ k=1\Rightarrow &1=\displaystyle \frac{\left ( x^{2}+1 \right ).h_{1}x+1}{x^{3}+x^{2}+1}\: \: \textrm{maka}\: \: h_{1}x=x\\ \textrm{sehingga}&\: \: f(x)=x^{3}+x^{2}\\ \textrm{untuk ni}&\textrm{lai}\: \: k\: \: \textrm{yang lain, tak ditemukan} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{15}.&\textrm{Diketahui akar-akar polinom}\: \: x^{2017}+x^{2016}+x^{2015}+...+x^{2}+x+1=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},...,x_{2017}\\ &\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \: \displaystyle \frac{1}{1-x_{1}}+\frac{1}{1-x_{2}}+\frac{1}{1-x_{3}}+...+\displaystyle \frac{1}{1-x_{2017}}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\displaystyle \frac{x^{2018}-1}{x-1}&=x^{2017}+x^{2016}+x^{2015}+...+x^{2}+x+1=0\\ \textrm{perlu dii}&\textrm{ngat bahwa kondisi ini mensyaratkan}\: \: x\neq 1,\: \: \textrm{sehingga}\\\\ x^{2018}-1&=0\\ x^{2018}&=1\\ x&=\pm 1,\: \: \: \: \textrm{pilih}\: \: x=-1\\ \textrm{maka}\: \quad &\textrm{nilai dari}\\ \displaystyle \frac{1}{1-x_{1}}+&\frac{1}{1-x_{2}}+\frac{1}{1-x_{3}}+...+\displaystyle \frac{1}{1-x_{2017}}\\ &=\underset{\textrm{sebanyak 2017}}{\underbrace{\displaystyle \frac{1}{1-(-1)}+\frac{1}{1-(-1)}+\frac{1}{1-(-1)}+...+\frac{1}{1-(-1)}}}\\ &=\underset{\textrm{sebanyak 2017}}{\underbrace{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\displaystyle \frac{1}{2}}} \\ &=\displaystyle \frac{2017}{2} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{16}.&\textrm{Diketahui akar-akar polinom}\: \: x^{3}+ax^{2}+bx-1=0\: \: \textrm{adalah}\: \: r,\: s,\: \textrm{dan}\: \: t,\: \: \textrm{dengan}\: \: a,\: b\in \mathbb{R}.\\ &\textrm{Jika akar-akar dari}\: \: \: f(x)=x^{3}+mx^{2}+nx+p\: \: \textrm{adalah}\: \: r^{2},\: s^{2},\: \: \textrm{dan}\: \: t^{2}\: \: \textrm{dengan}\: \: f(-1)=-5,\\ &\textrm{maka nilai terbesar}\: \: b\: \: \textrm{adalah}\: ....\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\.

Sumber Referensi

  1. Idris, Muhammad, Ibnu Rusdi. 2015. Langkah Awal Meraih Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: Yrama Widya.
  2. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Untung Setiyadi. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: Intan Pariwara.
  3. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, dan Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: Bumi Aksara.
  4. Kumpulan soal

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir asli orang Purwodadi, Jawa Tengah, lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s