Contoh Soal Barisan dan Deret

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&(\textbf{EBTANAS 1999})\textrm{Diketahui jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan sebagai}\\ &S_{n}=n^{2}+2n.\: \textrm{Beda dari deret tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 3\: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad -2\\ &\textrm{b}.\quad 2\qquad\qquad \textrm{c}.\quad 1\qquad\qquad \textrm{e}.\quad -3\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \textrm{Diketahui bahwa}\: \: S_{n}=n^{2}+2n,\: \: \textrm{dengan}\: \begin{cases} S_{1} & =U_{1}=a \\ S_{2} & =U_{1}+U_{2} \\ S_{3} & =U_{1}+U_{2}+U_{3} \\ &\vdots \\ S_{n} & =U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots +U_{n} \end{cases}\\ \begin{aligned}\textrm{Beda}=b&=U_{2}-U_{1}\\ &=(S_{2}-S_{1})-S_{1}\\ &=S_{2}-2S_{1}\\ &=\left ( 2^{2}+2.(2) \right )-2\left ( 1^{2}+2.(1) \right )\\ &=\left ( 4+4 \right )-2\left ( 1+2 \right )=8-6\\ &=2\end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&(\textbf{UMPTN 1994})\textrm{Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan sebagai}\\ &S_{n}=12n-n^{2}.\: \textrm{Suku kelima dari deret tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad -1\: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad 3\\ &\textrm{b}.\quad 1\qquad\qquad \textrm{c}.\quad -3\qquad\qquad \textrm{e}.\quad 0\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \textrm{Diketahui bahwa}\: \: S_{n}=12n-n^{2}\\ \begin{aligned}U_{5}&=S_{5}-S_{4}\\ &=\left ( 12.(5)-(5)^{2} \right )-\left ( 12.(4)-(4)^{2} \right )\\ &=\left ( 60-25 \right )-\left ( 48-16 \right )\\ &=3\end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&(\textbf{EBTANAS 2000})\textrm{Diketahui suku tengah suatu deret aritmetika adalah 32. Jika}\\ &\textrm{jumlah n suku pertama deret itu adalah 672. Maka banyak suku deret itu adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 17\: \: \: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad 23\\ &\textrm{b}.\quad 19\qquad\qquad \textrm{c}.\quad 21\qquad\qquad \textrm{e}.\quad 25\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \textrm{Diketahi Suku tengah}=U_{t}=\displaystyle \frac{U_{1}+U_{n}}{2}=32\: \: \textrm{dan}\\ \begin{aligned}S_{n}=\displaystyle \frac{n}{2}\left ( U_{1}+U_{n} \right )&=672\\ n\left ( \displaystyle \frac{U_{1}+U_{2}}{2} \right )&=672\\ 32n&=672\\ n&=21 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&(\textbf{UMPTN 1997})\textrm{Diketahui}\: \: U_{n}\: \: \textrm{adalah suku ke - n deret aritmetika dengan}\\ &U_{1}+U_{2}+U_{3}=-9\: \: \textrm{dan}\: \: U_{3}+U_{4}+U_{5}=15.\: \textrm{Maka jumlah lima suku pertama}\\ &\textrm{deret aritmetika tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 4\: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad 15\\ &\textrm{b}.\quad 5\qquad\qquad \textrm{c}.\quad 6\qquad\qquad \textrm{e}.\quad 24\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \textrm{Diketahui bahwa}\\ \begin{aligned}U_{1}+U_{2}+U_{3}&=-9,\Rightarrow \qquad\qquad\qquad a+(a+b)+(a+2b)=3a+3b=-9\\ U_{3}+U_{4}+U_{5}&=15,\: \, \Rightarrow \: \: \qquad(a+2b)+(a+3b)+(a+4b)=3a+9b=15\quad _{-}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -----------------\\ &\, \, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -6b=-24\Rightarrow b=4\\ &\, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad a=-7\\ \textrm{Maka}&\\ S_{5}&=\displaystyle \frac{5}{2}\left ( U_{1}+U_{5} \right )\\ &=\displaystyle \frac{5}{2}\left ( a+a+(5-1)b \right )\\ &=\displaystyle \frac{5}{2}\left ( -7-7+4.4 \right )\\ &=\displaystyle \frac{5}{2}(2)\\ &=5\end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&(\textbf{EBTANAS 1999})\textrm{Nilai dari}\: \: \displaystyle \sum_{k=1}^{100}5k-\sum_{k=1}^{100}(2k-1)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 30.900\: \: \: \: \: \: \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad 15.450\\ &\textrm{b}.\quad 30.500\qquad\qquad \textrm{c}.\quad 16.250\qquad\qquad \textrm{e}.\quad 15.250\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \textrm{Diketahi}\: \: \\\\ \begin{aligned}\displaystyle \sum_{k=1}^{100}5k-\sum_{k=1}^{100}(2k-1)&=\sum_{k=1}^{100}(5k-2k+1)\\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)\\ &=3\displaystyle \sum_{k=1}^{100}k+1.100\\ &=3\left ( \displaystyle \frac{100}{2}(1+100) \right )+100\\ &=3.(5.050)+100\\ &=15.150+100\\ &=15.250\end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&(\textbf{EBTANAS 2000})\textrm{Diketahui}\: \: \displaystyle \sum_{k=5}^{25}(2-pk)=0, \textrm{maka nilai}\: \: \sum_{k=5}^{25}pk= ... .\\ &\textrm{A}.