Lingkaran (KTSP MA/SMA Kelas XI)

A. Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline &\multicolumn{3}{c|}{\textbf{Persamaan}}\\\cline{2-4} \raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{\textrm{Lingkaran}} &x^{2}+y^{2}=r^{2}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}&x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)&\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\\hline \textrm{Jari-jari}&r&r&r=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Pesamaan garis}\\ &\textrm{singgung melalui}\\ &\textrm{titik}\: \: (x_{1},y_{1})\\ &\textrm{pada lingkaran} \end{aligned}&x_{1}x+y_{1}y=r^{2}&\begin{aligned}&(x_{1}-p)(x-p)\\ &\: +(y_{1}-q)(y-q)=r^{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&x_{1}x+y_{1}y\\ &\: +\displaystyle \frac{A}{2}(x_{1}+x)\\ &\: +\displaystyle \frac{B}{2}(y_{1}+y)+C=0 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung dengan}\\ &\textrm{gradien}\: \: m \end{aligned}&\begin{aligned}&y=mx\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(y-q)=m(x-a)\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}&\begin{aligned}&y+\frac{1}{2}B=m(x+\frac{1}{2}A)\\ &\: \pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}.\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

B. Posisi Titik dan Garis terhadap Lingkaran

\begin{array}{|l|l|l|c|c|}\hline &&&&k=\textrm{Kuasa titik}\: \: M(a,b)\\ \textrm{Titik}&\textrm{Posisi}&x^{2}+y^{2}=r^{2}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}&\textrm{terhadap lingkaran}\\ &&&&x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\\hline &\textrm{dalam}&a^{2}+b^{2}<r^{2}&(a-p)^{2}+(a-q)^{2}<r^{2}&k=a^{2}+b^{2}+Aa+Bb+C<0\\\cline{2-5} \textrm{M(a,b)}&\textrm{pada}&a^{2}+b^{2}=r^{2}&(a-p)^{2}+(a-q)^{2}=r^{2}&k=a^{2}+b^{2}+Aa+Bb+C=0\\\cline{2-5} &\textrm{Luar}&a^{2}+b^{2}>r^{2}&(a-p)^{2}+(a-q)^{2}>r^{2}&k=a^{2}+b^{2}+Aa+Bb+C>0\\\hline \textrm{Garis}&\multicolumn{4}{c|}{\begin{cases} \bullet &\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\: \: (D>0)\: \textrm{ada garis dan titik polar} \\ \bullet &\textrm{menyinggung lingkaran}\: \: (D=0) \\ \bullet &\textrm{tidak memotong ataupun menyinggung}\: \: (D<0) \end{cases}}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Jarak Titik}\: \: M(a,b)\: \: \textrm{terhadap lingkaran berpusat di}\: \: P(p,q)}&\left | MP \right |=r=\left | \displaystyle \frac{Ap+Bq+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right |\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat}.\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) pada kertas grafiks}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Lukislah titik-titik dari},\: A(2,3),\: B(4,3),\: \: \textrm{dan}\: \: C(3,6).\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Nyatakan kedudukan titik-titik}\: A,\: B,\: \textrm{dan}\: C\: \textrm{terhadap lingkaran. Di dalam, pada,}\\ &\quad\: \: \: \, \textrm{atau beradakah di luar lingkaran}\end{array}.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut!

360

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{a}.&\textrm{Pusat lingkaran}&\textrm{b}.&\textrm{Gambar pada kertas grafik}\\\cline{2-2}\cline{4-4} &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=5^{2}\\ &\qquad\qquad \updownarrow\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\textrm{atau}\\ &L\equiv \left \{ (x,y)|x^{2}+y^{2}=25 \right \} \end{aligned}&&\quad\qquad \textrm{Perhatikanlah gambar di atas}\\\hline \textrm{c}.&\textrm{Titik-titik}\: \: A,\: B,\: \textrm{dan}\: \: C&\textrm{d}.&\textrm{Kedudukan titik-titik}\: \: A,\: B,\: \textrm{dan}\: \: C\\\cline{2-2}\cline{4-4} & \textrm{perhatikan gambar di atas}&&\begin{matrix} \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(2,3)\: \textrm{berada di dalam lingkaran}\\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(4,3)\: \textrm{berada pada lingkaran}\: \: \: \: \: \: \: \\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(3,6)\: \textrm{berada di luar lingkaran}\: \: \: \, \end{matrix}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di pangkal koordinat}.\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: P(5,-3)\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{pusat lingkaran di pangkal koordinat}\: \: O(0,0)\\ \textrm{serta\, ling}&\textrm{karan melalui titik}\: \: P(5,-3),\: \textrm{maka}\\ r&=\sqrt{(x_{p}-0)^{2}+(y_{p}-0)^{2}}\\ &=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}\\ &=\sqrt{34}\\ \textrm{Sehingga }&,\: \textrm{persamaan lingkarannya adalah}\\ L&\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=34 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di pangkal koordinat}.\\ &\textrm{dan menyinggung}\: \: k\equiv 2x+y-5=0\end{array}.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut ini

