Peluang (KTSP MA/SMA Kelas XI)

A. Kaidah Pencacahan

Dalam sebuah percobaan ada banyak kemungkinan/peristiwa yang akan mungkin terjadi yang mana dapat ditentukan dengan:

A. 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia

A. 1. 1. Ruang Sampel (Ruang Contoh)

  • Ruang sampel adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin terjadi
  • Ruang sampel biasanya biasanya dinotasikan dengan S.
  • Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.
  • Dalam teori himpunan adalah himpunan semesta, sedangkan titik sampel adalah anggota-anggota dari himpunan semesta tersebut.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

\begin{tabular}{l}\\ Tentukanlah ruang sampel dan banyaknya anggota untuk percobaan\\ \begin{tabular}{ll}\\ a.&mengundi sekeping mata uang sebanyak 3 kali\\ b.&mengelempar 2 buah dadu sekaligus \end{tabular} \end{tabular}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\textrm{Jika S adalah ruang sampel dan}\: \: \textrm{n(S)}\: \: \textrm{adalah banyak anggota ruang sampel, maka} \end{aligned}\\\\ \begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{a}&\textrm{b}\\\hline \left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array}.

A. 1. 2. Aturan Perkalian dan Kaidah Penjumlahan

\begin{tabular}{|p{5,0cm}|p{5.5cm}|p{5.0cm}|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Teknik menghitung}}\\\hline Kaidah Perkalian&Kaidah Penjumlah&Gabungan Keduanya\\\hline Jika percobaan 1 mendapat hasil m, percobaan 2 mendapatkan hasil n, maka jika percobaan 1 \textbf{dan} 2 dilakukan, maka akan mendapatkan hasil m x n kemungkinan&Jika percobaan 1 mendapat hasil m, percobaan 2 mendapatkan hasil n, maka jika hanya satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 \textbf{atau} percobaan 2), maka akan mendapatkan hasil m + n kemungkinan&Beberapa persoalan terkadang tidak dapat diselesaikan dengan satu kaidah saja, tetapi harus dengan menggunakan dua kaidah sekaligus\\\hline \end{tabular}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

\begin{tabular}{lp{15,0cm}}\\ 1.&Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu orang wakil siswa dan satu orang wakil siswi?\\\\ &Jawab:\\\\ &ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika 2 orang wakil harus dipilih yang terdiri dari 1 siswa \textbf{dan} 1 siswi, maka jumlah kemungkinan perwakilan tersebut adalah yang dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara\end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Perhatikan kembali contoh tentang ruang sampel sebelumnya. Pada contoh tersebut} \\ &\textrm{terdapat 2 macam ilustrasi masing-masing tentang mengundi uang logam sebanyak 3 kali} \\ &\textrm{dan melempar dua buah dadu secara bersamaan adalah 2 contoh ilustrasi berkaitan } \\ &\textrm{dengan kaidah perkalian, karena}\\ \\ &\Rightarrow \textrm{pada pelemparan(undi) uang} =\\ &\: \quad \textrm{undi pertama \textbf{dan} undi ke-2 \textbf{dan} undi ke-3}=2\times 2\times 2=2^{3}=8\\ &\Rightarrow \textrm{pada pengundian dua buah dadu} = \textrm{dadu}\: 1\: \textbf{dan}\: \textrm{dadu ke}-2=6\times 6=6^{2}=36\end{array}.

\begin{tabular}{lp{15,0cm}}\\ 3.&Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu orang wakil pelajar tersebut(tidak masalah putra atau putri)?\\\\ &Jawab:\\\\ &ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika hanya 1 orang wakil yang harus dipilih (tidak peduli putra \textbf{atau} putri), maka banyak cara memilih adalah 5 + 4 = 9 cara\end{tabular}.

