Matriks

A. Pengertian, Notasi, Ordo Suatu Matriks

  • Materi lihat di sini
  • Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang di susun menurut baris dan kolom yang berbentuk persegi atau persegi panjang dalam tanda kurung biasa “( )” atau kurung siki ” [ ] “.
  • Notasi Matriks; Sebuah matriks biasanya di notasikan dengan sebuah huruf besar(kapital).
  • Ordo Matriks; adalah ukuran matriks, yang menunjukkan banyaknya baris dan kolom pada suatu matrik atau selanjutnya kita sebut sebagai ukuran matriks.

Berikut adalah Sebagai penjelas dari keterangan di atas.

A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots &a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3j} & \cdots &a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} &\cdots &a_{mn} \end{pmatrix}.

Matriks A di atas adalah matriks A yang berukuran atau berordo m x n. Banyaknya baris ada sebanyak m dan banyak kolom sebanyak n. Penulisan antara baris dan kolom (aturan penulisan ordo) adalah banyak baris disebutkan terlebih dahulu kemudian baru menyebutkan banyaknya kolom.

\bordermatrix{ &\underset{\downarrow}{k_{1}}&\underset{\downarrow}{k_{2}}&\underset{\downarrow}{k_{3}}&\underset{\downarrow}{k_{\cdots }}&\underset{\downarrow}{k_{j}}&\underset{\downarrow}{k_{\cdots }}&\underset{\downarrow}{k_{n}}\cr \textrm{baris ke-1}\rightarrow &a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\cr \textrm{baris ke-2}\rightarrow&a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2j}&\cdots &a_{2n}\cr \textrm{baris ke-3}\rightarrow&a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3j}&\cdots &a_{3n}\cr \textrm{baris ke-\vdots }\rightarrow&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \cr \textrm{baris ke-m}\rightarrow&a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}}.

Catatan :

Pada matriks A di atas

  • a_{11},\: a_{12},\: a_{13},\cdots \: ,a_{mn}  adalah elemen-elemen atau unsur-unsur atau juga entri-entri dari matriks A.
  • Andaikan elemen  a_{ij}  adalah salah satu elemen dari matriks A di atas, indeks i menunjukkan posisi baris dan indeks j menunjukkan posisi kolom pada Matriks A tersebut. Sehingga elemen a_{mn}  adalah elemen dari matriks A yang terletak pada baris ke-m kolom ke-n.

B. Jenis-jenis Matriks

Ditinjau dari elemen-elemen penyusunnya, matriks dibedakan sebagai berikut:

\begin{array}{|l|p{2.0cm}|p{9.0cm}|l|l|}\hline \textrm{No}&Jenis Matriks&\textrm{Keterangan}&\textrm{Contoh}&\textrm{Ordo}\\\hline 1.&Matriks Baris&Matriks yang elemen penyusunnya satu baris saja&\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \end{pmatrix}&1\times 3\\\hline 2.&Matriks Kolom&Matriks yang elemen penyusunnya tepat satu kolom saja&\begin{pmatrix} 5\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}&3\times 1\\\hline 3.&Matriks Nol&Matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol&\begin{pmatrix} 0 & 0&0\\ 0 & 0&0 \end{pmatrix}&2\times 3\\\hline 4.&Matriks Persegi&Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama&\begin{pmatrix} 2 & 8\\ 6 & 1 \end{pmatrix}&2\times 2\\\hline 5.&Matriks Diagonal&Matriks Persegi yang semua elemennya nol kecuali pada diagonal utama&\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}&2\times 2\\\cline{4-5} &&\boxed{\textrm{\textbf{Diagoal Utama} adalah elemen}\: a_{ij}\: \textrm{untuk}\: i=j}&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}&3\times 3\\\hline 6.&Matriks Identitas&a. Identitas terhadap penjumlahan. Jika A + O = A = O + A&&\\\cline{3-5} &&b. Matriks Satuan (I) adalah Matriks persegi di mana semua elemennya adalah nol kecuali pada diagonal utama berupa bilangan 1&\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}&2\times 2\\\hline 7.&Segitiga Atas dan Segitiga Bawah&a. Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama berupa bilangan nol&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & -7 & 6\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}&3\times 3\\\cline{3-5} &&b. Matriks Segitiga Bawah adalah kebalikan dari Matriks Segitiga Atas&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 5 & 6 & 3 \end{pmatrix}&3\times 3\\\hline 8&Matriks Simetris&Suatu matriks disebut sebagai matriks simetris jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama&\begin{pmatrix} 1 & 8\\ 8 & 9 \end{pmatrix}&2\times 2\\\cline{4-5} &&&\begin{pmatrix} 2 & 1 & -5\\ 1 & 3 & 7\\ -5 & 7 & 4 \end{pmatrix}&3\times 3\\\hline \end{array}.

C. Transpose Matriks

Jika A adalah sebuah matriks berukuran  m\times n, maka transpose matriks A nyatakan dengan {A}' atau  A^{t}  dan akan berukuran  n\times m dengan memindah semua unsur yang ada pada kolom matriks A menjadi baris pada matriks {A}' atau  A^{t}.

D. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks A dan B dikatan sama jika dan hanya jika kedua matriks A dan B tersebut ordonya sama dan elemen yang seletak juga sama.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Contoh Soal}}}}.

\begin{array}{|l|l|c|p{1.3cm}|p{1.3cm}|c|c|c|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{\textbf{Misal}}\\\hline \textrm{No.1}&\textrm{Matriks}&\textrm{Notasi}&\textrm{Banyak Baris}&\textrm{Banyak Kolom}&\textrm{Ordo}&\textrm{Unsur Baris ke-1}&\textrm{Transpose Matriks}\\\hline a.&\textrm{A}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 6\\ 7 & 8 & -4\\ 66&77&88\\ 611&722&833\\ 0&0&-1\\ 1&1&-2\\ 3&3&5 \end{pmatrix}&\textrm{A}&7&3&7\times 3&\textrm{1, -2, dan 6}&{A}'=\begin{pmatrix} 1 & 7 & 66 & 611 & 0 & 1 & 3\\ -2 & 8 & 77 & 722 & 0 & 1 & 3\\ 6 & -4 & 88 & 833 & -1 & -2 & 5 \end{pmatrix}\\\hline b.&\textrm{M}=\begin{pmatrix} -20\\ 0\\ 2015\\ -2015 \end{pmatrix}&\textrm{M}&4&1&4\times 1&-20&{M}'=\begin{pmatrix} -20 & 0 & 2015 & -2015 \end{pmatrix}\\\hline c.&\textrm{X}=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{3} & -2\sqrt{3} & 100 \end{pmatrix}&\textrm{X}&1&3&1\times 3&\displaystyle \frac{1}{3},\: -2\sqrt{3},\: \textrm{dan}\: 100&{X}'=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{3}\\ -2\sqrt{3}\\ 100 \end{pmatrix}\\\hline d.&\textrm{Y}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}&\textrm{Y}&3&3&3\times 3&\textrm{1, 2, dan 3}&{Y}'=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 5 & 1\\ 3 & 6 & 2 \end{pmatrix}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Diketahui sebuah matriks}\: A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & \sqrt{3} & 5\\ 0 & -4 & -8 & 6\\ 21 & -\sqrt{2} & 5 & 9 \end{pmatrix} \end{array}\\ \begin{array}{llp{18.0cm}}\\ .\: \qquad&\textrm{a}.&Tuliskan ordo matriks A\\ &\textrm{b}.&Sebutkanlah elemen-elemen pada baris pertama, kedua dan ketiga\\ &\textrm{c}.&Sebutkan juga elemen-elemen pada kolom pertama, kedua dan ketiga\\ &\textrm{d}.&Sebutkanlah elemen yang terletak pada baris pertama kolom kedua\\ &\textrm{e}.&Sebutkanlah elemen yang terletak pada baris kedua kolom ketiga\\ &\textrm{f}.&Sebutkanlah elemen yang terletak pada baris ketiga kolom keempat\\ &\textrm{g}.&Tuliskan transpose matriks A tersebut dan tuliskan pula ordo dari transpose matriks A tersebut \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{lll}\\ 2.&\textrm{a}.&\textrm{Ordo matriks A adalah}\: \: 3\times 4\\ &\textrm{b}.&\bullet \: \: \textrm{Elemen baris pertama}:\: \: 2,\: 1,\: \sqrt{3},\: \textrm{dan}\: 5\\ &&\bullet \: \: \textrm{Elemen baris kedua}:\: 0,\: -4,\: -8,\: \textrm{dan}\: 6\\ &&\bullet \: \: \textrm{Elemen baris ketiga}:\: 21,\: -\sqrt{2},\: 5,\: \textrm{dan}\: 9\\ &\textrm{c}.&\bullet \: \: \textrm{Elemen kolom pertama}:\: 2,\: 0,\: \textrm{dan}\: 21\\ &&\bullet \: \: \textrm{Elemen kolom kedua}:1,\: -4,\: \textrm{dan}\: -\sqrt{2}\\ &&\bullet \: \: \textrm{Elemen kolom ketiga}:\sqrt{3},\: -8,\: \textrm{dan}\: 5 \\ &\textrm{d}.&a_{12}=1\\ &\textrm{e}.&a_{23}=-8\\ &\textrm{f}.&a_{34}=9\\ &\textrm{g}.&{A}'=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 21\\ 1 & -4 & -\sqrt{2}\\ \sqrt{3} & -8 & 5\\ 5 & 6 & 9 \end{pmatrix}\quad \textrm{dan ordo dari} \: \: {A}'\: \: \textrm{adalah}\: \: 4\times 3\end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Jika}\: \: \begin{pmatrix} x+y & 3\\ 0 & ^{2}\log x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 3\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\\ &\\ &\textrm{Tentukanlah nilai dari}\: \: x^{2}-y^{2} \end{array}.

