Contoh Soal Barisan dan Deret 2

\begin{array}{ll}\\ \fbox{11}.&(\textbf{UN 2014})\textrm{Diketahui seutas kawat dipotong menjadi 5 bagian dan hasil}.\\ &\textrm{ potongannya membentuk deret geometri. Jika panjang kawat terpendek }\\ &\textrm{16 cm dan terpanjang 81 cm, maka panjang kawat semula adalah}\: ....\:\textrm{cm}\\ &\textrm{A}.\quad 121 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\: \: \textrm{D}.\quad 211\\ &\textrm{B}.\quad 130\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 133\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 242\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \begin{cases} a & =U_{1}=16 \\ U_{n} & =a.r^{n-1} \\ S_{n} & =\displaystyle \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \end{cases}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\quad\quad \begin{aligned}\displaystyle \frac{U_{5}}{U_{1}}=\frac{ar^{4}}{a}&=\displaystyle \frac{81}{16}\\ r^{4}&=\displaystyle \frac{3^{4}}{2^{4}}\\ r&=\displaystyle \frac{3}{2},\qquad \left (r>1 \right )\\ \textrm{Sehingga},\: &\\ S_{5}&=\displaystyle \frac{16\left ( \left ( \displaystyle \frac{3}{2} \right )^{5}-1 \right )}{\displaystyle \frac{3}{2}-1}\\ &=\displaystyle \frac{16\left ( \frac{3^{5}-2^{5}}{2^{5}} \right )}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ &=\displaystyle 32\left ( \frac{243-32}{32} \right )\\ &=211 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{12}.&(\textbf{UMPTN 2001})\textrm{Diketahui sepotong kawat dengan panjang 124 cm akan}\\ &\textrm{dipotong menjadi 5 bagian dan hasil potongan kawatnya membentuk barisan}\\ &\textrm{geometri. Jika pajang potongan kawat yang terpendek adalah 4 cm, maka}\\ &\textrm{potongan kawat yang terpanjang adalah}\: ....\:\textrm{cm}\\ &\textrm{A}.\quad 60 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \textrm{D}.\quad 72\\ &\textrm{B}.\quad 64\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 68\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 76\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}S_{5}&=U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}\\ S_{5}&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}\\ 124&=4+4r+4r^{2}+4r^{3}+4r^{4}\\ 31&=1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\\ 30&=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\\ &\: \quad r^{4}+r^{3}+r^{2}+r-30=0 \end{aligned}\qquad\quad \begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah bahwa pada polinom}\: \\ &r^{4}+r^{3}+r^{2}+r-30=0\\ &\textrm{faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5.}\\ &\textrm{Dan faktor yang memenuhi adalah r = 2}\\ &\textrm{Sehingga},\: U_{5}\: \: \textrm{sebagai potongan kawat terpanjang;}\\ &U_{5}=ar^{4}=4.2^{4}=4.16=64 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{13}.&(\textbf{UMPTN 2001})\textrm{Diketahui rasio sebuah deret geometri tak hingga adalah}\\ &^{3}\log (2x-1).\: \: \textrm{Jika deret tersebut memiliki jumlah (konvergen), maka nilai}\\ &\textrm{x yang memenuhi adalah}\: ....\:.\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}<x<\frac{2}{3} \\\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}<x<2\\\\ &\textrm{C}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}<x<2\\\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}\leq x\leq 2\\\\ &\textrm{E}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}\textrm{Syarat}&\: \textrm{konvergen adalah}\: \: \left | r \right |< 1\\ \textrm{maka}\: \: \, &\: \: -1< r< 1\\ &-1< ^{3}\log (2x-1)< 1\\ &(-1).\: \left (^{3}\log 3 \right )< \: ^{3}\log (2x-1)< 1.\left ( ^{3}\log 3 \right )\\ &^{3}\log 3^{-1}< \: ^{3}\log (2x-1)< \: ^{3}\log 3^{1}\\ &3^{-1}< (2x-1)<3\\ &\displaystyle \frac{1}{3}<2x-1<3\\ &\displaystyle \frac{1}{3}+1<2x-1+1<3+1\\ &\displaystyle \frac{4}{3}<2x<4\\ &\displaystyle \frac{2}{3}<x<2 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{14}.&(\textbf{UN 2010})\textrm{Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda 3. Jika suku}\\ &\textrm{kedua dikurangi 1, maka terbentuklah deret geometri dengan jumlah 14. Rasio}\\ &\textrm{barisan tersebut adalah ... .}\\ &\textrm{A}.\quad 4 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\: \: \textrm{D}.\quad \displaystyle -\frac{1}{2}\\ &\textrm{B}.\quad 2\qquad\qquad \textrm{C}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\qquad\qquad\: \: \: \, \textrm{E}.\quad -2\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}&\textrm{Barisan Aritmetika (BA)}\: \begin{cases} U_{1} & =a \\ U_{2} & =a+3 \\ U_{3} & =a+6 \end{cases}\\ &\textrm{Barisan Geometri (BG)}\: \begin{cases} U_{1} & =a \\ U_{2} & =a+3-1=a+2 \\ U_{3} & =a+6 \end{cases}\\ &\\ & \end{aligned}\quad\quad \begin{aligned}&\textrm{dan untuk deret geometri (DG)}\\ &U_{1}+U_{2}+U_{3}=14\\ &a+(a+2)+(a+6)=14\\ &3a+8=14\\ &3a=6\\ &a=2\\ &\textrm{sehingga},\\ &r=\displaystyle \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{a+2}{a}=\frac{4}{2}=2 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{15}.&(\textbf{UN 2009})\textrm{Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah 45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga}\\ &\textrm{ditambah 5, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut adalah ... .}\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\: \textrm{D}.\quad 2\\\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{3}{4}\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 1\displaystyle \frac{1}{2}\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 3 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{cases} U_{1}+U_{2}+U_{3} & =45 \quad (DA)\\ &\Leftrightarrow \: \: a+(a+b)+(a+2b)=45 \\ &\Leftrightarrow a+b=15\quad \Rightarrow a=15-b\\ U_{1},\left (U_{2}-1 \right ),\left (U_{3}+5 \right ) & (BG)\\ &\Rightarrow \: \: a,(a+b-1),(a+2b+5)\\ &\Rightarrow a,(14),(20+b) \end{cases}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\quad\quad \begin{aligned}&\textrm{Pada BG berlaku}\\ &14^{2}=a.(20+b)\\ &196=(15-b)(20+b)\\ &196=300-5b-b^{2}\\ &b^{2}+5b-104=0\\ &(b+13)(b-8)=0\\ &b=-13\: \: \textrm{atau}\: \: b=8\\ &\textrm{untuk}\: \: b=-13\: \Rightarrow \: a=15-(-13)=28\: \begin{cases} BA_{1}: & 28,15,2 \\ BG_{1}: & 28,14,7 \end{cases}\\ &\textrm{untuk}\: \: b=8\: \Rightarrow \: a=15-(8)=7\: \begin{cases} BA_{2}: & 7,15,23 \\ BG_{2}: & 7,14,28 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, rasio dari barisan geometrianya ada 2 yaitu}:\\ &r_{1}=\displaystyle \frac{1}{2},\: \: \textrm{dan}\: \: r_{2}=2 \end{aligned}.