361          menjadi

361

\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{bahwa titik}\: \: O\: \: \textrm{ke garis}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\\ r=OA&=\displaystyle \left |\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{2(0)+(0)-5}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{-5}{\sqrt{5}} \right |\\ &=\left | -\sqrt{5} \right |\\ &=-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}\qquad \textrm{(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)}\end{aligned}\\\\\\ \textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ \qquad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=5.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?}\\ &\textrm{a}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{b}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{c}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{d}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{e}.\quad L\equiv (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=9\\ &\textrm{f}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\\ &\textrm{g}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+y^{2}=27\\ &\textrm{h}.\quad L\equiv x^{2}+(y-1)^{2}=27 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9,\: \: \textrm{pusat di}\: \: \textrm{dan jari-jarinya adalah}\: \: \sqrt{9}=3\\\\ \textrm{Soal yang belum dibahas silahkan diselesaikan sendiri sebagai latihan}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di}\: \: A(2,-1)\: \: \textrm{dan menginggung garis}\\ &4y+3x-12=0\: \: \textrm{di titik}\: \: P\end{array}.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut!

362

Sehingga

\begin{aligned}&r=AP=\left | \frac{3(2)+4(1)-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right |=\left | \frac{-10}{5} \right |=\left | -2 \right |=2\\\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}\: \: L\equiv (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran}\: \: L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\end{array} \\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\textrm{Persamaan lingkaran}\: \: L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x+3y-\displaystyle \frac{3}{2}=0\begin{cases} A & =-1 \\ B & =3 \\ C & =-\displaystyle \frac{3}{2} \end{cases}\\ &\textrm{maka}\: \: \begin{cases} \textrm{Pusat} & =\left ( -\displaystyle \frac{-1}{2},- \frac{3}{2}\right )=\left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right ) \\ \textrm{Jari-jari} & =r=\sqrt{\displaystyle \frac{(-1)^{2}}{4}+\frac{3^{2}}{4}-\left ( -\frac{3}{2} \right )}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{4}=2 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, lingkaran}\: \: 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\: \: \textrm{berpusat di} \: \: \left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right )\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: \: 2\end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \: L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: (-2,1).\\ &\textrm{Tentukanlah persamaan linkaran baru yang kosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinya}\\ &\textrm{dua kali panjang jari-jari lingkaran semula?}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textrm{Lingkaran semula}&\textrm{Melalui titik}&\textrm{Persamaan lingkaran menjadi}&\textrm{Pusat dan jari-jari}\\\hline 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0&(-2,1)&&\\\cline{1-2} \multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}\textrm{Proses}&:\\ \: \: &2(-2)^{2}+2(1)^{2}-4(-2)+3p(1)-30=0\\ \Leftrightarrow \: \: &8+2+8+3p-30=0\\ \Leftrightarrow \: \: &3p=12\\ \Leftrightarrow \: \: &p=4 \end{aligned}}&\begin{aligned}&2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: x^{2}+y^{2}-2x+6y-15=0\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\begin{cases} \textrm{Pusat}: \\ \left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ =\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}.(-2),-\frac{1}{2},6 \right )\\ =(1,-3) \\\\ \textrm{Jari-jari }:\\ \begin{aligned}r&=\sqrt{\left ( -\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{2}B \right )-C}\\ &=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}-(-15)}\\ &=\sqrt{1+9+15}=5 \end{aligned} \end{cases} \\ & \end{aligned}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Persamaan}\: &\textrm{lingkaran baru }\\ &\textrm{dengan pusat}\: \: (1,-3)\: \: \textrm{dan jari-jari}\: \: r_{\textrm{baru}}=2r=2.5=10\\ &(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=(10)^{2}\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}-2x+1+y^{2}+6x+9=100\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0\end{aligned}}\\\hline \end{array}.

