Lanjutan Contoh Soal 4

\fbox{31}. (EBTANAS 2003)Perhatikanlah gambar berikut

227

Persamaan untuk grafik di atas adalah ….

\begin{matrix} a. & y=\displaystyle 2\sin \left ( x-\frac{\pi }{2} \right ) & & & c. & y=\displaystyle 2\sin \left ( x+\frac{\pi }{2} \right ) & & & d. & y=\displaystyle 2\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{2} \right )\\ & & & & & & & & & \\ b. & y=\displaystyle 2\sin \left ( 2x- \frac{\pi }{2}\right ) & & & & & & & e. & y=\displaystyle 2\sin \left ( 2x+\pi \right ) \end{matrix}    .

Jawab:

Dari ilustrasi gambar soal kita mendapatkan beberapa catatan sebagaimana berikut:

\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textrm{No}&\textrm{Nama}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1&\textrm{Nilia}\: \: \textrm{Maksimum}&2\\ \cline{2-3} &\textrm{Nilai}\: \: \textrm{Minimum}&-2\\\hline 2&\textup{Amplitudo(A)}&\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textrm{Nilai}\: \: \textrm{maks}\: -\: \textrm{Nilai}\: \: \textrm{min} \right )\\ \cline{3-3} &&\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 2-(-2) \right )=2\\\hline 3&\textrm{Periode}&\displaystyle \frac{360^{0}}{\left | k \right |}\: \: \: \textrm{atau}\: \: \: \displaystyle \frac{2\pi }{\left | k \right |}\\ \cline{3-3} &&\displaystyle \frac{2\pi }{\left | 1,5\pi -\left ( -0,5\pi \right ) \right |}=\frac{2\pi }{\left | 2\pi \right |}=\frac{2\pi }{2\pi }=1\\\hline 4&\textrm{Titik}\: \: \textrm{Bantu}&\textrm{Saat}\: x=0,\: y=2\\ \cline{3-3} &&\textrm{Misalkan}\: \: y=A\sin \left ( kx\pm \theta \right ),\\ &&\textrm{sehingga}\: \: 2=2\sin \left ( 0+\theta \right )\\ &&\displaystyle \frac{2}{2}=1=\sin\theta \\ &&\sin \theta =1=\sin 90^{0} \\ &&\theta =90^{0}=\displaystyle \frac{\pi }{2}\\\hline 5&y=A\sin \left ( kx\pm \theta \right )&y=2\sin \left ( x+\displaystyle \frac{\pi }{2} \right )\\\hline \end{array}.

\fbox{32}. Jika  \sin ^{2}\alpha =\displaystyle \frac{2x-7}{x+1} , maka nilai  x  yang memenuhi adalah ….

\begin{matrix} a. & -1\leq x\leq 8 & & & c. & \displaystyle 3\frac{1}{2}\leq x\leq 8 & & & d. & x\geq \displaystyle 3\frac{1}{2}\\ & & & & & & & & & \\ b. & 1< x< 8 & & & & & & & e. & x< -1\: \: \textrm{dan}\: \: x\geq \displaystyle 3\frac{1}{2} \end{matrix}  .

Jawab:

\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha &=\displaystyle \frac{2x-7}{x+1}\\ \sin \alpha &=\displaystyle \sqrt{\frac{2x-7}{x+1}},&\textnormal{ingat bahwa rentang nilai fungsi sinus; }-\leq \sin \alpha \leq 1 \\ -1\leq &\displaystyle \sqrt{\frac{2x-7}{x+1}}\leq 1\\ 0\leq &\displaystyle \sqrt{\frac{2x-7}{x+1}}\leq 1,&\textnormal{dikuadratkan}\\ 0\leq &\displaystyle \frac{2x-7}{x+1}\leq 1,&\textnormal{nilai x+1 tidak akan sama dengan nol, karena fungsi sinus}\\ 0&\leq 2x-7\leq x+1\\ (\ast )\qquad\qquad 0&\leq 2x-7\\ x&\geq \displaystyle 3\frac{1}{2}\\ (\ast \ast )\quad 2x-7&\leq x+1\\ x&\leq 8 \end{aligned}.