Catatan: Jawaban ada 2 yaitu A dan D

\begin{array}{ll}\\ \fbox{16}.&\textrm{Carilah semua barisan bilangan yang berupa barisan aritmetika dan sekaligus juga barisan geometri} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah bentuk barisan bilangan berikut}:\\ &\underset{\underset{\displaystyle a}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle a}{\updownarrow}}{U_{1}}},\underset{\underset{\displaystyle ar}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+b)}{\updownarrow}}{U_{2}}},\underset{\underset{\displaystyle ar^{2}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+2b)}{\updownarrow}}{U_{3}}},\underset{\underset{\displaystyle ar^{3}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+3b)}{\updownarrow}}{U_{4}}},\underset{\underset{\displaystyle ar^{4}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+4b)}{\updownarrow}}{U_{5}}},\quad \cdots\quad ,\underset{\underset{\displaystyle ar^{n-1}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+(n-1)b)}{\updownarrow}}{U_{n}}}\\ &\textrm{Misalkan}\\ &\textrm{Pada BA berlaku}\: \: 2U_{2}=U_{1}+U_{3}\: \: \textrm{yaitu}\begin{cases} 2(a+b)=a+(a+2b),&\textrm{atau}\\ 2(ar)=a+(ar^{2}) \end{cases}\\ &2ar=a+ar^{2},\qquad \textrm{dibagi a masing-masing ruas}\\ &r^{2}-2r+1=0\\ &(r^{2}-2r+1)=0\\ &(r-1)^{2}=0\\ &r=1\\ &\textrm{Sehingga barisannya akan menjadi}\\ &a,a,a,a,\cdots \\ &\textrm{Pada BG juga berlaku}\: \: U_{2}^{2}=U_{1}\times U_{3}\: \: \textrm{yaitu}\begin{cases} (a+b)^{2}=a\times (a+2b),&\textrm{atau}\\ (ar)^{2}=a\times (ar^{2}) \end{cases}\\ &\textrm{ambil saja}\\ &(a+b)^{2}=a\times (a+2b)\\ &a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+2ab\\ &b^{2}=0\\ &b=0\\ &\textrm{dan barisannya juga sama, yaitu}\\ &a,a,a,a,\cdots \\ &\textrm{Jadi, semua bilangan memenuhi}\: \: a\neq 0\: \: \textrm{saat}\: \: r=1\: \: atau\: \: b=0 \end{aligned}.

 

 

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s