Vektor

A. Pengertian

Vektor adalah besaran yang memiliki besar/panjang dan memiliki arah. Secara geometri vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Sebagai ilustrasi

320

Perhatikan salah satu ruas garis berarah pada gambar di atas, misal ruas garis berarah AB, dengan titik pangkal A dan titik ujungnya adalah B yang menyatakan sebagai vektor  \overrightarrow{AB} .

Berikut adalah cara penulisan notasi vektor

  • Dengan menggunakan dua huruf kapital yang ditasnya ada anak panah \overrightarrow{AB}  .
  • Dengan menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada ruas garis, misal  \overline{AB}  .
  • Dengan menggunakan sebuah huruf kecil yang dicetak tebal, misal  \textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \textrm{dst}  .
  • Dengan menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya ada, anak panah, Sebagai misal  \overrightarrow{a},\: \overrightarrow{b},\: \overrightarrow{c},\: \textrm{dst}  .
  • Dengan menggunakan huruf kecil yang di atas atau di bawahnya ada ruas garis. Sebagai contoh :  \overline{a},\: \overline{b},\: \overline{c},\: ...\: \textrm{atau}\: \underline{a},\: \underline{b},\: \underline{c},\: ...\: \textrm{dst}  .

B. Vektor di Bidang  \left ( \textbf{R}^{\textbf{2}} \right )  dan vektor di Ruang  \left ( \textbf{R}^{\textbf{3}} \right )  .

Perhatikanlah ilustrasi berikut

324

329

326

321

\begin{array}{|p{3.0cm}|l|l|l|}\hline &\multicolumn{3}{c|}{\textrm{Vektor}}\\\cline{2-4}\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{Nama} &\textrm{Penjelasan}&\textbf{R}^{2}&\textbf{R}^{3}\\\hline Vektor Satuan&\begin{aligned}&\textrm{Vektor yang panjangnya}\\ &\textrm{ satu satuan} \end{aligned}&\textrm{Bidang XY}&\textrm{Ruang (Bidang XYZ)}\\\cline{3-4} &&\begin{cases} i= &\textrm{vektor satuan} \\ &\textrm{yang searah sumbu X}\\ j= &\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{yang searah sumbu Y} \end{cases} &\begin{cases} i= &\textrm{vektor satuan} \\ &\textrm{yang searah sumbu X}\\ j= &\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{yang searah sumbu Y}\\ k=&\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{searah sumbu Z} \end{cases} \\\hline Vektor Basis&\begin{aligned}&\textrm{Vektor satuan yang}\\ &\textrm{saling tegak lurus}\end{aligned}&\vec{u}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}&\vec{u}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}\\\cline{3-4} &&\begin{aligned}&\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}\\ &\vec{i}\: \textrm{dan}\: \vec{j}\\ &\textrm{adalah vektor basis pada bidang} \end{aligned}&\begin{aligned}&\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\\ &\vec{i},\: \vec{j},\: \textrm{dan}\: \vec{k}\\ &\textrm{adalah vektor basis dalam ruang} \end{aligned}\\\hline Vektor Posisi&\begin{aligned}&\textrm{Vektor yang pangkalnya}\\ &\textrm{di titik pangkal koordinat }\end{aligned}&\overrightarrow{OP}=\vec{p}&\overrightarrow{OP}=\vec{p}\\\hline\end{array}.

Sebagai tambahan penjelasan

\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{Vektor}&\textrm{Istilah}&\textrm{Contoh}\\\hline \vec{z}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a ,& b ,& c \end{pmatrix}&\begin{aligned}&\textrm{panjang vektor}\: \: \vec{z}\\ &\textrm{adalah}\: \: \left | \vec{z} \right |,\: \textrm{dengan}\\ &\left | \vec{z} \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{diketahui}\: \: \vec{p}=\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}\\ &\textrm{maka pangjang vektor}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{adalah}\\ &\left | \vec{p} \right |=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}\\ &\quad\: \: =\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 \end{aligned}\\\cline{2-3} &\begin{aligned}&\textrm{Vektor satuan}\: \: \vec{z}\: \: \textrm{adalah}\\ &\displaystyle \vec{e}_{\vec{z}}=\displaystyle \frac{\vec{z}}{\left | \vec{z} \right |} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Vektor satuan dari}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{adalah}\\ &\vec{e}_{\vec{p}}=\frac{\vec{p}}{\left | \vec{p} \right |}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}}{3}=\displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

