Notasi Sigma dan Induksi Matematika (KTSP XII)

A. Notasi Sigma

Lambang   "\sum" (dibaca Sigma) adalah huruf besar yunani yang berarti jumlah. Penggunaan notasi sigma di sini adalah untuk mencatat penjumlahan yang teratur, sehingga penulisan suatu deret bilangan yang memiliki pola tertentu dapat dituliskan dengan lebih ringkas.

Perhatikanlah ilustrasi berikut:

\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.\quad 1+2+3+4+5+\cdots +100\\ \textrm{b}.\quad 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+\cdots +100^{2}\\ \textrm{c}.\quad 0+2+6+12+20+\cdots +380\end{array}.

Dari contoh di atas dapat diringkas dengan notasi sigma yang didefinisikan sebagai berikut:

\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}a_{i}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n} \end{aligned}\\\\ \begin{aligned}\textrm{Dibaca}:\: \: "\textrm{Jumlah}\: \textrm{dari}\: a_{i}\: \textrm{untuk}\: \: i\:\textrm{ dari 1 sampai dengan}\: \: n" \: \: \textrm{dan}\: \: a_{i}\: \textrm{adalah suku ke}-i \end{aligned}.

Sehingga untuk no. 1 dapat disingkat sebagai berikut

1+2+3+4+\cdots +100 =\displaystyle \sum_{i=1}^{100}i.

B. Sifat-Sifat Notasi Sigma  

\begin{array}{ll}\\ \textrm{Misalkan}&a_{k}\: \: \textrm{dan}\: \: b_{k}\: \: \textrm{adalah suku ke}-k\: \textrm{dan C adalah suatu konstanta, maka}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}C=nC\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}C.a_{k}=C\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )^{2}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{m}a_{k}+\sum_{k=m+1}^{n}a_{k},\quad 1<m<n \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tulislah jumlah berikut dengan lengkap}\\ &\begin{array}{lll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}k&\textrm{f}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{3}2^{k}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(k-3)&\textrm{g}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}\frac{1}{3^{k}}\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5k&\textrm{h}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+1 \right )\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(4k+2)&\textrm{i}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5\left ( \frac{2}{3} \right )^{k}\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(2k+3)&\textrm{j}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+2k-3 \right ) \end{array} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Perhatikanlah,}\\ &\begin{array}{lll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}k=1+2+3+4=10\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(k-3)=(1-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)=-2.\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5k=5.1+5.2+5.3+5.4=50\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(4k+2)=(4.1+2)+(4.2+2)+(4.3+2)+(4.4+2)=48\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(2k+3)=(2.1 +3)+(2\cdots +3)+(2\cdots +3)+(2\cdots +\cdots )=\cdots \\ &\textrm{f}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{3}2^{k}=2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=2+4+8+16=30\\ &\textrm{g}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}\frac{1}{3^{k}}=\displaystyle \frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}} +\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}=\displaystyle \frac{27+9+3+1}{81}=\frac{40}{81}\\ &\textrm{h}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+1 \right )=\cdots +\cdots +\cdots +\cdots +\cdots \\ &\textrm{i}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5\left ( \frac{2}{3} \right )^{k}=\cdots +\cdots +\cdots +\cdots \\ &\textrm{j}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+2k-3 \right )=\cdots +\cdots +\cdots +\cdots +\cdots \\ \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Nyatakanlah penjumlahan berikut dengan notasi sigma}\\ &\textrm{a}.\quad 2+4+8+16+32+64\\ &\textrm{b}.\quad 2+6+18+54+162\\ &\textrm{c}.\quad 15+24+35+48\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{7}+\frac{16}{9}+\frac{32}{11}\\ &\textrm{e}.\quad ab+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{4}b^{4} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad 2+4+8+16+32+64=\displaystyle \sum_{k=1}^{6}2^{k}\\ &\textrm{b}.\quad 2+6+18+54+162=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}2.3^{k-1}\\ &\textrm{c}.\quad 15+24+35+48=\displaystyle \sum_{k=1}^{4}\left ( k^{2}+6k+8 \right )\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{7}+\frac{16}{9}+\frac{32}{11}=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}\frac{2^{k}}{(2k+1)}\\ &\textrm{e}.\quad ab+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{4}b^{4}=\displaystyle \sum_{k=1}^{4}(ab)^{k} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Dengan menggunakan kaidah notasi sigma, tunjukkan bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{6}(2k+3)=2\sum_{k=1}^{6}k+18\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{8}(k+3)=\sum_{k=1}^{6}k+30\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=2}^{5}\left ( 2k^{2}+3k+3 \right )=2\sum_{k=1}^{4}k^{2}+7\sum_{k=1}^{4}k+32\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=0}^{5}k^{2}=\sum_{k=1}^{6}k^{2}-2\sum_{k=1}^{6}k+6\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{6}\left ( k^{2}+2k-3 \right )=\sum_{k=1}^{6}k^{2}+6\sum_{k=1}^{4}+20 \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{6}(2k+3)=\sum_{k=1}^{6}2k+\sum_{k=1}^{6}3=\sum_{k=1}^{6}2k+6.3=2\sum_{k=1}^{6}k+18\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{8}(k+3)=\sum_{k=3-2}^{8-2}\left ( (k+2)+3 \right )=\sum_{k=1}^{6}(k+5)=\sum_{k=1}^{6}k+\sum_{k=1}^{6}5=\sum_{k=1}^{6}k+6.5=\sum_{k=1}^{6}k+30\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=2}^{5}\left ( 2k^{2}+3k+3 \right )=\sum_{k=2-1}^{5-1}\left ( 2(k+1)^{2}+3(k+1)+3 \right )=\cdots \\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=0}^{5}k^{2}=\sum_{k=0+1}^{5+1}(k-1)^{2}=\cdots \\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{6}\left ( k^{2}+2k-3 \right )=\cdots \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Buktikanlah bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=6}^{12}k^{2}=\sum_{k=1}^{7}k^{2}+10\sum_{k=1}^{7}k+175\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k-1)^{2}=9\sum_{k=1}^{n}k^{2}-6\sum_{k=1}^{n}k+n\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=m}^{n}a_{k}=\sum_{k=m+p}^{n+p}a_{k-p}\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}-\sum_{i=1}^{m-1}a_{i}\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}=\sum_{k=2}^{n+2}a_{k-1}\\ &\textrm{f}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n-5}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=(n-5)+1}^{n}a_{k} \end{array}.

