Contoh Soal Program Linear

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tentukanlah sketsa grafik himpunan penyelesaian dari}\: 3x+2y\leq 6 \end{array}.

Jawab:

Sebelumnya untuk memudahkan membuat persamaan garis lurus kita dapat menggunakan aturan berikut

\begin{array}{lllll|llllll}\\ &&&&a&Y&&&&&\\ &ax-by=-ab&&&&&&&&ax+by=ab&\\ &\textcircled{2}&&&&&&&&\textcircled{1}&\\ &&&&&&&&&&X\\\hline -b&&&&O&&&&&&b\\ &&&&&&&&&&\\ &-ax-by=ab&&&&&&&&-ax+by=-ab&\\ &\textcircled{3}&&&&-a&&&&\textcircled{4}& \end{array}.

Sehingga untuk sketsa  3x+2y=6  adalah sebagai berikut

 308

 

dan untuk sketsa himpunan penyelesaian dari  3x+2y\leq 6  adalah sebagai berikut yang ditunjukkan dengan daerah yang berarsir:

308a

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Daerah penyelesaian dari}\: -3< y \leq 5 \: \textrm{adalah}\: ....\end{array}                       .

a.292 b.293 c.294

d.295 e.296

Jawab: E

Untuk lebih komplitnya adalah sebagai berikut:

\begin{array}{ll}\\ a.&-3\leq x\leq 5\\ b.&-3\leq y\leq 5\\ c.&-3< x\leq 5\\ d.&-3\leq x< 5\\ \textcircled{e}.&-3< y\leq 5 \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Daerah yang \textbf{\textit{diarsir}} berikut adalah daerah pertidaksamaan}\: ....\end{array}                       .

309

\begin{array}{ll}\\ a.&3x+4y-12\leq 0\\ b.&3x+4y-12\geq 0\\ c.&3x+4y+12\leq 0\\ d.&3x+4y+12\geq 0\\ e.&4x+3y-12\geq 0 \end{array}.

Jawab: B

Perhatikan gambarnya untuk persamaan garisnya adalah  3x+4y=12.  Lihat penjelasan jawaban pada No. 1 berkaitan membuat persamaan garis lurus. Selanjutnya lihat materi sebelumnya di sini, sehingga kita akan dapat dengan mudah memastikan bahwa daerah yang berarsir adalah milik pertidaksamaan  3x+4y\geq 12  atau  3x+4y-12\geq 0.

Sebagai Penjelas Silahkan amati tebel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Titik dilalui garis}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Garis yang melalui titik tersebut}}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Menentukan daerah arsiran}}\\\hline &\textrm{Garis}&\textrm{Persamaannya garis diperoleh dari}&\textrm{Titik uji}&\textrm{Hasil titik uji}\\\cline{2-5} \begin{aligned}&(0,3)\: \textrm{dan}\: (4,0)\\ &\\ &\begin{cases} (0,3) & \begin{cases} 0=x_{1} \\ 3 = y_{1} \end{cases}\\ & \\ &\\ (4,0) &\begin{cases} 4=x_{2} \\ 0= y_{2} \end{cases} \end{cases} \end{aligned}&3x+4y=12&\begin{aligned}\displaystyle \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}&=\displaystyle \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\ \displaystyle \frac{y-3}{0-3}&=\displaystyle \frac{x-0}{4-0}\\ \displaystyle \frac{y-3}{-3}&=\displaystyle \frac{x}{4}\\ 4y-12&=-3x\\ 3x+4y-12&=0\quad \textbf{atau}\\ 3x+4y&=12 \end{aligned} &\begin{aligned}&\quad (5,5)\\ &\\ &\textrm{Titik ini} \\ &\textrm{di wilayah}\\ &\textrm{Himpunan}\\ &\textrm{Penyelesaian} \end{aligned}&\begin{aligned}3x+4y&=12\\ 3(5)+4(5)&....\: 12\\ 15+20&....\: 12\\ &....\\ 35&\geq 12\\ &....\\ 3x+4y&\geq 12 \end{aligned}\\\cline{4-5} &&&\textrm{Di pilih}&\textrm{Benar}\\\hline\end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Daerah yang \textbf{\textit{tidak diarsir}} berikut adalah daerah pertidaksamaan}\: ....\end{array}.

310

\begin{array}{ll}\\ a.&x+y\geq 1,\: x-y\leq 1,\: 3y-x\leq 3\\ b.&x+y\geq 1,\: x-y\leq 1,\: x-3y\leq 3\\ c.&x+y\geq 1,\: x+y\leq 1,\: 3y-x\leq 3\\ d.&x+y\geq 1,\: x+y\leq 1,\: x-3y\leq 3\\ e.&x+y\geq 1,\: x+y\leq 1,\: 3y+x\leq 3 \end{array}.