\fbox{33}. Jika diketahui segitiga ABC dengan AB=4 cm, BC=6 cm, dan AC= 8 cm, maka nilai  \tan \angle ACB….

\begin{matrix} a. & \frac{1}{7}\sqrt{15} & & & c. & \displaystyle \frac{8}{7} & & & d. & \displaystyle \frac{7}{15}\sqrt{15}\\ & & & & & & & & & \\ b. & \displaystyle \frac{7}{8} & & & & & & & e. & \displaystyle \frac{8}{15}\sqrt{15} \end{matrix}  .

Jawab:

Kita buatkan gambar pembantu

221

dengan bantuan aturan cosinus , kita mendapatkan

\begin{aligned}\cos \angle ACB&=\displaystyle \frac{AC^{2}+CB^{2}-AB^{2}}{2AC.CB}\\ &=\displaystyle \frac{8^{2}+6^{2}-4^{2}}{2.8.6}\\ &=\displaystyle \frac{64+36-16}{96}\\ &=\displaystyle \frac{84}{96}\\ \cos \angle ACB&=\displaystyle \frac{7}{8} \end{aligned}      .

Alternatif 1

Gunakan identitas  \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha , sehingga

\begin{aligned}\tan^{2}\angle ACB+1&=\sec ^{2}\angle ACB\\ \tan ^{2}\angle ACB&=\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}\angle ACB}-1\\ &=\displaystyle \frac{1}{\left ( \frac{7}{8} \right )^{2}}-1\\ &=\displaystyle \frac{8^{2}}{7^{2}}-1\\ &=\displaystyle \frac{8^{2}-7^{2}}{7^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{15}{7^{2}}\\ \tan \angle ACB &=\displaystyle \frac{1}{7}\sqrt{15} \end{aligned} .

Alternatif 2

Kita buat segitiga ABC baru dengan salah satu sudutnya adalah siku-siku dengan nilai  \cos \angle ACB=\displaystyle \frac{7}{8}  sebagai berikut

222

Sehingga nilai

\begin{aligned}\tan \angle ACB&=\displaystyle \frac{AB}{AC}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{8^{2}-7^{2}}}{7}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{7}\\ &=\displaystyle \frac{1}{7}\sqrt{15} \end{aligned}  .

Alternatif 3

Gunakan identitas  \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1 , sehingga

\begin{aligned}\sin^{2} \angle ACB+\cos^{2}\angle ACB&=1\\ \sin ^{2}\angle ACB+\displaystyle \left ( \frac{7}{8} \right )^{2}&=1\\ \sin^{2} \angle ACB&=1-\displaystyle \frac{49}{64}\\ \sin ^{2}\angle ACB&=\displaystyle \frac{15}{64}\\ \sin \angle ACB&=\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8} \end{aligned}\qquad\qquad \begin{aligned}\tan \angle ACB&=\displaystyle \frac{\sin \angle ACB}{\cos \angle ACB}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( \frac{\sqrt{15}}{8} \right )}{\left ( \frac{7}{8} \right )}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{7}\\ \tan \angle ACB&=\displaystyle \frac{1}{7}\sqrt{15} \end{aligned}   .

\fbox{34}. Diketahui pada segitiga ABC dengan  \angle A=\displaystyle \frac{1}{3}\pi. Pernyataan berikut yang benar adalah ….

\begin{matrix} a. & a^{2}=b^{2}+c^{2}-2ab & & & c. & a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc & & & d. & a^{2}=b^{2}+c^{2}+bc\\ & & & & & & & & & \\ b. & a^{2}=b^{2}+c^{2}+ab & & & & & & & c. & a^{2}=b^{2}+c^{2}-\displaystyle \frac{1}{2}bc \end{matrix} .

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut

220

Dengan melihat opsi jawaban mengarahkan kita pada aturan cosinus , yaitu:

\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \angle 60^{0}\\ &=b^{2}+c^{2}-2bc\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ &=b^{2}+c^{2}-bc \end{aligned}    .

\fbox{35}. Pada sebuah segitiga ABC diketahui  b=4\sqrt{2}\: \: cm  dan  a=8\: \: cm. Jika  \angle A=45^{0}  maka \angle B =….

\begin{matrix} a. & 30^{0} & & & c. & 55^{0} & & & d. & 60^{0}\\ & & & & & & & & & \\ b. & 45^{0} & & & & & & & e. & 75^{0} \end{matrix}                          .