Berikut gambar sebagai ilustrasinya:

363

\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: p\: \: \textrm{supaya lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung sumbu x}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{memotong sumbu x di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|l|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}\\ \bullet \: \: \textrm{Lingkaran}:&\\ &x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ \textrm{terhadap }\: \: &\textrm{sumbu x},\: \: \textrm{dan}\: \: y=0\\ \textrm{adalah gar}&\textrm{is yang sejajar sumbu x, maka}\\ y=0\Rightarrow \: \: &x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ \Rightarrow \: \: &x^{2}-px+4=0\\ & \end{aligned}}\\\hline \textrm{Menyinggung}&\textrm{memotong}&\textrm{Tidak keduanya}\\\hline \begin{aligned}D&= b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-4.1.4=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}=16\\ &\Leftrightarrow p=\pm 4\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}D&>0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac>0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16>0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)>0\\ &\therefore \quad p<-4\: \: \textrm{atau}\: \: p>4 \end{aligned}&\begin{aligned}D&<0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac<0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16<0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)<0\\ &\therefore \quad -4<p<4 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{supaya lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=1\: \: \textrm{dan garis}\: \: y=ax+2 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{bersinggungan}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak berpotongan maupun bersinggungan} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\textrm{di sini yang kita bahas adalah yang poin b, yaitu untuk}\: \: y=ax+2,\: \: \textrm{maka}\\ &x^{2}+y^{2}=1\\ &x^{2}+(ax+2)^{2}=1\\ &x^{2}+a^{2}x^{2}+4ax+4=1\\ &(1+a^{2})x^{2}+4ax+3=0\\ &\textrm{syarat berpotongan}\: \: D=b^{2}-4ac\geq 0\: \: (\textrm{artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik})\\ &(4a)^{2}-4(1+a^{2})(3)\geq 0\\ &16a^{2}-12a^{2}-12\geq 0\\ &4a^{2}-12\geq 0\\ &a^{2}-3\geq 0\\ &(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\geq 0\\ \therefore \: \: \: \: &a\leq -\sqrt{3}\: \: \textrm{atau}\: \: a\geq \sqrt{3} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=12\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(0,4). \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Persamaan lingkaran}&\textrm{Persamaan garis singgung di titik}\: \: (x_{1},y_{1})&\textrm{Titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{pada lingkaran}\\\hline x^{2}+y^{2}=12&\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=12\\ xx+yy&=12\\ x_{1}x+y_{1}y&=12\\ \textrm{garis ini melalui}&\: \: \textrm{titik}\\ P(0,4)&, \textrm{maka}\\ x_{1}.0+y_{1}.4&=12\\ y_{1}&=3\: ......\textcircled{1}\end{aligned}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\: ......\textcircled{2}\\\cline{2-3} &\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Dari persamaan}&\: \: \textcircled{1}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{2}\: \: \textrm{diperoleh}\\ &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\\ y_{1}=3\Rightarrow \: \: &x_{1}^{2}+(3)^{2}=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}+9=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}=3\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}=\pm \sqrt{3}\\ \textrm{Sehingga persa}&\textrm{maan garis singgungnya}\left ( x_{1}x+y_{1}y=12 \right )\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{cases} \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(\sqrt{3},3)\: \: \, \, \Rightarrow \sqrt{3}x+3y=12\\ \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow -\sqrt{3}x+3y=12 \end{cases}\\ &\end{aligned}}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=12\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(0,4). \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Persamaan lingkaran}&\textrm{Persamaan garis singgung di titik}\: \: (x_{1},y_{1})&\textrm{Titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{pada lingkaran}\\\hline &\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=12\\ xx+yy&=12\\ x_{1}x+y_{1}y&=12\\ \textrm{garis ini melalui}&\: \: \textrm{titik}\\ P(0,4)&, \textrm{maka}\\ x_{1}.0+y_{1}.4&=12\\ y_{1}&=3\: ......\textcircled{1}\end{aligned}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\: ......\textcircled{2}\\\cline{2-3} x^{2}+y^{2}=12&\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Dari persamaan}&\: \: \textcircled{1}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{2}\: \: \textrm{diperoleh}\\ &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\\ y_{1}=3\Rightarrow \: \: &x_{1}^{2}+(3)^{2}=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}+9=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}=3\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}=\pm \sqrt{3}\\ \textrm{Sehingga persa}&\textrm{maan garis singgungnya}\left ( x_{1}x+y_{1}y=12 \right )\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{cases} \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(\sqrt{3},3)\: \: \, \, \Rightarrow \sqrt{3}x+3y=12\\ \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow -\sqrt{3}x+3y=12 \end{cases}\\ &\end{aligned}}\\\hline \end{array}.

Berikut simulasi gambarnya

364

Sumber Referensi

  1. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: Kawan Pustaka.
  2. Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: Erlangga.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s