Jawab:

\textrm{Diketahui bahwa kesamaan dua buah matriks dengan}\\\\ .\quad \begin{cases} a_{11}& =x+y=5 \\ a_{12}& =3=3 \\ a_{21}& =0=0 \\ a_{22}& =\: ^{2}\log x=3 \end{cases}\\ \begin{array}{l|l|l}\\\\ \begin{aligned}^{2}\log x&=3\\ x&=2^{3}\\ x&=8 \end{aligned}&\begin{aligned}x+y&=5\\ 8+y&=5\\ y&=-3 \end{aligned}&\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=8^{2}-(-3)^{2}\\ &=64-9\\ &=55 \end{aligned} \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Latihan Soal}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Diketahui sebuah matriks}\: \begin{pmatrix} -2 & 1 & 7 & 5\\ 0 & 3 & -8 & 6\\ 1 & 2 & -1 & 0\\4&-2&6&1 \end{pmatrix} \end{array}\\ \begin{array}{lll}\\ .\: \quad&\textrm{a}.&\textrm{Sebutkan banyak baris}\\ &\textrm{b}.&\textrm{Sebutkan banyak kolom}\\ &\textrm{c}.&\textrm{Sebutkan juga ordonya}\\ &\textrm{d}.&\textrm{Sebutkanlah elemen yang terletak pada baris pertama} \\ &\textrm{e}.&\textrm{Sebutkanlah elemen yang terletak pada baris kedua} \\ &\textrm{f}.&\textrm{Sebutkanlah elemen yang terletak pada baris ketiga} \\ &\textrm{g}.&\textrm{Sebutkanlah elemen yang terletak pada kolom pertama}\\&\textrm{h}.&\textrm{Sebutkanlah elemen yang terletak pada kolom kedua}\\&\textrm{i}.&\textrm{Elemen baris pertama kolom pertama adalah ... ditulis}\: a_{11}=...\\&\textrm{j}.&\textrm{Elemen baris pertama kolom kedua adalah ... ditulis}\: a_{12}=...\\&\textrm{k}.&\textrm{Elemen baris kedua kolom ketiga adalah ... ditulis}\: a_{23}=...\\&\textrm{l}.&\textrm{Elemen baris ketiga kolom keempat adalah ... ditulis}\: a_{34}=...\\&\textrm{m}.&\textrm{Elemen baris kedua kolom pertama adalah ... ditulis}\: a_{21}=...\\&\textrm{n}.& a_{22}=...\\&\textrm{o}.& a_{23}=...\\&\textrm{p}.& a_{24}=...\\&\textrm{q}.& a_{31}=...\\&\textrm{r}.& a_{32}=...\\&\textrm{s}.& a_{33}=...\\ &\textrm{t}&\textrm{Tuliskan transpose matriks tersebut dan tuliskan pula ordo dari transpose matriks tersebut} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: x,\: y\: \textrm{dan}\: z\: \textrm{jika}: \end{array}\\ \begin{array}{lll}\\ .\: \quad&\textrm{a}.&\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.&\begin{pmatrix} x+2 & 6\\ -5 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 6\\ -5 & 2y-1 \end{pmatrix}\\&\textrm{c}.&\begin{pmatrix} x+y \\ x-y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\\&\textrm{d}.&\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & 5\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\&\textrm{e}.&\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 1 & 2y+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+1 & 5\\ 1 & 7 \end{pmatrix}\\&\textrm{f}.&\begin{pmatrix} 2 & x+y\\ 4 & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -5\\ 3y-2 & 7 \end{pmatrix}\\ &\textrm{g}.&\begin{pmatrix} 2x-y+5 & 5\\ -1 & x+3y-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y & 5\\ -1 & 13 \end{pmatrix}\\ &\textrm{h}.&\begin{pmatrix} -11 & -11\\ x+y+7 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 & -5x+3y\\ 6 & 9 \end{pmatrix}\\&\textrm{i}.&\begin{pmatrix} 10&2&1 \\ -6&x-2y-2z&-1\\ 2x+y-1&-1&4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+z&2&1 \\ -6&2&2x-z\\ 0&-1&4 \end{pmatrix}\\&\textrm{j}.&\begin{pmatrix} 3x-3y & 2\\ 4 & 2\left ( x+1 \right )-y\\ 0&11 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 & 2\\ 4 & 13\\ 2x-4y+z&11 \end{pmatrix}\\&\textrm{k}.&\begin{pmatrix} 5x+3y\\ 1\\ -2\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7\\ 1 \\ 2x+y\\ -3 \end{pmatrix} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui}\: T=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 9x& 2 \end{pmatrix}\: \textrm{jika}: T={T}'\: ,\: \textrm{tentukanlah nilai}\: x\end{array}\\ \begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Diketahui}\: Q={Q}'\: \textrm{dengan}\: Q=\begin{pmatrix} 6 & 4 & x-5y-2\\ 3x+2y & 1 & 7\\ 5 & 7z & 9 \end{pmatrix}\: \\ &\textrm{Tentukanlah nilai dari} \: x,\: y,\: \textrm{dan}\: z \end{array}\\.

Sumber Referensi

  1. Kuntarti, Sulistiyono dan Sri Kurnianingsih. 2007. Matematika  SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: esis.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s