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut

230

Kita gunakan aturan sinus untuk menyelesaikan soal seperti ini, yaitu:

\begin{aligned}\underbrace{\displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}}&=\frac{c}{\sin \angle C}\\ \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}&=\frac{b}{\sin \angle B}\\ \displaystyle \frac{8}{\sin 45^{0}}&=\frac{4\sqrt{2}}{\sin \angle B}\\ \sin \angle B&=\displaystyle \frac{\not{4}\sqrt{2}}{\not{8}}\times \sin 45^{0}\\ \sin \angle B&=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \sin \angle B&=\displaystyle \frac{1}{2}\\ \sin \angle B&=\sin 30^{0}\\ \angle B&=30^{0} \end{aligned}    .

\fbox{36}. Diketahui Sebuah segitiga ABC siku-siku di A dan sisi miringnya adalah sebesar  5\: \: cm , tentukan panjang sisi pengapit siku-sikunya

Jawab:

Sebagai ilustrasinya adalah sebagai berikut

231

Mungkin kita akan memiliki banyak cara untuk menyelesaikan soal di atas tapi di sini ditekankan untuk penggunaan aturan sinus, yaitu:

\begin{aligned}\displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}&=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}\\ \displaystyle \frac{5}{\sin 90^{0}}&=\frac{b}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \beta }\\ \displaystyle \frac{5}{1}&=\frac{b}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \beta }\begin{cases} & b=5\sin \alpha \\ \\ & c=5\sin \beta \end{cases}\\ \end{aligned} .

\fbox{37}. (EBTANAS 2001)Luas segitiga ABC adalah  \left ( 3+2\sqrt{3} \right )\: cm^{2}. Jika panjang sisi  AB=\left ( 6+4\sqrt{3} \right )\: cm  dan BC = 7 cm, maka nilai  \sin \angle ABC = ….

\begin{matrix} a. & \displaystyle \frac{1}{7} & & & c. & \displaystyle \frac{1}{2} & & & d. & \displaystyle \frac{7}{6+4\sqrt{3}}\\ & & & & & & & & & \\ b. & \displaystyle \frac{4}{7}\sqrt{3} & & & & & & & e. & \displaystyle \frac{7}{3+4\sqrt{3}} \end{matrix}  .

Jawab:

\begin{aligned}L\triangle ABC&=\displaystyle \frac{1}{2}\times AB\times BC\times \sin \angle ABC\\ \left ( 3+2\sqrt{3} \right )&=\displaystyle \frac{1}{2}\times \left ( 6+4\sqrt{3} \right )\times 7\times \sin \angle ABC\\ \sin \angle ABC&=\displaystyle \frac{\left ( 3+2\sqrt{3} \right )\times 2}{\left ( 6+4\sqrt{3} \right )\times 7}\\ \sin \angle ABC&=\displaystyle \frac{1}{7}\times \frac{6+4\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}\\ \sin \angle ABC&=\frac{1}{7} \end{aligned}    .

\fbox{38}. Buktikan bahwa  pada segi empat ABCD berikut

232

berlaku  L_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2}\times AC\times BD\times \sin \angle AEB

Bukti:

Kita buat lagi ilustrasi dengan sedikit tambahan sebagai berikut:

233

\begin{aligned}L\square _{ABCD}&=L\triangle AEB+L\triangle BEC+L\triangle CED+L\triangle DEA\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}.AE.EB.\sin \angle AEB+\frac{1}{2}.BE.EC.\sin \angle BEC+\frac{1}{2}.CE.ED.\sin \angle CED+\frac{1}{2}.DE.EA\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}.EB.\left ( AE+EC \right ).\sin \angle AEB+\frac{1}{2}.ED.\left ( AE+CE \right ).\sin \angle AEB\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}.\left ( BE+ED \right ).\left ( AE+EC \right ).\sin \angle AEB\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}.BD.AC.\sin \angle AEB\qquad \blacksquare \end{aligned}                         .

Sebagai catatan

\begin{cases} \angle AEB &=\angle CED=\theta\qquad\quad\quad \Rightarrow \sin \theta=\sin \angle AEB \\ \angle BEC&=\angle DEA=180^{0}-\theta\quad \Rightarrow \sin \left ( 180^{0}-\theta \right )=\sin \theta=\sin \angle AEB \end{cases} .

