Lanjutan Contoh Soal 5

\fbox{41}. Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH dan pasangan garis sebagai berikut.

\begin{tabular}{lp{4.0cm}lp{4.0cm}}\\ (1)&BH dan AC&(3)&AD dan BC\\ (2)&BC dan EF&(4)&HG dan BD \end{tabular}                                              .

Pasangan garis yang bersilangan adalah ….

\begin{tabular}{lp{4.0cm}lp{4.0cm}}\\ a.&(1),(2), dan (3)&d.&(1),(2), dan (4)\\ b.&(1),(3), dan (4)&e.&semua benar\\ c.&(2),(3), dan (4)&& \end{tabular}       .

Jawab:

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar balok berikut

236

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline No&Hubungan garis&Bersilangan&No&Hubungan Garis&Bersilangan\\\hline (1)&BH dan AC&Ya&(3)&AD dan BC&Tidak\\\hline (2)&BC dan EF&Ya&(4)&HG dan BD&Ya\\\hline \end{tabular}.

\fbox{42}. Diketahui garis g tegak lurus terhadap bidang V dan bidang W membentuk sudut lancip terhadap bidang V. Jika garis s adalah garis potong bidang W terhadap V, maka proyeksi g pada bidang W adalah ….

\begin{tabular}{ll}\\ a.&tegak lurus V\\ b.&tegak lurus s\\ c.&bersilangan dan tegak lurus dengan garis g\\ d.&sejajar V\\ e.&sejajar s \end{tabular} .

Jawab:

Sebagai ilustrasinya perhatikan gambar berikut

237

atau

238

\begin{tabular}{|l|l|l|}\hline No&(Posisi) proyeksi garis g pada bidang W&Keterangan\\\hline a.&tegak lurus V&Tidak\\ b.&tegak lurus s&Ya\\ c.&bersilangan dan tegak lurus dengan garis g&Tidak\\ d.&sejajar V&Tidak\\ e.&sejajar s&Tidak\\\hline \end{tabular}    .

\fbox{43}. Luas bola X tiga kali luas bola Y. Perbandingan volume bola X dan Y adalah ….

\begin{matrix} a. & \sqrt{3}:1 & & & c. & 3\sqrt{3}:1 & & & d. & 9:1\\ & & & & & & & & & \\ b. & 3:1 & & & & & & & e. & 27:1 \end{matrix}          .

Jawab:

\begin{aligned}L_{\bigcirc_{X}}&=3\times L_{\bigcirc _{Y}}\\ 4\pi r_{X}^{2}&=3\times 4\pi r_{Y}^{2}\\ r_{X}^{2}&=3\times r_{Y}^{2}\\ r_{X}&=r_{Y}\sqrt{3}\\ &\textnormal{sehingga untuk perbandingan volumenya adalah:}\\ \displaystyle \frac{V_{\bigodot _{X}}}{V_{\bigodot _{Y}}}&=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3}\pi r_{X}^{3}}{\displaystyle \frac{4}{3}\pi r_{Y}^{3}}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( r_{Y}.\sqrt{3} \right )^{3}}{r_{Y}^{3}}\\ &=\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{1} \end{aligned}                                                             .

\fbox{44}. (UN 2007)Diketahui panjang rusuk sebuah kubus ABCD.EFGH adalah 6\sqrt{3}\: cm . Jarak bidang ACH dan EGB adalah ….

\begin{matrix} a. & 4\sqrt{3}\: cm & & & c. & 4\: cm & & & d. & 6\: cm\\ & & & & & & & & & \\ b. & 2\sqrt{3}\: cm & & & & & & & e. & 12\: cm \end{matrix}    .

