Invers Matriks

Invers Matriks hanya ada pada matriks persegi.

Jika matriks A dan matriks B masing-masing adalah matriks persegi dan saling invers maka AB = BA = I, dimana I adalah matriks identitas. Jika B adalah invers matriks A maka dapat kita tuliskan bahwa  B=A^{-1}.

A. Matriks Ordo 2×2

\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textrm{Matriks Persegi}&\textrm{Invers}&\textbf{Contoh}\\\hline \begin{aligned}A&=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}A^{-1}&=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{(ad-bc)}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}B&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 8 & 9 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka,}\\ B^{-1}&=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} B \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -8 & 1 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{(9-16)}\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -8 & 1 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{-7}\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -8 & 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -\frac{9}{7} & \frac{2}{7}\\ \frac{8}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

B. Matriks Ordo 3×3 (Pengayaan)  

Invers matriks ordo 3×3 adalah jika A adalah suatu matriks ordo 3×3, maka invers dari matriks A tersebut ( syaratnya det A ≠ 0) adalah

\Huge A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{det\: A}.Adjoin\: A.

Sebelum kita menuju adjoin kita perlu mengerti beberapa istilah selain adjoin yang berkaitan dengan invers matriks ordo 3×3 ini yaitu minor dan kofaktor, serta adjoin itu sendiri.

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{Determinan}&\textrm{Minor}&\textrm{Kofaktor}&\textrm{Adjoin}\\\hline A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} &\begin{aligned}&\textrm{Minor}\: a_{ij}\: \textrm{adalah}\\ &\textrm{jika elemen-elemen}\\ &\textrm{beris ke-i dan kolom}\\ &\textrm{ke-j dihapus dari}\\ &\textrm{matriks ordo 3x3}\\ &\textrm{kemudian ditentukan}\\ &\textrm{determinannya}\\ &\textrm{dan dinotasikan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \begin{vmatrix} M_{ij} \end{vmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Diketahui minor}\\ &a_{ij}\: \: \textrm{matriks A}\\ &\textrm{adalah}\: \: \begin{vmatrix} M_{ij} \end{vmatrix},\\ &\textrm{maka yang dimaksud}\\ &\textrm{kofaktor}\: \: a_{ij}\\ &\textrm{adalah}\: \: K _{ij}, \: \textrm{di mana}\\ &K _{ij}=(-1)^{i+j}.\begin{vmatrix} M_{ij} \end{vmatrix}.\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{diperoleh juga} \\ &\textrm{matriks kofaktor C}\\ &C=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{13}\\ K_{21} & K_{22} & K_{23}\\ K_{31} & K_{32} & K_{33} \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Transpose dari}\\ &\textrm{matriks kofaktor}\\ &\textrm{disebut sebagai}\\ &\textrm{matriks Adjoin}\\ &\textrm{yaitu}\\ &\textrm{Adj}\: A=\\ &\begin{pmatrix} K_{11} & K_{21} & K_{31}\\ K_{12} & K_{22} & K_{32}\\ K_{13} & K_{23} & K_{33} \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Contoh Invers matriks ordo 3×3 sebagai berikut

Diketahui matriks  A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.  Tentukanlah

  1. determinan matriks A
  2. minor matriks A
  3. kofaktor matriks A
  4. adjoin matriks A, dan
  5. invers matriks A

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{dengan cara \textbf{Sarrus} diperoleh det A}\\ &\\ &\textrm{det}\: A=\begin{matrix} \begin{vmatrix} 1^{+} & 2^{+} & 3^{+}\\ 0 & 4 & 5\\ 3_{-} & 2_{-} & 1_{-} \end{vmatrix}&\begin{matrix} 1 & 2\\ 0 & 4\\ 3 & 2 \end{matrix} \end{matrix}\: \\ &\\ &\quad\quad \: \, \, =\: +(1.4.1)+(2.5.3)+(3.0.2)-(3.4.3)-(2.5.1)-(1.0.2)\\ &\quad\quad \: \, \, =+4+30+0-36-10-0\\ &\quad\quad\: \, \, =-12\\ &\\ &\textrm{jadi, det A = - 12} \end{array}.

