Determinan

Determinan adalah nilai skalar unik dari matriks persegi.

Lihat materi sebelumnya tentang determinan matriks di sini.

A. Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Jika matriks A adalah matriks yang berordo 2 x 2 matriks determinan matriks A tersebut adalah hasil kali elemen pada diagonal utama dikurangai dengan hasil kali elemen pada diagonal skunder dan notasikan dengan det A atau |A|.

Perhatikan

\LARGE{\boxed{A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\Rightarrow \textrm{det}\: A=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc}}.

atau jika

\Large{\boxed{A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\Rightarrow \textrm{det}\: A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\times a_{22}-a_{12}\times a_{21}}}.

Sebagai misal

A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 8 & 9 \end{pmatrix},\quad \textrm{maka det A} = \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 8 & 9 \end{vmatrix}=(1\times 9) -(2\times 8)=9-16=-7.

B. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Ada beberapa metode dalam mencari determinan matriks ordo 3 x 3 diantaranya yang paling sering digunakan adalah:

  1. Menjabarkan mengikuti baris atau kolom (ekspansi kofaktor)
  2. Atuaran Sarrus.

Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berordo 3 x 3 dengan

\LARGE{A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}.

Perhatikan

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\LARGE{A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}}\\\hline \textrm{Misalkan kita jabarkan baris pertama}&\textrm{Metode Sarrus}\\\hline \begin{aligned}\textrm{det A}&=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ &\\ &\textbf{Catatan}:\\ &\textrm{tanda}\: a_{ij}=\textrm{positif jika}\: i+j\: \textrm{genap}\\ &\textrm{tanda}\: a_{ij}=\textrm{negatif jika}\: i+j\: \textrm{ganjil} \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{det A}&=a_{11}.a_{22}.a_{33}+\\ &\quad\: a_{12}.a_{23}.a_{31}+\\ &\quad\: a_{13}.a_{21}.a_{32}\\ &\quad -a_{31}a_{22}.a_{13}\\ &\quad -a_{32}.a_{23}.a_{11}\\ &\quad -a_{33}.a_{21}.a_{12} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{aligned}\textrm{Tanda dalam} \: &\textrm{menjabarkan baris tau kolom}\\ &\Huge\begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{pmatrix} \end{aligned}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Contoh Soal}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Diketahui matriks-matriks persegi berikut}\\ &a.\: \: \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}\qquad\qquad c.\: \: \begin{pmatrix} -2 & -3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}\\ &b.\: \: \begin{pmatrix} 0 & 4\\ -3 & 6 \end{pmatrix}\: \quad\quad\quad d.\: \: \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2} & -2\sqrt{2} \end{pmatrix}\\ &\\ &\textrm{Tentukanlah determinan dari matriks-matriks persegi di atas} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Matriks-matriks persegi}}\\\hline a.\quad \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}&b.\quad \begin{pmatrix} 0 & 4\\ -3 & 6 \end{pmatrix}&c.\quad \begin{pmatrix} -2 & -3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}&d.\quad \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2} & -2\sqrt{2} \end{pmatrix}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Determinan matriks-matriks persegi tersebut}}\\\hline \begin{aligned}a.\quad &\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 6 & 7 \end{vmatrix}\\ &=(2).(7)-(3).(6)\\ &=14-18\\ &=-4\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}b.\quad &\begin{vmatrix} 0 & 4\\ -3 & 6 \end{vmatrix}\\ &=(0).(6)-(4).(-3)\\ &=0-(-12)\\ &=12\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}c.\quad &\begin{vmatrix} -2 & -3\\ 6 & 7 \end{vmatrix}\\ &=(-2).(7)-(-3).(6)\\ &=(-14)-(-18)\\ &=-14+18\\ &=4 \end{aligned}&\begin{aligned}d.\quad &\begin{vmatrix} \sqrt{3} & 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2} & -2\sqrt{2} \end{vmatrix}\\ &=(\sqrt{3}).(-2\sqrt{2})-(3\sqrt{3}).(\sqrt{2})\\ &=-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}\\ &=-5\sqrt{6}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: x\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \begin{vmatrix} 1-x & 3\\ 2 & 3-x \end{vmatrix}=2\\ \end{array}.