\quad 20\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \textrm{D}.\quad 42\\ &\textrm{B}.\quad 28\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 30\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 112\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\displaystyle \sum_{k=5}^{25}(2-pk)=\displaystyle \sum_{k=5}^{25}2-\sum_{k=5}^{25}pk&=0\\ \displaystyle \sum_{k=5-4}^{25-4}2-\sum_{k=5}^{25}pk&=0\\ \displaystyle \sum_{k=5}^{25}pk&=\displaystyle \sum_{k=1}^{21}2\\ &=21.2\\ &=42 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{7}.&(\textbf{EBTANAS 2000})\textrm{Nilai dari}\: \: \displaystyle \sum_{k=1}^{7}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{k+1}=... .\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{127}{1024}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \textrm{D}.\quad \displaystyle \frac{127}{128}\\\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{127}{256}\qquad\qquad \textrm{C}.\quad \displaystyle \frac{255}{512}\qquad\qquad \textrm{E}.\quad \displaystyle \frac{255}{256}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\displaystyle \sum_{k=1}^{7}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{k+1}&=\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{5}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{7} +\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{8}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}\\ &=\displaystyle \frac{64+32+16+8+4+2+1}{256}\\ &=\displaystyle \frac{127}{256} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{8}.&(\textbf{UN 2013})\textrm{Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ketiga adalah 4 dan suku ketujuhnya adalah 16}.\\ &\textrm{Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah}\: ...\: .\\ &\textrm{A}.\quad 115\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\, \, \, \textrm{D}.\quad 135\\ &\textrm{B}.\quad 125\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 130\qquad\qquad \textrm{E}.\quad \displaystyle 140\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}U_{3}=a+2b&=4\\ U_{7}=a+6b&=16\quad _{-}\\ ------&--\\ -4b&=-12\\ b&=3\\ \textrm{Sehingga}&\: \textrm{didapatkan}\\ \textrm{nilai}\: \: a=&4-2b\\ =&4-2.3\\ =&-2 \end{aligned}\qquad\qquad \begin{aligned}\textrm{Maka}&\: \textrm{jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah}\\ S_{n}&=\displaystyle \frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{10}&=\displaystyle \frac{10}{2}\left ( 2.(-2)+(10-1).3 \right )\\ &=5\left ( -4+27 \right )\\ &=5(23)\\ &=115\\ &\\ & \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{9}.&(\textbf{UN 2014})\textrm{Diketahui tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan}\\ &\textrm{banyak banyak baris dibelakang lebih 4 kursi dari baris di depannya}.\: \textrm{Jika dalam gedung pertunjukan terdapat 15}\\ &\textrm{baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah}\: ...\: .\: \textrm{kursi}\\ &\textrm{A}.\quad 1200\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \textrm{D}.\quad 600\\ &\textrm{B}.\quad 800\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 720\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 300\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\:\begin{cases} a &=U_{1}=20 \\ b & =4 \\ n & =15 \\ S_{n} & =\displaystyle \frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right ) \end{cases}\\ &\\ & \end{aligned}\quad\quad \begin{aligned}S_{n}&=\displaystyle \frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ &=\displaystyle \frac{15}{2}\left ( 2(20)+(15-1).4 \right )\\ &=15(20+28)\\ &=15(48)\\ &=750 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{10}.&(\textbf{UN 2015})\textrm{Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah 2 dan suku ke-8 adalah -13}.\\ &\textrm{Jumlah 20 suku pertama dari deret tersebut adalah}\: ...\: .\\ &\textrm{A}.\quad -580\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\: \: \: \textrm{D}.\quad -410\\ &\textrm{B}.\quad -490\qquad\qquad \textrm{C}.\quad -440\qquad\qquad \textrm{E}.\quad -380\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}U_{3}=a+2b&=2\\ U_{8}=a+7b&=-13\quad _{-}\\ ------&---\\ -5b&=15\\ b&=-3\\ \textrm{Sehingga}&\: \textrm{didapatkan}\\ \textrm{nilai}\: \: a=&2-2b\\ =&2-2.(-3)\\ =&8 \end{aligned}\qquad\qquad \begin{aligned}\textrm{Maka}&\: \textrm{jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah}\\ S_{n}&=\displaystyle \frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{20}&=\displaystyle \frac{20}{2}\left ( 2.(8)+(20-1).(-3) \right )\\ &=10\left ( 16-57 \right )\\ &=10(-41)\\ &=-410\\ &\\ & \end{aligned}.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s