\fbox{39}. Perhatikanlah gambar berikut

235

Panjang BC adalah ….

\begin{matrix} a. & p\: \cos \alpha \cos \beta & & & c. & p\: \displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \beta } & & & d. & p\: \displaystyle \frac{\cos \beta }{\sin \alpha }\\ & & & & & & & & & \\ b. & p\: \sin \alpha \cos \beta & & & & & & & e. & p\: \displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \beta } \end{matrix}                .

Jawab:

Alternatif 1

\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Nama}\: \textrm{Garis}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{BD}&\displaystyle \frac{BD}{\sin 90^{0}}=\frac{p}{\sin \alpha }\\ \cline{3-3} &&BD=\displaystyle \frac{p}{\sin \alpha }\\ \cline{3-3} &&\textrm{dan}\: \textrm{juga}\\ &&BD=\displaystyle \frac{AD}{\sin \alpha }\\\hline 2.&\textrm{BC}&BC=BD.\cos \beta \\ \cline{3-3} &&BC=\displaystyle \frac{p}{\sin \alpha }.\cos \beta \\ &&\textrm{atau}\\ &&BC=p\: \displaystyle \frac{\cos \beta }{\sin \alpha }\\\hline \end{array}    .

Alternatif 2

\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Nama}\: \textrm{Garis}&\textrm{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{BD}&\displaystyle \frac{BD}{\sin 90^{0}}=\frac{p}{\sin \alpha }\\ \cline{3-3} &&BD=\displaystyle \frac{p}{\sin \alpha }\\\hline 2.&\textrm{BD}&BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2.BC.CD.\cos 90^{0}\\ \cline{3-3} &&BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}\\\hline 3.&\textrm{CD}&CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2.BC.BD.\cos \beta \\\hline 4.&\textrm{sebagai}&BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}\\ &\textrm{langkah}&BD^{2}=BC^{2}+\underbrace{BC^{2}+BD^{2}-2.BC.BD.\cos \beta }\\ &\textrm{akhir,}&2BC^{2}=2.BC.BD.\cos \beta\\ &\textrm{maka}&BC=BD.\cos \beta \\ &\textrm{BD}&BC=\displaystyle \frac{p}{\sin \alpha }.\cos \beta \\ &\textrm{adalah}&BC=p.\displaystyle \frac{\cos \beta }{\sin \alpha }\\\hline \end{array}   .

\fbox{40}. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang  BC = p  dengan  \angle B=\beta  dan AD tegak lurus BC serta DE tegak lurus AC sebagaimana ilustrasi gambar berikut

234

Panjang DE adalah ….

\begin{matrix} a. & p\: \sin \beta \cos ^{2}\beta & & & c. & p\: \sin ^{2}\beta \cos ^{2}\beta & & & d. & p\: \sin ^{2}\beta \\ & & & & & & & & & \\ b. & p\: \sin ^{2}\beta \cos \beta & & & & & & & e. & p\: \sin \beta \tan \beta \end{matrix}      .

Jawab:

Khusus bentuk bangun segitiga seperti di atas ini berlaku beberapa sifat berikut, yaitu:

AB=p\: \cos \beta \\ AC=p\: \sin \beta \\ BC=p\\ \angle B=\beta \\ AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\: \begin{cases} (1) & \displaystyle \frac{AB^{2}}{BC^{2}}=\frac{AB-DE}{AB} \\\\ (2) & \displaystyle \frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{DE}{AB}\\\\ (3) & \displaystyle \frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{AB-DE}{DE} \end{cases}\\ .

(Bukti diserahkan kepada pembaca)

Selanjutnya untuk mencari panjang DE kita gunakan rumus no. 2, yaitu  DE=\displaystyle \frac{AC^{2}}{BC^{2}}\times AB .

Sehingga panjang DE adalah:

\begin{aligned}DE&=\displaystyle \frac{AC^{2}}{BC^{2}}\times AB\\ &=\displaystyle \frac{\left ( p\: \sin \beta \right )^{2}}{p^{2}}\times p\: \cos \beta \\ &=p\: \sin ^{2}\beta .\cos \beta \end{aligned}      .

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s