Perhatikan bahwa matriks A berordo 3×3 dan nilai determinannya ≠ 0, sehingga akan memiliki invers.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{minor dari matriks A adalah}\\ &\\ &\begin{matrix} \textrm{minor}\: a_{11}=\begin{vmatrix} M_{11} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=4-10=-6, &\textrm{minor}\: a_{12}=\begin{vmatrix} M_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 5\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=0-15=-15 ,&\\ \textrm{minor}\: a_{13}=\begin{vmatrix} M_{13} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 4\\ 3 & 2 \end{vmatrix}=0-12=-12.&\textrm{dan sterusnya}\quad\quad\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad&\\ \begin{vmatrix} M_{21} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=2-6=-4 ,&\begin{vmatrix} M_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1-9=-8 ,&\\ \begin{vmatrix} M_{23} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{vmatrix}=2-6=-4 &\begin{vmatrix} M_{31} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{vmatrix}=10-12=-2\\ \begin{vmatrix} M_{32} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 0 & 5 \end{vmatrix}=5-0=5 ,&\begin{vmatrix} M_{33} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 4 \end{vmatrix}=4-0=4 ,& \end{matrix} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{kofaktor-kofaktornya adalah}\\ &\begin{array}{lll}\\ K_{11}=(-1)^{1+1}.\begin{vmatrix} M_{11} \end{vmatrix}=-6,&K_{12}=(-1)^{1+2}.\begin{vmatrix} M_{12} \end{vmatrix}=-(-15)=15,&K_{13}=(-1)^{1+3}.\begin{vmatrix} M_{13} \end{vmatrix}=-12\\ K_{21}=(-1)^{2+1}.\begin{vmatrix} M_{21} \end{vmatrix}=-(-4)=4,&K_{22}=(-1)^{2+2}.\begin{vmatrix} M_{22} \end{vmatrix}=-8,&K_{23}=(-1)^{2+3}.\begin{vmatrix} M_{23} \end{vmatrix}=-(-4)=4\\ K_{31}=(-1)^{3+1}.\begin{vmatrix} M_{31} \end{vmatrix}=-2,&K_{32}=(-1)^{3+2}.\begin{vmatrix} M_{32} \end{vmatrix}=-(5)=-5,&K_{33}=(-1)^{3+3}.\begin{vmatrix} M_{33} \end{vmatrix}=4 \end{array}\\ &\\ &\textrm{Jadi matriks kofaktornya adalah} \: \: C=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{13}\\ K_{21} & K_{22} & K_{23}\\ K_{31} & K_{32} & K_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & 15 & -12\\ 4 & -8 & 4\\ -2 & -5 & 4 \end{pmatrix} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{adjoin matriks A-nya adalah}\\ &\\ &\textrm{Adj}\: \: A=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{21} & K_{31}\\ K_{12} & K_{22} & K_{32}\\ K_{13} & K_{23} & K_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{array}.

Boleh juga langkah ke-2 sampai dengan langkah ke-4 disingkat sebagai berikut:

\begin{aligned}Adj\: A=\begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} \textcircled{1} & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1&2 & 3\\ \textcircled{0} & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0 & 4 & 5\\ \textcircled{3} & 2 & 1 \end{vmatrix}\\ &&\\ -\begin{vmatrix} 1&\textcircled{2}& 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & \textcircled{4} & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & \textcircled{2} & 1 \end{vmatrix}\\ &&\\ +\begin{vmatrix} 1&2&\textcircled{3}\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & \textcircled{5}\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & \textcircled{1} \end{vmatrix} \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{vmatrix}\\ &&\\ -\begin{vmatrix} 0 & 5\\ 3 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 0 & 5 \end{vmatrix}\\ &&\\ +\begin{vmatrix} 0 & 4\\ 3 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 4 \end{vmatrix} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}.

Catatan:

elemen yang dilingkari menunjukkan baris dan kolom pada elemen tersebut dihapus. Sehingga tersisa determinan matriks ordo 2×2.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{invers matriks A-nya adalah}\\ &\\ &A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{\textrm{det}\: \: A}.\textrm{Adj}\: \: A\\ &\\ &A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{-12}.\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix} \\&\\ &A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\ -\frac{5}{4} & \frac{2}{3} & \frac{5}{12}\\ 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{array}.