Jawab:

\begin{aligned}\begin{vmatrix} 1-x & 3\\ 2 & 3-x \end{vmatrix}&=2\\ \left ( 1-x \right )\left ( 3-x \right )-(3)(2)&=2\\ 3-x-3x+x^{2}-6&=2\\ x^{2}-4x-3&=2\\ x^{2}-4x-5&=0\\ \left ( x-5 \right )\left ( x+1 \right )&=0\\ x-5=0\: \: \textrm{atau}\: \:x+1&=0\\ x=5\: \: \textrm{atau}\: \: x&=-1 \\ &\\ \therefore x=5\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1& \end{aligned}

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui matriks-matriks persegi berikut}\\ &(i).\: \: \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{pmatrix}\quad\quad\quad\quad\: \: \, (iii).\: \: \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}\\ &(ii).\: \: \begin{pmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{pmatrix}\quad\quad (iv).\: \: \begin{pmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}\\ &\\ &\textrm{Tentukanlah determinan matriks-matriks di atas dengan cara}\\ &a.\quad Sarrus\\ &b.\quad \textrm{Menjabarkan baris pertama}\\ &c.\quad \textrm{Menjabarkan baris kedua}\\ &d.\quad \textrm{Menjabarkan baris ketiga}\\ &e.\quad \textrm{Menjabarkan kolom pertama}\\ &f.\quad \textrm{Menjabarkan kolom kedua}\\ &g.\quad \textrm{Menjabarkan kolom ketiga} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Matriks-matriks persegi}}\\\hline (i).\quad \begin{pmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{pmatrix}&(ii).\quad \begin{pmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{pmatrix}&(iii).\quad \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}&(iv).\quad \begin{pmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Determinan matriks-matriks persegi tersebut dengan cara \textit{Sarrus}}}\\\hline \begin{aligned}(i).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{vmatrix}\\ &=(1)(4)(4)+\\ &\: \: \quad (1)(5)(3)+\\ &\: \: \quad (3)(2)(5)+\\ &\: \: \quad -(3)(4)(3)\\ &\: \: \quad -(5)(5)(1)\\ &\: \: \quad -(4)(2)(1)\\ &=16+15+30\\ &\: \: \: -36-25-8\\ &=-8 \\\end{aligned} &\begin{aligned}(ii).\quad &\begin{vmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{vmatrix}\\ &=(-1)(6)(6)+\\ &\: \: \quad (-2)(0)(-3)+\\ &\: \: \quad (-3)(-2)(0)+\\ &\: \: \quad -(-3)(6)(-3)\\ &\: \: \quad -(0)(0)(-1)\\ &\: \: \quad -(6)(-2)(-2)\\ &=-36+0+0\\ &\: \: \: -54-0-24\\ &=-114 \\\end{aligned} &\begin{aligned}(iii).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{vmatrix}\\ &=(1)(5)(9)+\\ &\: \: \quad (2)(6)(7)+\\ &\: \: \quad (3)(4)(8)+\\ &\: \: \quad -(7)(5)(3)\\ &\: \: \quad -(8)(6)(1)\\ &\: \: \quad -(9)(4)(2)\\ &=45+84+96\\ &\: \: \: -105-48-72\\ &=0 \\\end{aligned} &\begin{aligned}&(iv).\quad \textrm{silahkan}\\ &\textrm{dicoba sendiri}\end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Matriks-matriks persegi}}\\\hline (i).\quad \begin{pmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{pmatrix}&(ii).\quad \begin{pmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{pmatrix}&(iii).\quad \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}&(iv).\quad \begin{pmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Determinan matriks-matriks persegi tersebut dengan cara menjabarkan baris pertama}}\\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}(i).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \textcircled{1} & 1 & 3\\\cline{1-3} 2| & 4 & 5\\ 3| & 5 & 4 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1&\textcircled{1} & 3\\\cline{1-3} 2 & |\underline{4} & 5\\ 3 & |\underline{5} & 4 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&1&\textcircled{3} \\\cline{1-3} 2 & 4 & |5\\ 3 & 5 & |4 \end{vmatrix}\\ &=+(1)\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 5 & 4 \end{vmatrix}-(1)\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4 \end{vmatrix}+(3)\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{vmatrix}\\ &=(1)(16-25)-(1)(8-15)+(3)(10-12)\\ &=-9-(-7)+(-6)\\ &=-8\end{aligned}}&\multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}(iii).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \textcircled{1} & 2 & 3\\\cline{1-3} 4| & 5 & 6\\ 7| & 8 & 9 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1&\textcircled{2} & 3\\\cline{1-3} 4 & |\underline{5} & 6\\ 7 & |\underline{8} & 9 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&2&\textcircled{3} \\\cline{1-3} 4 & 5 & |6\\ 7 & 8 & |9 \end{vmatrix}\\ &=+(1)\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{vmatrix}-(2)\begin{vmatrix} 4 & 6\\ 7 & 9 \end{vmatrix}+(3)\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}\\ &=(1)(45-48)-(2)(36-42)+(3)(32-35)\\ &=-3-(-12)+(-9)\\ &=0\end{aligned} } \\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Latihan Soal}}}}.

  1. Silahkan selesaiakan Contoh Soal pada No. 3 yang belum dibahas.
  2. \begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: x\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \begin{vmatrix} 2 & 3&2\\ x-2 & x&x-3\\ 10&16&11 \end{vmatrix}=2\\ \end{array}.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s