C. Operasi Pada Vektor

a. Penjumlahan

Secara geometri

Dengan aturan segitiga

325

Dengan aturan Jajargenjang

327

Secara aljabar

\begin{array}{lll}\\ \textrm{Misalkan:}&&\\ &\vec{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}&\begin{aligned}\textrm{Jika}\: \vec{c}&=\vec{a}+\vec{b}\\ &\textrm{maka}\\ \vec{c}&=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

b. Pengurangan

Secara geometri

328

Secara aljabar

\begin{array}{lll}\\ \textrm{Misalkan:}&&\\ &\vec{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}&\begin{aligned}\textrm{Jika}\: \vec{d}&=\vec{a}-\vec{b}\\ &\textrm{maka}\\ \vec{d}&=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -b_{1}\\ -b_{2} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}.

Sebagi Contoh

Nyatakan dalam vektor kolom dan baris dari gambar berikut

a.  322       b.  323

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|l|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|l|}{\begin{array}{ll}\\ \textrm{Diketahui}&\\ &\blacklozenge \: \: \textrm{vektor}\quad \begin{cases} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \end{cases}\\ &\blacklozenge \: \: \textrm{skalar}\quad \begin{cases} k \\ l \end{cases} \end{array}}\\\hline \textrm{No}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Sifat dan Keterangan/Contoh}}\\\hline 1.&\textrm{Komutatif penjumlahan}&\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\\\hline 2.&\textrm{Asosiatif penjumlahan}&\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )+\vec{c}=\vec{a}+\left ( \vec{b}+\vec{c} \right )\\\hline 3.&\textrm{Elemen Identitas}&\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\\\hline 4.&\textrm{Invers Penjumlahan}&\vec{a}+\left ( -\vec{a} \right )=\left ( -\vec{a} \right )+\vec{a}=\vec{0}\\\hline 5.&\textrm{Perkalian dengan skalar}&k\left ( l\vec{a} \right )=\left ( kl \right )\vec{a}\\\cline{3-3} &&k\left ( \vec{a}+ \vec{b} \right )=k\vec{a}+k\vec{b}\\\cline{3-3} &&k\left ( \vec{a}- \vec{b} \right )=k\vec{a}-k\vec{b}\\\hline 6.&\textrm{Jika A, B, dan C segaris (Kolinear)}&\begin{cases} \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} \\ dll \end{cases}\\\hline \end{array}.

D. Perbandingan Vektor  di  \textbf{R}^{\textbf{2}}\: \: \textbf{dan}\: \: \textbf{R}^{\textbf{3}}.

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

342

Diketahui titik  \textrm{P}\left ( x_{1},y_{1} \right )\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{Q}\left ( x_{2},y_{2} \right )  dan misalkan  \overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}=m:n, maka vektor posisi titik T adalah  \vec{t}=\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n} .

Bukti:

\begin{aligned}\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}&=m:n\\ \displaystyle \frac{\overrightarrow{PT}}{\overrightarrow{TQ}}&=\frac{m}{n}\\ \displaystyle \frac{\vec{t}-\vec{p}}{\vec{q}-\vec{t}}&=\frac{m}{n}\\ n\left ( \vec{t}-\vec{p} \right )&=m\left ( \vec{q}-\vec{t} \right )\\ n\vec{t}-n\vec{p}&=m\vec{q}-m\vec{t}\\ m\vec{t}+n\vec{t}&=m\vec{q}+n\vec{p}\\ \vec{t}\left ( m+n \right )&=n\vec{p}+m\vec{q}\\ \vec{t}&=\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n}\qquad\quad \blacksquare \end{aligned}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut} \end{array}.