Jawab:

Kita buatkan ilustrasinya supaya dapat membantu kita, yaitu

239

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Garis}\: \textrm{pada}\: \textrm{kubus}\: \textrm{ABCD.EFGH}&\textrm{Panjang}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{AB=AE=AD=PQ}&a&\textrm{Satuan}\: \textrm{menyesuaikan}\: (\textrm{di}\: \textrm{sini}\: \textrm{a=}6\sqrt{3}\: \textrm{cm})\\ \cline{2-3} &\textrm{AC}&a\sqrt{2}&\\ \cline{2-3} &\textrm{AG}&a\sqrt{3}&\textbf{Catatan:}\\ \cline{1-3} 2.&\textrm{AQ=EP}=\displaystyle \frac{1}{2}\textrm{AC}=\frac{1}{2}\textrm{EG}& \frac{a}{2}\sqrt{2}&\textrm{(i)}\: \textrm{Luas}\: \textrm{permukaan}\: \textrm{kubus}=6.a^{2}\\ \cline{2-3} &\textrm{AP=DP=CP=BP}&\displaystyle \frac{a}{2}\sqrt{6}&\textrm{(ii)}\: \textrm{Volume}\: \textrm{kubus}=a^{3}\\\hline 3.&\textrm{Jarak}\: \textrm{titik}\: \textrm{H}\: \textrm{ke}\: \textrm{garis}\: \textrm{DP=}&\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{3}&\textrm{Sehingga}\: \textrm{jarak}\: \textrm{bidang}\: \textrm{ACH}\: \textrm{ke}\: \textrm{EGB}\\ &\textrm{jarak}\: \textrm{garis}\: \textrm{DP}\: \textrm{ke}\: \textrm{garis}\: \textrm{QF=}&&=\displaystyle \frac{a}{3}\sqrt{3}=\frac{\left ( 6\sqrt{3} \right )}{3}.\sqrt{3}=6\: \textrm{cm}\\ &\textrm{jarak}\: \textrm{garis}\: \textrm{QF}\: \textrm{ke}\: \textrm{titik}\: \textrm{B}&&\\\hline \end{array}.

\fbox{45}. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2 CG, maka proyeksi CP pada bidang BDP adalah ….

\begin{matrix} a. & 3\sqrt{14}\: cm & & & c. & 8\sqrt{2}\: cm & & & d. & 7\sqrt{2}\: cm\\ & & & & & & & & & \\ b. & 9\sqrt{2}\: cm & & & & & & & e. & 3\sqrt{6}\: cm \end{matrix} .

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi berikut

240

Panjang proyeksi CP pada bidang BDP akan berimpit pada garis PR di mana akan sama panjang dengan garis PQ

Langkah awal kita tentukan panjang PR dulu yaitu:

\begin{aligned}PR^{2}&=PC^{2}+CR^{2}\\ &=(2.sisi)^{2}+\left ( \displaystyle \frac{1}{2}.sisi\sqrt{2} \right )^{2}\\ &=4.sisi^{2}+\displaystyle \frac{2}{4}.sisi^{2}\\ &=\displaystyle \frac{18}{4}.sisi^{2}\\ PR&=\displaystyle \frac{3}{2}.sisi\sqrt{2} \end{aligned}  .

Selanjutnya kita tentukan juga panjang CQ

\begin{aligned}CQ.PR&=PC.CR\\ CQ&=\displaystyle \frac{PC.CR}{PR}\\ CQ&=\displaystyle \frac{\left (2.sisi \right ).\left ( \displaystyle \frac{1}{2}sisi\sqrt{2} \right )}{\displaystyle \frac{3}{2}.sisi\sqrt{2}}\\ CQ&=\displaystyle \frac{2}{3}.sisi \end{aligned}    .

Sebagai langkah akhir kita tinggal menentukan panjang PQ, yaitu:

\begin{aligned}PQ^{2}&=PC^{2}-CQ^{2}\\ &=\left ( 2.sisi \right )^{2}-\left ( \displaystyle \frac{2}{3}.sisi \right )^{2}\\ &=4.sisi^{2}-\displaystyle \frac{4}{9}.sisi^{2}\\ &=\displaystyle \frac{32}{9}.sisi^{2}\\ PQ&=\displaystyle \frac{4}{3}.sisi\sqrt{2}\\ &=\displaystyle \frac{4}{3}.(6).\sqrt{2}\\ &=8\sqrt{2} \end{aligned}.

\fbox{46}. Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 2 cm. Jika  \beta  adalah sudut antara garis CE dengan bidang BDE, maka nilai dari  \cos \beta  adalah ….

\begin{matrix} a. & \displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{3} & & & c. & \displaystyle \frac{2}{7}\sqrt{2} & & & d. & \displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{2}\\ & & & & & & & & & \\ b. & \displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3} & & & & & & & e. & \displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{2} \end{matrix}   .