Jawab: A

Dengan melihat persamaan garisnya sebenarnya sudah jelas. Sekali lagi perhatikan kembali pola garis di berbagai kuadran sebagaimana pada jawaban soal No.1

\begin{array}{lp{18.0cm}}\\ \fbox{5}.&Seorang pedagang sepatu memiliki modal sebesar Rp8.000.000,00. Pedagang sepatu tersebut hendak membeli 2 jenis sepatu, yaitu jenis sepatu pria dan wanita. Jika harga beli sepatu pria adalah Rp20.000,00 perpasang dan harga perpasang sepatu wanita adalah Rp16.000,00 , dan keuntungan dari penjualan sepatu pria adalah Rp6.000,00 dan sepatu wanita Rp5.000,00 serta mengingat kapasaitas kiosnya hanya dapat menampung sebanyak-banyaknya 450 pasang sepatu, maka model matematika yang sesuai persoalan di atas adalah .... \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{p{19.0cm}}\\ Jika kita misalkan saja sepasang sepatu pria = x dan sepasang sepatu wanita = y,\\ maka persoalan di atas dapat kita sederhanakan sebagai berikut: \end{array}\\\\\\ \begin{array}{|p{2.5cm}|c|c|c|}\hline &\textrm{Sapatu pria}&\textrm{Sepatu wanita}&\textrm{Kapasitas/Modal}\\\hline Banyak&x&y&450\\\hline Harga beli&20000x&16000y&8000000\\\hline Keuntungan&6000x&5000y&\\\hline \end{array}\\\\\\ \textrm{Sehingga model matematikanya dari data di atas adalah}:\\\\ \begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Sistem Kendala}&\textrm{Fungsi Objektif (Sasaran)}\\\hline \begin{cases} x+y\leq 450 & \\ 20000x+16000y\leq 8000000 & \Rightarrow 5x+4y\leq 2000 \\ x\geq 0 & \textrm{dan}\: x,y\in \mathbb{C}\\ y\geq 0 & \end{cases}&\begin{aligned}&f(x,y)=6000x+5000y\\ &\\ &\textrm{di pilih keuntungan yang terbesarnya} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{lp{18.0cm}}\\ \fbox{6}.&Seorang peternak ayam membutuhkan dua jenis pakan ayam tiap harinya. Makanan jenis pertama dalam 1 kg mengandung 9 unit bahan P dan 3 unit bahan Q, sedangkan makanan jenid kedua dalam 1 kg mengandung 3 unit P dan 18 unit Q. Diketahui bahwa setiap harinya tiap 10 ekor ayam membutuhkan minimal 27 unit P dan 30 unit Q dan jumlah makanan jenis pertama dan kedua untuk 10 ekor ayam setiap harinya minimal 5 kg. Jika Makanan jenis pertama Rp1.000/kg dan makanan jenis kedua Rp2.000/kg , maka model matematika untuk persoalan di atas agar biaya pakan ayam jenis pertama dan kedua setiap harinya semurah-murahnya adalah .... \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{p{19.0cm}}\\ Misalkan saja untuk makanan ayam jenis pertama = x dan makanan jenis kedua = y,\\ maka persoalan di atas dapat kita sederhanakan sebagai berikut: \end{array}\\\\\\ \begin{array}{|p{2.3cm}|c|c|c|}\hline &\textrm{Jenis Pertama}&\textrm{Jenis Kedua}&\textrm{Kapasitas/Kebutuhan}\\\hline Banyak pakan ayam tiap hari&x&y&5\\\hline Bahan P&9x&3y&27\\\hline Bahan Q&3x&18y&30\\\hline Biaya&1000x&2000y&\\\hline \end{array}\\\\\\ \textrm{Sehingga model matematikanya dari data di atas adalah}:\\\\ \begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Sistem Kendala}&\textrm{Fungsi Objektif (Sasaran)}\\\hline \begin{cases} x+y\geq 5 & \\ 9x+3y\geq 27 & \Rightarrow 3x+y\geq 9 \\ 3x+18y\geq 30 & \Rightarrow x+6y\geq 10\\ x\geq 0 & \textrm{dan}\: x,y\in \mathbb{R}\\ y\geq 0 & \end{cases}&\begin{aligned}&f(x,y)=1000x+2000y\\ &\\ &\textrm{di pilih yang termurah} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{lp{18.0cm}}\\ \fbox{7}.&Pada Contoh Soal No. 5, tentukanlah keuntungan maksimumnya \end{array}.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut:

313

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y)=6000x+5000y}}\\\hline \textrm{Titik Verteks}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline (400,0)&f(400,0)=6000(400)+5000(0)=2400000&\\\hline (200,250)&f(200,250)=6000(200)+5000(250)=1200000+1250000=2450000&\textbf{Maksimum}\\\hline (0,450)&f(0,450)=6000(0)+5000(450)=2250000&\\\hline \end{array}.