340

\begin{array}{ll}\\ .\quad&\textrm{Pada Balok ABCD.EFGH diatas diketahui DA = 4 cm, DC = 5 cm, dan DH 3 cm.}\\ &\textrm{Misalkan}\: \: \vec{i}\: \: \textrm{adalah vektor satuan dengan arah sama dengan}\: \: \overrightarrow{DA},\: \vec{j}\: \: \textrm{adalah vektor satuan dengan arah sama}\\ &\overrightarrow{DC}\: ,\: \textrm{dan}\: \: \vec{k}\: \: \textrm{adalah vektor satuan dengan arah sama dengan}\: \: \overrightarrow{DH}.\: \\ &\textrm{Nyatakanlah vektor-vektor berikut dalam vektor}\: \: \vec{i},\: \vec{j}\: \textrm{dan}\: \: \vec{k}.\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\overrightarrow{DA},\: \: \overrightarrow{DC}\: \: \textrm{dan} \: \: \overrightarrow{DH}\\ \textrm{b}.&\overrightarrow{DB}\: \: \: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{DF}\\ \textrm{c}.&\overrightarrow{DP}\: \: \textrm{jika}\: \: P\: \: \textrm{titik tengan}\: \: EF\\ \textrm{d}.&\overrightarrow{DQ}\: \: \textrm{jika}\: \: Q\: \: \textrm{titik pada perpanjangan}\: \: FG\: \: \textrm{dengan}\: \: FG=GQ\end{array} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.&\begin{cases} \overrightarrow{DA}=4\vec{i}\\ \overrightarrow{DC}=5\vec{j} \\ \overrightarrow{DH}=3\vec{k} \end{cases}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\: \overrightarrow{DB}&=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}\\ &=5\vec{j}+4\vec{i}\\ \overrightarrow{DF}&=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}\\ &=4\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{c}.\: \overrightarrow{DP}&=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EP}\\ &=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}\\ &=4\vec{i}+3\vec{k}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}\\ &=4\vec{i}+3\vec{k}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\\ &= 4\vec{i}+3\vec{k}+\frac{1}{2}\left ( 5\vec{j} \right )\\ &=4\vec{i}+\frac{5}{2}\vec{j}+3\vec{k}\end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d}.\: \overrightarrow{DQ}&=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GQ}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GQ}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{AD}\\ &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}-\overrightarrow{DA}\\ &=5\vec{j}+3\vec{k}-4\vec{i}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=\begin{pmatrix} -5\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} 6\\ -2 \end{pmatrix}.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \vec{a}-\vec{b}\qquad\qquad \textrm{b}.\quad \vec{b}-\vec{a}\qquad\qquad \textrm{c}.\quad 4\left ( \vec{a}-\vec{b} \right )\qquad\qquad \textrm{d}.\quad 4\vec{a}-4\vec{b} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{array}{llll}\\ \begin{aligned}a.\quad \vec{a}-\vec{b}&=\vec{a}+\left ( -\vec{b} \right )\\ &=\begin{pmatrix} -5\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -6\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -11\\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}b.\quad \vec{b}-\vec{a}&=\vec{b}+\left ( -\vec{a} \right )\\ &=\begin{pmatrix} 6\\ -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ -3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 11\\ -5 \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}c.\quad 4\left ( \vec{a}-\vec{b} \right )&=4\begin{pmatrix} -11\\ 5 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -44\\ 20 \end{pmatrix}\\ & \end{aligned}&\\ \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p}=\begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{q}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \vec{p}+\vec{q}\qquad\qquad \textrm{b}.\quad \vec{q}+\vec{p}\qquad\qquad \textrm{c}.\quad 4\left ( \vec{p}+\vec{q} \right )\qquad\qquad \textrm{d}.\quad 4\vec{p}+4\vec{q}\\ &\textrm{e}.\quad 4\left ( \vec{p}-\vec{q} \right )\: \: \quad\quad \textrm{f}.\quad 4\vec{p}-4\vec{q} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{array}{llll}\\ \begin{aligned}a.\quad \vec{p}+\vec{q}&=\begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}b.\quad \vec{q}+\vec{p}&=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}&&\\ \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Pada contoh soal No. 1 tentukanlah panjang vektor}\: \: \overrightarrow{DA},\: \overrightarrow{DP}\: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{DQ}\\ \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\left |\overrightarrow{DA} \right |&=4\: cm,\qquad &\left |\overrightarrow{DP} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DE} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{EP} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DA} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{AE} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{EP} \right |^{2}\\ &&&=4^{2}+3^{2}+\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}\\ &&&=16+9+\frac{25}{4}\\ &&\left | \overrightarrow{DP} \right |&=\sqrt{\frac{125}{4}}\\ &&&=\displaystyle \frac{5}{2}\sqrt{5}\: cm,\: \: \textrm{dan}\\ &&\left | \overrightarrow{DQ} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DG} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{GQ} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{DC} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{CG} \right |^{2}+\left | \overrightarrow{GQ} \right |^{2}\\ &&&=5^{2}+3^{2}+4^{2}\\ &&&=25+9+16\\ &&&=50\\ &&\left | \overrightarrow{DQ} \right |&=\sqrt{50}\\ &&&=5\sqrt{2}\: cm \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}\: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}.\\ &\textrm{Tentukan}\: \: m\: \: \textrm{jika}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\overrightarrow{u}&=k\vec{v}\qquad (\textrm{vektor}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah})\\ \begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}&=k\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4k\\ mk \end{pmatrix}\\ -8&=-4m\: \: \Rightarrow \: \: m=\displaystyle \frac{-8}{-4}=2\\ &\\ \textrm{Jadi}\: &m=2\\ \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Perhatikanlah gambar di bawah ini dan nyatakan titik-titik pada gambar tersebut}\\ &\textrm{dalam vektor posisi}\\ \end{array}\\.

