Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung (Kelas XI)

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Persamaan lingkaran yang berpusat di}\: \: P(-2,5)\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: T(3,4)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad (x+2)^{2}+(y-5)^{2}=26\\ &\textrm{b}.\quad (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=36\\ &\textrm{c}.\quad (x+2)^{2}+(y-5)^{2}=82\\ &\textrm{d}.\quad (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=82\\ &\textrm{e}.\quad (x+2)^{2}+(y+5)^{2}=82\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{a}\\\\ \begin{array}{|l|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Persamaan Lingkaran Berpusat di}\: \: (a,b)\: \: \textrm{adalah}}&\\ \multicolumn{2}{|c|}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}&\\\cline{1-2} \textrm{Pusat di}\: \: P(-2,5)&\textrm{Melalui Titik}\: \: T(3,4)&\textrm{Sehinga persamaan lingkarannya}\\\cline{1-2} \begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x+2)^{2}+(y-5)^{2}&=r^{2}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (3+2)^{2}+(4-5)^{2}&=r^{2}\\ 5^{2}+(-1)^{2}&=r^{2}\\ 26&=r^{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{adalah}:\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}=26\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=26\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad (-3,2)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{b}.\quad (3,-2)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{c}.\quad (-2,-3)\: \:\textrm{ dan}\: \: 3\\ &\textrm{d}.\quad (2,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{e}.\quad (2,3)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{d}\\\\ \textbf{Alterntif 1}\\\\ \begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Persamaan Lingkaran Berpusat di}\: \: (a,b)\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: \: r\: \: \textrm{adalah}}\\ \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}-4x+6y+4&=0\\ x^{2}-4x+y^{2}+6y+4&=0\\ x^{2}-4x+4-4+y^{2}+6y+9-9+4&=0\\ (x-2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9+4&=0\\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=4+9-4\\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=9\\ (x-2)^{2}+(y-(-3))^{2}&=3^{2}\begin{cases} \textrm{Pusat} & =(2,-3) \\ \textrm{dan}\\ \: r & = 3 \end{cases} \end{aligned}}\\\cline{1-2} \end{array}\\\\ \textbf{Alternatif 2}\\ \begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{persamaan lingkaran}:\: \: x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\begin{cases} A & =-4 \\ B & =6 \\ C & =4 \end{cases}\\ &x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} & =\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,\: -\frac{1}{2}B \right )=\left ( -\frac{1}{2}\cdots ,\: -\frac{1}{2}\cdots \right )=(\cdots ,\cdots ) \\ \textrm{Jari-jari} & =\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\cdots ^{2}+\frac{1}{4}\cdots ^{2}-\cdots }=\sqrt{\cdots } \end{cases} \end{aligned}\\\\ \textrm{Silahkan dilengkapi sendiri}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Suatu lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-4x+2y+p=0\: \: \textrm{berjari-jari 3, maka nilai}\: \: p\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad -1\\ &\textrm{b}.\quad -2\\ &\textrm{c}.\quad -3\\ &\textrm{d}.\quad -4\\ &\textrm{e}.\quad -5\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{d}\\\\ \begin{aligned}r=\sqrt{\displaystyle \frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}&=3\\ \displaystyle \sqrt{\frac{(-4)^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4}-p}&=3\\ \displaystyle \frac{16}{4}+\frac{4}{4}-p&=9\\ 4+1-p&=9\\ -p&=9-5\\ p&=-4 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+4x+ky-12=0\: \: \textrm{melalui titik}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{maka jari-jari}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad 1\\ &\textrm{b}.\quad 5\\ &\textrm{c}.\quad 6\\ &\textrm{d}.\quad 12\\ &\textrm{e}.\quad 25\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{b}\\\\ \begin{aligned}\textrm{Lingkran} \qquad \qquad\quad\quad &\\ x^{2}+y^{2}+4x+ky-12&=0\: \: \textrm{melalui}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{berarti }\\ x^{2}+y^{2}+4x+ky-12&=(-2)^{2}+8^{2}+4(-2)+k.8-12\\ 0&=4+64-8-12+8k\\ 0&=48+8k\\ -6&=k\\ \textrm{Sehingga}\qquad\quad\quad\quad r\: \, &=\sqrt{\displaystyle \frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}=\sqrt{\displaystyle 4+9+12}=\sqrt{25}=5\\ \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Persmaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9=0\: \: \textrm{menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad (6,-4)\\ &\textrm{b}.\quad (6,6)\\ &\textrm{c}.\quad (3,-4)\\ &\textrm{d}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{e}.\quad (3,4)\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{c}\\\\ \begin{aligned}\textrm{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9&=0\: \: \textrm{menyinggung sumbu X} \: (\textrm{sejajar}\: \: y=0)\\ \textrm{maka,}\quad\quad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\: \: \: &\\ y=0\: \Rightarrow \: x^{2}+0^{2}+px+8.0+9&=0\\ x^{2}+px+9&=0\begin{cases} a & =1 \\ b & =p \\ c & =9 \end{cases}\: ,\: \textrm{syarat menyinggung}\: \: D=b^{2}-ac=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ p^{2}-4(1)(9)&=0\\ p^{2}-36&=(p+6)(p-6)=0\\ x&=-6\: \: \textrm{atau}\: \: x=6\\ p=-6\: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}-6x+8y+9&=0\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=(3,-4)\\ p=6\: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}+6x+8y+9&=0\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=(-3,-4) \end{aligned}.