Jawab:

perhatikan beberapa panjang garis dan dan rusuk kubus ABCD.EFGH pada no.\fbox{44}. Kita buatkan ilustrasi sederhana saja, yaitu:

241

Sehingga

\begin{aligned}\cos \beta &=\displaystyle \frac{EC^{2}+EQ^{2}-CQ^{2}}{2.EC.EQ}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( a\sqrt{3} \right )^{2}+\left (\displaystyle \frac{a}{2}\sqrt{6} \right )^{2}-\left ( \displaystyle \frac{a}{2}\sqrt{2} \right )^{2}}{2.\left ( a\sqrt{3} \right ).\left ( \displaystyle \frac{a}{2}\sqrt{6} \right )}\\ &=\displaystyle \frac{3a^{2}+\displaystyle \frac{6}{4}a^{2}-\displaystyle \frac{2}{4}a^{2}}{a^{2}\sqrt{18}}\\ &=\displaystyle \frac{4a^{2}}{3a^{2}\sqrt{2}}\times \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &=\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{2} \end{aligned}.

\fbox{47}. Diketahui sebuah limas beraturan T.ABCD memiliki panjang rusuk TA = \sqrt{3} , AB = 2 dan sudut antara TA dengan bidang ABCD adalah  \gamma , maka nilai  \tan \gamma = ….

\begin{matrix} a. & \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} & & & c. & \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{2} & & & d. & \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{3}\\ & & & & & & & & & \\ b. & \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} & & & & & & & e. & \displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{5} \end{matrix}    .

Jawab:

242

Perhatikan bahwa AT’ adalah hasil proyeksi dari garis AT pada bidang ABCD, maka

\begin{aligned}\tan \gamma &=\displaystyle \frac{TT'}{AT'}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{AT^{2}-\left ( AT' \right )^{2}}}{AT'}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{AT^{2}-\left ( \displaystyle \frac{1}{2}AC \right )^{2}}}{AT'}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}}{\sqrt{2}}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{3-2}}{\sqrt{2}}\times \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}    .

\fbox{48}. Diberikan bidang empat T.ABC, dengan TA = TB = 5 cm dan TC = 2 cm. Jika CA = CB = 4 cm dan AB = 6 cm serta \alpha  adalah sudut antara TC dengan bidang TAB, maka nilai \cos \alpha ….

\begin{matrix} a. & \displaystyle \frac{15}{16} & & & c. & \displaystyle \frac{11}{16} & & & d. & \displaystyle \frac{9}{16}\\ & & & & & & & & & \\ b. & \displaystyle \frac{13}{16} & & & & & & & e. & \displaystyle \frac{7}{16} \end{matrix}   .

Jawab:

243

Diketahui bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki sehingga CD adalah garis tinggi. Demikian juga untuk segitiga sama kaki TAB sehingga TD adalah garis tinggi juga. Selanjutnya untuk mencari cosinus \alpha  pada segitiga TCD kita tentukan dulu panjang sisi CD dan TD pada segitiga tersebut, lihat ilustrasi gambar di atas.

\begin{aligned}CD^{2}&=CB^{2}-BD^{2}\\ &=4^{2}-3^{2}\\ &=16-9\\ &=7 \end{aligned}\qquad\quad \begin{aligned}TD^{2}&=TB^{2}-BD^{2}\\ &=5^{2}-3^{2}\\ &=25-9\\ &=16\end{aligned}\qquad\quad \begin{aligned}\cos \alpha &=\displaystyle \frac{TC^{2}+TD^{2}-CD^{2}}{2.TC.TD}\\ &=\displaystyle \frac{2^{2}+16-7}{2.2.4}\\ &=\displaystyle \frac{13}{16} \end{aligned}  .

\fbox{49}. Diberikan sebuah limas segienam beraturan T. ABCDEF memiliki panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Jika sudut antara sisi tegak dengan alas adalah   \alpha , maka nilai  \tan \alpha = ….

\begin{matrix} a. & \displaystyle \frac{5}{12}\sqrt{23} & & & c. & \displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{23} & & & d. & \sqrt{23}\\ & & & & & & & & & \\ b. & \displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{23} & & & & & & & e. & 5\sqrt{23} \end{matrix}     .

