Lanjutan Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung 2

\begin{array}{ll}\\ \fbox{11}.&\textrm{Persamaan garis singgung lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+8x-3y-24=0,\\ &\textrm{di titik}\: \: (2,4)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad 12x-5y-44=0\\ &\textrm{b}.\quad 12x+5y-44=0\\ &\textrm{c}.\quad 12x-y-50=0\\ &\textrm{d}.\quad 12x+y-50=0\\ &\textrm{e}.\quad 12x+y+50=0 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{b}\\\\ \begin{aligned}x^{2}+y^{2}+8x-3y-24&=x^{2}+8x+16+y^{2}-3y+\displaystyle \frac{9}{4}-24=16+\frac{9}{4}\\ (x+4)^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}&=16+\frac{9}{4}+24=42\frac{1}{4}\\ \textrm{Persamaan garis singgung lingkar}&\textrm{an lingkaran di titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{adalah}:\\ (x_{1}+4)(x+4)+(y_{1}-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})&=42\frac{1}{4},\qquad \textrm{untuk}\: \: (x_{1},y_{1})=(2,4),\: \textrm{maka}\\ (2+4)(x+4)+(4-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})&=\frac{169}{4}\\ 6(x+4)+\frac{5}{2}(y-\frac{3}{2})&=\frac{169}{4}\\ 24(x+4)+5(2y-3)&=169\\ 24x+96+10y-15&=169\\ 24x+10y&=169-96+15=88\\ 12x+5y-44&=0 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{12}.&\textrm{Sebuah garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{menyinggung lingkaran yang berpusat di}\: \: (-2,5)\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{berjari-jari}\: \: 2\sqrt{10}\: \: \textrm{di titk}\: \: (4,3).\: \textrm{Maka persamaan garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad y=3x+9\\ &\textrm{b}.\quad y=3x-9\\ &\textrm{c}.\quad y=-3x+9\\ &\textrm{d}.\quad y=-3x-9\\ &\textrm{e}.\quad y=3x+21\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{b}\\\\ \begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} & =(-2,5) \\ \textrm{r} & =2\sqrt{10} \end{cases} (x+2)^{2}+(y-5)^{2}&=(2\sqrt{10})^{2}\\ (x_{1}+2)(x+2)+(y_{1}-5)(y-5)&=40,\qquad \textrm{menyingung garis}\: \: g\: \: \textrm{di}\: (4,3)\\ (4+2)(x+2)+(3-5)(y-5)&=40\\ 6x+12-2y+10&=40\\ 6x-2y&=40-12-10\\ 3x-y&=9\\ -y&=-3x+9\\ y&=3x-9 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{13}.&\textrm{Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak pada kurva}\: \: y=\sqrt{x}\: \: \textrm{dan melalui}\\ &\textrm{titik asal}\: \: O(0,0).\: \textrm{Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut adalah}\: \: a,\\ &\textrm{maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik}\: \: O\: \: \textrm{tersebut adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad y=-x\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\sqrt{a}\\ &\textrm{c}.\quad y=-ax\\ &\textrm{d}.\quad y=-2x\sqrt{2}\\ &\textrm{e}.\quad y=-2ax\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{b}\\\\ \begin{array}{|l|c|l|}\hline \textup{Pusat lingkaran}&\begin{aligned}&\textrm{Gradien garis singgung}\\ &\textrm{yang tegak lurus dengan garis}\\ &\textrm{yang melalui titik pusat}\\ &\textrm{lingkaran yang bergradien}\: \: m_{L} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis singgung}\\ &\textrm{yang melalui titik}\\ &\textrm{asal}\: \: O(0,0) \end{aligned}\\\hline (a,b)=\left ( a,\sqrt{a} \right )&\begin{aligned}m.m_{1}&=-1\\ m.\frac{y}{x}&=-1\\ m&=-\frac{x}{y}\\ m&=-\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}=-\sqrt{a} \end{aligned}&\begin{aligned}y&=mx,\quad \textrm{karena melalui}\\ y&=-\sqrt{a}x,\: \textrm{titik asal}\\ y&=-x\sqrt{a} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{14}.&\textrm{Salah satu garis singgung yang bersudut}\: \: 120^{\circ}\: \: \textrm{terhadap sumbu x positif terhadap}\\ &\textrm{lingkaran dengan ujung diameter titik}\: \: (7,6)\: \textrm{dan}\: \: (1,-2)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+12\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8\\ &\textrm{c}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4\\ &\textrm{d}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}-8\\ &\textrm{e}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+22\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{a}\\\\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Pusat Lingkaran}&\textrm{Gradien Garis Singgung}&\textrm{Jari-jari}\\\hline \begin{aligned}(a,b)&=\left ( \displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2} \right )\\ &=(4,2)\\ &\\ &\\ \end{aligned}&\begin{aligned}m&=\tan 120^{\circ}\\ &=-\tan \left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )\\ &=-\tan 60^{\circ}\\ &=-\sqrt{3}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}r&=\textrm{jarak titik}\\ &\: \: \: \: \: \, \textrm{singgung ke pusat}\\ &=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-2)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{aligned}\\\hline \multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Sehingga persamaan }&\: \textrm{garis singgungnya adalah:}\\\\ (y-b)&=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ (y-2)&=-\sqrt{3}(x-4)\pm 5\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}\\ y-2&=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\pm 5\sqrt{1+4}\\ y&=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2\pm 10=\begin{cases} -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2+ 10 \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2- 10 \end{cases}\\ y&=\begin{cases} -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12 & \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}-8 & \end{cases} \end{aligned}}\\\hline \end{array}.