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut ini

365

\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Titik-titik berikut yang posisinya berada di luar lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-2x+8y-32=0\: \: \textrm{adalah}.... \\ &\textrm{a}.\quad (0,0)\\ &\textrm{b}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{c}.\quad (-3,2)\\ &\textrm{d}.\quad (3,1)\\ &\textrm{e}.\quad (4,1)\\\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|l|c|}\hline \textrm{Opsi}&\textrm{Titik}&\textrm{Lingkaran}\equiv 0^{2}+0^{2}-2.0+8.0-32=-32&\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{a}&(0,0)&0^{2}+0^{2}-2.0+8.0-32=-32&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{b}&(-6,-4)&(-6)^{2}+(-4)^{2}-2(-6)+8(-4)-32=0&\textrm{pada}\\\hline \textcircled{c}&(-3,2)&(-3)^{2}+(2)^{2}-2(-3)+8(2)-32=3&\textbf{di luar}\\\hline \textrm{d}&(3,1)&3^{2}+1^{2}-2.3+8.1-32=-20&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{e}&(4,1)&4^{2}+1^{2}-2.4+8.1-32=-15&\textrm{dalam}\\\hline \end{array}.

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut:

366

\begin{array}{ll}\\ \fbox{7}.&\textrm{Diketahui garis}\: \: x-2y=5\: \: \textrm{memotong lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-4y+8y+10=0\: \: \textrm{di titik A dan B}.\\ &\textrm{Panjang ruas garis AB adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad 4\sqrt{2}\\ &\textrm{b}.\quad 2\sqrt{5}\\ &\textrm{c}.\quad \sqrt{10}\\ &\textrm{d}.\quad 5\\ &\textrm{e}.\quad 4\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{b}\\\\ \begin{aligned}\textrm{Perhatikanlah bahwa},\quad\quad\qquad\qquad\quad\quad\, &\\ x^{2}+y^{2}-4x+8y+10&=0,\quad \textrm{dengan}\: \: x=2y+5\\ (2y+5)^{2}+y^{2}-4(2y+5)+8y+10&=0\\ 4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10&=0\\ 5y^{2}+20y+15&=0\\ y^{2}+4y+3&=0\\ (y+1)(y+3)&=0\\ y=-1\: \: \vee \: \: y&=-3\\ \textrm{untuk nilai};\qquad y&=-3\Rightarrow x=2(-3)+5=-1,\quad A(-1,-3)\\ \qquad y&=-1\Rightarrow x=2(-1)+5=3,\qquad B(3,-1)\\ \textrm{maka},\qquad \textrm{AB}&=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(-1-(-3))^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+2^{2}}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}\\ &=2\sqrt{5} \end{aligned}.