Jawab: b

Pembahasan diserahkan kepada pembaca yang budiman

\fbox{50}. Diberikan sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ACGE adalah bidang frontal. Jika rusuk kubus sebenarny adalah 6 cm dan perbandingan proyeksinya adalah  1 : 3, maka panjang BD pada gambar adalah ….

\begin{matrix} a. & 4\sqrt{3}\: \textrm{cm} & & & c. & 2\sqrt{2}\: \textrm{cm} & & & d. & 4\: \textrm{cm}\\ & & & & & & & & & \\ b. & 4\sqrt{2}\: \textrm{cm} & & & & & & & e. & 3\: \textrm{cm} \end{matrix}              .

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa pada kubus ABCD.EFGH bidang ACGE adalah frontal(sejajar dengan bidang gambar) perhatikan ilustrasi berikut

244

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Garis}&\textrm{Bidang}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{Frontal}&&\textrm{adalah}\: \textrm{semua}\: \textrm{garis}\: \textrm{yang}\: \textrm{terletak}\: \textrm{pada}\: \textrm{bidang}\: \textrm{frontal}.\\ &&&\textrm{Contoh}\: \textrm{dalam}\: \textrm{hal}\: \textrm{ini:}\\ &&&\textrm{AC},\: \textrm{CG},\: \textrm{GE},\: \textrm{dan}\: \textrm{AE}.\\\hline 2.&&\textrm{Frontal}&\textrm{adalah}\: \textrm{bidang}\: \textrm{yang}\: \textrm{sejajar}\: \textrm{dengan}\: \textrm{bidang}\: \textrm{gambar}.\\ &&&\textrm{Contoh}\: \textrm{dalam}\: \textrm{hal}\: \textrm{ini}: \textrm{ACGE}.\\\hline 3.&\textrm{Orthogonal}&&\textrm{adalah}\: \textrm{garis}\: \textrm{yang}\: \textrm{tegak}\: \textrm{lurus}\: \textrm{dengan}\: \textrm{bidang}\: \textrm{frontal}.\\ &&&\textrm{Contoh}\: \textrm{dalam}\: \textrm{hal}\: \textrm{ini}\: \textrm{adalah}:\: \textrm{BD}\: \textrm{dan}\: \textrm{FH}.\\\hline 4.&&&\textrm{Perbandingan}\: \textrm{proyeksi}\: \textrm{(PP)}\: \textrm{atau}\: \textrm{Perbandingan}\: \textrm{Orthogonal}\: \textrm{adalah:}\\ &&&\textrm{Perbandingan}\: \textrm{antara}\: \textrm{panjang}\: \textrm{garis}\: \textrm{orthogonal}\: \textrm{pada}\: \textrm{gambar}\\ &&&\textrm{dengan}\: \textrm{panjang}\: \textrm{sebenarnya}.\\ &&&\textrm{Sehingga}\: \textrm{pada}\: \textrm{soal}\: \textrm{di}\: \textrm{atas}\: \textrm{adalah:}\\ &&&PP=\displaystyle \frac{BD_{gambar}}{BD_{sesungguhnya}}=\frac{1}{3}\\ &&&BD_{gambar}=\displaystyle \frac{1}{3}\times BD_{sesungguhnya}=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\\hline \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Islam, Muhammad, dkk.___. Matematika untuk SMA Kelas X Semester 2 Pendamping BSE. Solo: CV. HaKa MJ.
  2. Kanginan, Marthen. 2007. Matematika untuk Kelas X Semester 2 Sekolah Menengah Atas. Bandung: GRAFINDO MEDIA PRATAMA.
  3. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  4. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  5. Mutadi. 2008. Matematika Bergelut dengan Si Asyik Matematika. Kudus: PT. LISTAFARISKA PUTRA.
  6. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, Subagya. 2004. Matematika I B untuk SMA Kelas 1. Jakarta: PT Bumi Aksara.
  7. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II.Semarang: CV. Sarana Ilmu.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s