Jadi, supaya pedagang sepatu tersebut mendapat keuntungan maksimum maka yang harus dibeli oleh pedagang tersebut adalah sepatu pria sebanyak 200 pasang sepatu pria dan 250 pasang sepatu wanita.

\begin{array}{lp{18.0cm}}\\ \fbox{8}.&Pada Contoh Soal No. 6, tentukanlah biaya minimumnya \end{array}.

Jawab:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut:

314

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y)=1000x+2000y}}\\\hline \textrm{Titik Verteks}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline (0,9)&f(400,0)=1000(0)+2000(9)=18000&\\\hline (2,3)&f(2,3)=1000(2)+2000(3)=2000+6000=8000&\\\hline (4,1)&f(4,1)=1000(4)+2000(1)=4000+2000=6000&\textbf{Minimum}\\\hline (10,0)&f(10,0)=1000(10)+2000(0)=10000&\\\hline \end{array}.

Jadi, jenis pakan ayam yang diperlukan supaya biaya minimum/seminimal mungkin adalah pakan ayam jenis pertama membuat 4 dan jenis kedua cukup membuat satu saja.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{9}.&\textrm{\textbf{(UMPTN 2001)}Nilai minimum dari} \: \: z=3x+6y \: \: \textrm{yang memenuhi syarat}\\ &\: \begin{cases} 4x+y\geq 20 & \\ x+y\leq 20 & \\ x+y\geq 10 & \\ x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \end{cases}\\ &\textrm{adalah ....}\end{array}.

Jawab:

Sebagai ilustrasi sistem kendala(pertidaksamaan-pertidaksamaan) di atas adalah:

315

\begin{array}{|l|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y) = z = 3x+6y}}\\\hline \textrm{Titik Verteks}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline (0,20)&f(0,20)=3(0)+6(20)=120&\\\hline \left ( \displaystyle \frac{10}{3},\frac{20}{3} \right )&f\left ( \frac{10}{3},\frac{20}{3} \right )=3\left ( \frac{10}{3} \right )+6\left ( \frac{20}{3} \right )=10+40=50&\\\hline (10,0)&f(10,0)=3(10)+6(0)=30&\textbf{Minimum}\\\hline (20,0)&f(20,0)=3(20)+6(0)=60&\\\hline \end{array}.

Catatan:

untuk garis  \begin{cases} x+y=10 & \\ 4x+y=20 & \end{cases}  kita tentukan  titik potongnya SPLDV dan menghasilkan titik potong di  \left ( \displaystyle \frac{10}{3},\frac{20}{3} \right ).

\begin{array}{ll}\\ \fbox{10}.&\textrm{\textbf{(UMPTN 2000)}Tempat parkir seluas}\: \: 600\: m^{2}\: \: \textrm{hanya mampu menampung 58 bus dan mobil}.\\ &\textrm{Tiap mobil membutuhkan}\: \: 6\: m^{2}\: \textrm{dan bus}\: \: 24\: m^{2}.\: \textrm{Biaya parkir tiap mobil Rp500,00dan bus Rp750,00.}\\ &\textrm{Jika tempat parkir penuh, maka hasil dari biaya parkir maksimu adalah ....} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|p{2.5cm}|c|c|c|}\hline &\textrm{Bus}&\textrm{Mobil}&\textrm{Kapasitas/Lahan Parkir }\\\hline Jenis Kendaraan&x&y&58\\\hline Area Parkir kendaran&30x&6y&600\\\hline Biaya Parkir&750x&500y&\\\hline\end{array}.

\textrm{Sehingga model matematikanya dari data di atas adalah}:\\\\ \begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Sistem Kendala}&\textrm{Fungsi Objektif (Sasaran)}\\\hline \begin{cases} x+y\leq 58 & \\ 24x+6y\leq 600 & \Rightarrow 4x+y\leq 100 \\ x\geq 0 & \textrm{dan}\: x,y\in \mathbb{C}\\ y\geq 0 & \end{cases}&\begin{aligned}&f(x,y)=750x+500y\\ &\\ &\textrm{di pilih yang terbesar} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Sebagai ilustrasi

316

Gunakan SPLDV untuk mencari titik potong dari  2 garis  \begin{cases} x+y=58 & \\ 24x+6y=600 & \Rightarrow\: 4x+y=100 \end{cases} yang menghasilkan titik (14 , 44).

\begin{array}{|l|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y) = z = 750x+500y}}\\\hline \textrm{Titik Verteks}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline (0,58)&f(0,58)=750(0)+500(58)=29000&\\\hline (14,44)&f(14,44)=750(14)+500(44)=32500&\textbf{Maksimum}\\\hline (25,0)&f(25,0)=750(25)+500(0)=18750&\\\hline \end{array}.

Jadi, biaya parkir maksimumnya adalah Rp32.500,00

Sumber Referensi.

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  2. Kuntarti, Sulistiyono dan Sri Kurnianingsih. 2007. Matematika  SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: esis.

 

 

 

 

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s