C. Induksi Matematika 

Silahkan menuju ke sini.

Perhatikanlah susunan bilangan berikut

\begin{aligned}1&=1^{2}\\ 1+3&=2^{2}\\ 1+3+5&=3^{2}\\ 1+3+5+7&=4^{2}\\ 1+3+5+7+9&=5^{2}\\ 1+3+5+7+9+11&=6^{2}\\ 1+3+5+7+9+11+13&=7^{2}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+9+\cdots +(2n-1)&=n^{2},\qquad untuk\: \: n\in \mathbb{N} \end{aligned}.

Hal di atas adalah langkah induksi, di mana disebutkan terlebih dahulu hal-hal khusus kemudian baru ditarik ke hal yang umum. Untuk selanjutnya cara pembuktian induksi tersebut dalam matematika lebih dikenal dengan istilah Induksi Matematika.

Berikut langkah untuk Induksi Matematika, yaitu

\begin{tabular}{|lcl|}\hline Langkah&1&:\: Rumus dibuktikan benar untuk n = 1.\\ Langkah&2&:\: Rumus diasumsikan berlaku untuk n = k. selanjutnya rumus dibuktikan benar untuk n = k+1.\\ Kesimpulan&&:\: Rumus berlaku untuk setiap n bilangan asli (sesuaikan dengan keadaan).\\\hline \end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika bahwa untuk \textit{n} bilangan asli, berlaku}\\ &\textrm{a}.\quad 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}\\ &\textrm{b}.\quad 1+5+9+\cdots +(4n-3)=n(2n-1)\\ &\textrm{c}.\quad 1+4++7+\cdots +(3n-2)=\displaystyle \frac{n(3n-1)}{2}\\ &\textrm{d}.\quad 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &\textrm{e}.\quad 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left ( \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \right )^{2}\\ &\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots +\frac{1}{n.(n+1)}=\displaystyle \frac{n}{n+1}\\ &\textrm{g}.\quad \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+\cdots +\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{n}=1-\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{n}\\ &\textrm{h}.\quad \displaystyle \underset{n}{\underbrace{\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}}=2\cos \displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}\\ &\textrm{i}.\quad 4^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 3\\ &\textrm{j}.\quad 8^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 7\\ &\textrm{k}.\quad 5^{n}-2^{n}\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 3\\ &\textrm{l}.\quad 6^{n}-2^{n}\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 4\\ \end{array}.

Bukti:

Hanya untuk No. 5. a

\begin{array}{lll}\\ \textrm{Langkah 1}&:&\textrm{Rumus benar untuk \textit{n} = 1 , karena}\: (2.1-1)=1^{2}\\ \textrm{Langkah 2}&:&\textrm{Misalkan rumus berlaku untuk \textit{n = k} , maka}\\ &&1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^{2}.\\ &&\textrm{Akan ditunjukkan rumus berlaku untuk \textit{n = k}+1, yaitu}\\ &&1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &&\underset{\displaystyle k^{2}}{\underbrace{1+3+5+\cdots +(2k-1)}}+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad k^{2}+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad k^{2}+(2k+2-1)=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad (k+1)^{2}=(k+1)^{2},\qquad \left (\textrm{ruas kiri = ruas kanan} \right )\\ &&\textrm{Karena ruas kiri = ruas kanan, maka rumus berlaku untuk \textit{n = k}}+1\\ \textrm{Kesimpulan}&:&\textrm{Jadi},\: \: 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2},\: \: \textrm{berlaku untuk}\: \: \forall \: n\in \mathbb{N}. \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{LATIHAN SOAL}}}}.

Kerjakanlah Soal-soal yang ada pada CONTOH SOAL belum di bahas atau belum dibuktikan.

Sumber Referensi

  1. Kuntarti, Sulistiyono dan Sri Kurnianingsih. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: Gelora Aksara Pratama.
  2. Kuntarti, Sulistiyono dan Sri Kurnianingsih. 2007. Matematika  SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: esis.

 

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s