\begin{tabular}{lp{15,0cm}}\\ 4.&Sebuah bilangan dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Jika pengulangan tidak diperbolehkan, tentukan banyaknya bilangan\\ &a.\quad yang terdiri dari 1 angka dan kurang dari 5\\ &b.\quad yang terdiri dari 2 angka dan kurang dari 50\\ &c.\quad yang terdiri dari 3 angka dan kurang dari 500\\ &d.\quad yang terdiri dari 4 angka dan kurang dari 5000\\ &e.\quad yang terdiri dari 5 angka dan kurang dari 50000\\ &f.\quad yang terdiri dari 6 angka dan kurang dari 500000 dan habis dibagi 5\\\\ &Jawab:\\\\ &a.\quad jelas ada 4 angka yang memenuhi, yaitu: 1, 2, 3, dan 4\\ &b.\quad 2 angka misalkan AB, posisi A dapat diisi dengan 4 cara dan posisi B dapat\\ &\qquad diisi dengan 8 cara, karena setelah diisikan ke A angka tinggal 8 buah dan\\ &\qquad semuanya memiliki kesempatan yang sama untuk diisikan ke B.\\ &\qquad sehingga AB dapat diisi dengan 4 x 8 = 32 cara.\\ &c.\quad 3 angka misalkan ABC, posisi A dapat diisi dengan 4 cara, posisi B dapat\\ &\qquad diisi dengan 8 cara, dan posisi C dapat diisi dengan 7 cara.\\ &\qquad sehingga ABC dapat diisi dengan 4 x 8 x 7 = 224 cara.\\ &\\ &Untuk jawaban d, e, dan f silahkan dicoba sendiri sebagai latihan\end{tabular}.

A. 2. Permutasi dan Kombinasi

Faktorial

Secara definisi:

Untuk setiap bilangan asli n, maka n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x 3 x 2 x 1.

Sedangkan notasi n! dibaca n faktorial. Termasuk di sini dedefinisikan pula 1! = 1  dan  0! = 1.

Untuk keterangan permutasi dan kombinasi sebagai berikut:

\begin{array}{|l|l|l|}\hline &\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Model}}\\\cline{2-3} \raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{Istilah} &\textrm{Permutasi}&\textrm{Kombinasi}\\\hline \textrm{Definisi}&\begin{aligned}&\textrm{Permutasi r unsur dari n unsur adalah}\\ &\textrm{banyaknya kemungkinan urutan r buah}\\ &\textrm{unsur yang dipilih dari n unsur}\\ &\textrm{yang tersedia}.\: \textrm{Tiap unsur berbeda dan}\\ & r\leq n \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Kombinasi r unsur dan n unsur adalah}\\ &\textrm{banyaknya kemungkinan tidak terurut}\\ &\textrm{dalam pemilihan r unsur yang diambil}\\ &\textrm{dari n unsur yang tersedia}.\: \textrm{Tiap unsur}\\ &\textrm{berbeda dan}\: \: r\leq n \end{aligned}\\\hline \textrm{Tipe}&\textrm{Bentuk khusus kaidah perkalian}&\textrm{Bentuk khusus permutasi}\\\hline \textrm{Notasi}&_{n}P_{r},\: P_{n}^{r},\: \textrm{atau}\: \: P(n,k)&_{n}C_{r},\: C_{r}^{n},\: \binom{n}{r},\: \textrm{atau}\: \: C(n,r)\\\hline \textrm{Rumus}&P(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}&\binom{n}{r}=C(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\\hline \end{array}.