Berikut ilustrasi gambarnya;

367

\begin{array}{ll}\\ \fbox{8}.&\textrm{Kekhususan persamaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-6x-6y+6=0\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung sumbu X}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{menyinggung sumbu Y}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{titik pusatnya terletak pada}\: \: x-y=0\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{berjari-jari 3}\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{d}\\\\ \begin{array}{|c|l|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}-6x-6y+6&=0\\ x^{2}-6x+9+y^{2}-6y+9+6&=9+9\\ (x-3)^{2}+(y-3)^{2}&=18-6\\ (x-3)^{2}+(y-3)^{2}&=12\\ (x-3)^{2}+(y-3)^{2}&=\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}\\ \textrm{lingkaran ini}&\begin{cases} \textrm{Pusat} &=(3,3) \\ \textrm{Jari-jari} & =2\sqrt{3} \end{cases} \end{aligned}}\\\hline \textrm{Opsi}&\textrm{Pernyataan}&\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{a}&\textrm{menyinggung sumbu X}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{b}&\textrm{menyinggung sumbu Y}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{c}&\textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textcircled{d}&\textrm{titik pusatnya terletak pada garis}\: \: x-y=0&\textbf{tepat}\\\hline \textrm{e}&\textrm{berjari-jari 3}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \end{array}.

Berikut ilustrasinya,

368

\begin{array}{ll}\\ \fbox{9}.&\textrm{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\: \: \textrm{menyinggung sumbu Y jika}\: \: c\: =....\\ &\textrm{a}.\quad ab\\ &\textrm{b}.\quad ab^{2}\\ &\textrm{c}.\quad a^{2}b\\ &\textrm{d}.\quad a^{2}\\ &\textrm{e}.\quad b^{2} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{e}\\\\ \begin{aligned}x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c&=0\\ x=0\Rightarrow 0^{2}+y^{2}+2a.0+2by+c&=0\\ y^{2}+2by+c&=0\begin{cases} a & =1 \\ b & =2b \\ c & =c \end{cases}\\ \textrm{Syarat menyinggung}&\: \textrm{adalah}:\\ D=b^{2}-4ac&=0\\ (2b)^{2}-4.1.c&=0\\ 4c&=4b^{2}\\ c&=b^{2} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{10}.&\textrm{Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadran I dan berada di sepanjang garis}\: \: y=2x.\\ &\textrm{Jika lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik}\: \: (0,6),\: \textrm{maka persamaan lingkaran L adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-3x-6y=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+12y-108=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}+12x+6y-72=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-12x-6y=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-6x-12y+36=0 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\: \: \textbf{e}\\\\ \begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},\quad \: \, \, &\\ \textrm{menyinggung titik}\: \: (0,6)\Rightarrow \, &\textrm{berarti pusat lingkaran L juga terletak pada garis}\: \: y=6.\\ \textrm{ini berarti pusat lingkaran}\: \: \, &\: \textrm{L berpusat di}\: \: (x,2x)=(\frac{y}{2},y),\: \: \textrm{dengan}\: \: y=6.\: \textrm{Sehingga pusatnya berada pada titik}\: \: (3,6).\\ \textrm{Maka persamaan lingkaran}\: \, &\textrm{adalah}\: \: (x-3)^{2}+(y-6)^{2}=3^{2}\: \: \textrm{ingat}\: \: r=\textrm{absis}\: \: x=3\\ (x-3)^{2}+(y-6)^{2}&=x^{2}-6x+9+y^{2}+12x+36=9\\ &\Leftrightarrow \, x^{2}+y^{2}-6x+12y+36=0 \end{aligned}.

Berikut ilustrasi gambarnya

369

Sumber Referensi

  1. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Untung Setiyadi. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: Intan Pariwara.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s