341

Jawab:

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut

341b

\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Titik}&\textrm{Vektor Posisi}\\\hline P(5,3)&\vec{p}=\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\\\hline Q(2,-3)&\vec{q}=\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}\\\hline R(-5,-1)&\vec{r}=\begin{pmatrix} -5\\ -1 \end{pmatrix}\\\hline S(-3,7)&\vec{s}=\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{7}.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas. Tentukanlah vektor-vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \overrightarrow{PQ}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{PS}\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{QS}\\ &\textrm{d}.\quad \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad \overrightarrow{PQ}&=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}\\ &=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\\ &=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\\ &=\vec{q}-\vec{p}\\ &=\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \overrightarrow{PS}&=\vec{s}-\vec{p}\\ &\textrm{dengan cara semisal poin a}\\ \overrightarrow{PS}&=\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -8\\ 4 \end{pmatrix}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{c}.\quad \overrightarrow{QS}&=\vec{s}-\vec{q}\\ &=\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -5\\ 10 \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d}.\quad \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}&=\overrightarrow{QS}\\ &=\begin{pmatrix} -5\\ 10 \end{pmatrix}\\ &\textrm{lihat jawaban poin c}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{8}.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas. Jika titik T terletak pada }\: \overrightarrow{SP},\: \\ &\textrm{sehingga}\: \: \overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=1:3,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah koordinat titik T}\:\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\: \: \overrightarrow{SP},\: \textrm{tentukanlah koordinat titik M}\\ \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad \vec{t}&=\displaystyle \frac{3\vec{s}+\vec{p}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{3\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \begin{pmatrix} -9\\ 21 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -4\\ 24 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ 6 \end{pmatrix}\\ \textrm{jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: T(-1,6) \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \vec{m}&=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \vec{s}+\vec{p} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2\\ 10 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: M(1,5)\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{LATIHAN SOAL}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut} \end{array}

343

\begin{array}{ll}\\ .\quad &\textrm{Nyatakan vektor-vektor pada gambar di atas ke dalam bentuk}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Vektor kolom}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Vektor baris}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Vektor basis} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Pada soal No. 1 di atas, gambarkanlah vektor-vektor berikut pada kertas berpetak}\\ &\textrm{a}.\quad \vec{a}+\vec{b}\\ &\textrm{b}.\quad \vec{b}+\vec{c}\\ &\textrm{c}.\quad \vec{c}+\vec{d}\\ &\textrm{d}.\quad (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\\ &\textrm{e}.\quad \vec{b}+(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{f}.\quad (\vec{a}+\vec{b})+(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{g}.\quad (\vec{a}+\vec{b})-(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{h}.\quad \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}\\ &\textrm{i}.\quad \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}+\vec{e}-\vec{f}\end{array}.

Sumber Referensi

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  2. Budhi, Wono Setya. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: RICARDO.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s