Perhatikanlah gambar berikut sebagai ilustrasinya

372

\begin{array}{ll}\\ \fbox{15}.&\textrm{Salah satu garis singgung lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=10\: \: \textrm{yang ditarik dari}\\ &\textrm{titik}\: \: (4,2)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad x+3y=10\\ &\textrm{b}.\quad x-3y=10\\ &\textrm{c}.\quad -x-3y=10\\ &\textrm{d}.\quad 2x+y=10\\ &\textrm{e}.\quad x+2y=10\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{a}\\\\.

\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Garis Singgung}\\ &\quad\quad \textrm{di titik}\\ &(x_{1},y_{1})=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Tahapan menentukan}\\ &\quad\qquad \textrm{harga}\: \: m \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}y-y_{1}&=m(x-x_{1})\\ y-2&=m(x-4)\\ y&=mx-4m+2\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=10\\ x^{2}+\left ( mx-4m+2 \right )^{2}&=10\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}+4-8m^{2}x+4mx-16m&=10\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}-8m^{2}x+4mx-16m-6&=0\\ (1+m^{2})x^{2}+(4m-8m^{2})x+16m^{2}-16m-6&=0\begin{cases} a & =1+m^{2} \\ b & =4m-8m^{2} \\ c & =16m^{2}-16m-6 \end{cases} \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Syarat menyinggung}\: \: D&=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ \left ( 4m-8m^{2} \right )^{2}-4\left ( 1+m^{2} \right )\left ( 16m^{2}-16m-6 \right )&=0\\ 16m^{2}-64m^{3}+64m^{4}-64m^{2}+64m+24-64m^{4}+64m^{3}+24m^{2}&=0\\ -24m^{2}+64m+24&=0\\ -3m^{2}+8m+3&=0\\ (m-3)(3m+1)&=0\\ m=3\: \: \textrm{atau}\: \: m&=-\displaystyle \frac{1}{3}\\ m&=\begin{cases} 3 & \Rightarrow y=3x-10\\ &\Rightarrow 3x-y=10\\ -\displaystyle \frac{1}{3} & \Rightarrow y=-\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+2\\ &\Rightarrow x+3y=10 \end{cases} \end{aligned}}\\\hline \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Untung Setiyadi. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: Intan Pariwara.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s