Lanjutan,

\begin{array}{|l|c|c|c|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Permutasi}}&\multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Kombinasi}}\\\hline \textrm{Unsur yang sama}&\textrm{Siklis}&\textrm{Lintasan}&\textrm{dengan pengulangan}&\textrm{Binom Newton}\\ &&&\textrm{(Pengayaan)}&\\\hline \begin{aligned}&P(n;n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k})\\ &=\displaystyle \frac{P(n,n)}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}\\ &=\displaystyle \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\begin{cases} \textrm{Siklis} & =(n-1)! \\\\ \textrm{Kalung} & =\displaystyle \frac{(n-1)!}{2} \end{cases}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &\begin{array}{l|l|l|ll}\cline{2-3} &&&B(m+n)\\\cline{2-3} &&&\\\cline{2-3} &&&\\\cline{2-3} &&&\\\cline{2-3} O(0,0)&&&\\\cline{2-3} \end{array}\\\\ &\textrm{Panjang lintasannya}\\ &=m+n\\ &=\binom{m+n}{n}=\binom{m+n}{m}\\ \end{aligned}&\begin{aligned}&C(n+r-1,r)\\ &=C(n+r-1,n-1)\\ &\binom{n+r-1}{r}\\ &=\binom{n+r-1}{n-1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(x+y)^{n}\\ &=\sum_{k=o}^{n}\binom{n}{r}x^{n-k}y^{k}\\\\ &\textrm{Koefisien untuk}\\ &x^{n-k}y^{k},\: \textrm{yaitu}\\ &\textrm{suku ke}-(k+1)\\ &\textrm{adalah}\: \binom{n}{r} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 3!&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}&\textrm{i}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{b}.\quad 5!&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}&\textrm{j}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}&\textrm{k}.\quad \displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}\\ \textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&\textrm{h}.\quad \displaystyle \frac{13!}{12!+12!}&\textrm{l}.\quad \displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad 3!=3.2.1=6\\ \textrm{b}.\quad 5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{aligned}\textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&=1+1+2+6\\ &=10 \end{aligned}\\ \begin{aligned}\textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&=2!+6!\\ &=2+720\\ &=722 \end{aligned}\\ \textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\quad \textrm{atau}\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\displaystyle \frac{6.5.\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}{\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}=6.5=30\\ \textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=.... (\textrm{silahkan diselesaikan sendiri})\\ \textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=.... (\textrm{silahkan juga diselesaikan sendiri})\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri}) \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Sederhanakanlah}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^{2}+3n+2)}&\textrm{h}.\quad 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{n^{2}+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ \vdots \\ \begin{aligned}\textrm{h}.\quad 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!&=(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ &=2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ &=2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-\left ( 1!+2!+3!+4!+...+n! \right )\\ &=(n+1)!-1 \end{aligned} \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatikan}&\, \: \textrm{bahwa}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\textrm{sehingga}\\ &\frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\\ &\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\\ &\vdots \\ &\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\\ &---------------------------\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ &\textrm{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab:}\\\\ \begin{aligned}&\textrm{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi} \\ &\textrm{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal buat permutasinya, yaitu}\\ &\textrm{Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara,} \\ &\textrm{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau} \: \: P(4,3)=\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\: \: \textrm{cara}\end{aligned}\\ \textrm{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon}\\.

\begin{cases} A&\begin{cases} B & \begin{cases} C &\rightarrow ABC\\ D & \rightarrow ABD \end{cases} \\ C & \begin{cases} B &\rightarrow ACB\\ D & \rightarrow ACD \end{cases} \\ D & \begin{cases} B &\rightarrow ADB \\ C &\rightarrow ADC \end{cases} \end{cases} \\ \\ B&\begin{cases} A & \begin{cases} C &\rightarrow BAC\\ D & \rightarrow BAD \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow BCA\\ D & \rightarrow BCD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow BDA \\ C &\rightarrow BDC \end{cases} \end{cases} \\ \\ C&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow CAB\\ D & \rightarrow CAD \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow CBA\\ D & \rightarrow CBD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow CDA \\ B &\rightarrow CDB \end{cases} \end{cases} \\ \\ D&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow DAB\\ C & \rightarrow DAC \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow DBA\\ C & \rightarrow DBC \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow DCA \\ B &\rightarrow DCB \end{cases} \end{cases} \end{cases}.

B. Peluang Kejadian

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{\textbf{Peluang}}\\\hline \textrm{Ruang}&\textrm{Peluang}&\textrm{Frekuensi}&\multicolumn{5}{|c|}{\textrm{Kejadian Majmuk}}\\\cline{4-8} \textrm{Sampel}&\textrm{Suatu}&\textrm{Harapan}&\textrm{Re}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Kaidah Penjumlahan}}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Kaidah Perkalian}}\\\cline{5-8} & \textrm{Kejadian}&&\textrm{la}&\textrm{lepas}&\textrm{tidak}&\textrm{bebas}&\textrm{bersyarat}\\\cline{1-3}\cline{5-8} \textrm{Lihat}&&&\textrm{si}&A\cap B=\left \{ \: \right \}&A\cap B\neq \left \{ \: \right \}&&\\\cline{5-6} \textrm{materi}&0\leq P(A)\leq 1&F_{h}=n\times P(A)&\textrm{dua}&P(A\cup B)=&P(A\cup B)=&P(A\cap B)=&P(A\cap B)=\\ \textrm{sebelumnya}&&&\textbf{kjd}&p(A)+p(B)&P(A)+P(B)-P(A\cap B)&P(A)\times P(B)&P(A)\times P(B/A)\\\hline \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial Kurikulum Berbasis Kompetensi 2004. Jakarta: Yudistira.
  2. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Untung Setiyadi. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: Intan Pariwara.
  3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: Kawan Pustaka.
  4. Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: Erlangga.

Internet:

kombinatorická

http://student21.gjwprostejov.cz/uploads/VG7%20-%20Kombinatorika.pdf

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s