C. Matriks Identitas

Sebuah matriks persegi yang memiliki invers jika dikalikan denganinversnya akan menghasilkan matriks identitas atau matriks satuan.

Matriks identitas adalah jika elemen-elemen pada diagonal utama berupa bilangan 1 dan lainnya berupa bilangan nol.

Berikut adalah matriks identitas ordo 2×2 dan ordo 3×3

\LARGE\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\qquad \textrm{dan}\qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Contoh

Pada soal diatas berkaitan matriks ordo 3×3 dan inversnya diperoleh

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\qquad \textrm{dan}\qquad A^{-1}=-\displaystyle \frac{1}{12}\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix}.

Tunjukkan bahwa

A.A^{-1}=I=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Bukti

\begin{aligned}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\times -\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix}&=-\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} (-6+0+6) & (-12+16-4) & (-18+20-2)\\ (15+0-15) & (30-32-10) & (45-40-5)\\ (-12+0+12) & (-24+16+8) & (-36+20+4) \end{pmatrix}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} -12 & 0 & 0\\ 0 & -12 & 0\\ 0 & 0 & -12 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{-12}{-12} & 0 & 0\\ 0 &\displaystyle \frac{-12}{-12} & 0\\ 0 & 0 & \displaystyle \frac{-12}{-12} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \textbf{terbukti} \end{aligned}.

4. Persamaan Matriks Bentuk AX=B dan XA=B

Perhatikanlah

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Menyelesaikan Persamaan Matriks Ordo 2x2}}\\ \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Bentuk}}\\\hline \begin{aligned}A.X&=B\\ A^{-1}.A.X&=B\\ I.X&=A^{-1}.B\\ X&=A^{-1}.B \end{aligned}&\begin{aligned}X.A&=B\\ X.A.A^{-1}&=B\\ X.I&=B.A^{-1}\\ X&=B.A^{-1} \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Contoh}}\\\hline \begin{aligned}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}.X&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1}.\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=\displaystyle \frac{1}{(4-6)}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=-\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (0-4) & (-4+6)\\ (0+2) & (3-3) \end{pmatrix}\\ X&=-\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 & 2\\ 2 & 0 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}X.\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{-1}\\ X&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{0-1}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\ X&=-\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\ X&=-\begin{pmatrix} (0-1) & (0-2)\\ (0-3) & (2-6) \end{pmatrix}\\ X&=-\begin{pmatrix} -1 & -2\\ -3 & -4 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned} \\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Latihan Soal}}}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah invers matriks berikut }\\ &a.\quad \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 5 & 19 \end{pmatrix}\quad\quad\quad c.\quad \begin{pmatrix} -6 & -6\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\ &b.\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 1\\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}\quad\quad d.\quad \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ -2 & -4 & 3\\ 5 & 4 & -2 \end{pmatrix}\\ &\\ 2.&\textrm{Perhatikan matriks berikut}\\ &\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Apakah matriks tersebut memiliki invers}?\: \textrm{jelaskan alasan Anda}!\\ &\\ 3.&\textrm{Jika X adalah matriks berordo 2x2 , Carilah X dari persamaan matriks berikut }\\ &a.\quad \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 2 & 4 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 2 \end{pmatrix}\quad\quad\quad\:\: d.\quad X\begin{pmatrix} -2 & -3\\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -5\\ 10 & -5 \end{pmatrix}\\ &b.\quad \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 5 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} -2 & -4\\ 5 & 12 \end{pmatrix}\quad\quad e.\quad X\begin{pmatrix} 7 & 5\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\\ &c.\quad \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 8 & 9 \end{pmatrix}\quad\quad\quad\: \, f.\quad X\begin{pmatrix} -3 & 2\\ 4 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & -3\\ -2 & -1 \end{pmatrix} \end{array}.

 Sumber Referensi

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  2. Kuntarti, Sulistiyono dan Sri Kurnianingsih. 2007. Matematika  SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: esis.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Uncategorized. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s