Contoh Soal (Logika-Trigonometri-Geometri)

\fbox{1}. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa  p\Rightarrow q\equiv\: \sim p\vee q

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&p\Rightarrow q&\sim p\vee q\\\hline B&B&S&B&B\\\hline B&S&S&S&S\\\hline S&B&B&B&B\\\hline S&S&B&B&B\\\hline \end{array}.

\fbox{2}. Tunjukkan pula dengan tabel kebenaran bahwa  \sim \left ( p\Rightarrow q \right )\equiv p\: \wedge \sim q

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim q&p\Rightarrow q&\sim \left ( p\Rightarrow q \right )&p\: \wedge \sim q\\\hline B&B&S&B&S&S\\\hline B&S&B&S&B&B\\\hline S&B&S&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S\\\hline \end{array}.

Sebagai catatan misalnya kita ingin menunjukkan kebenaran pada soal No.2 tanpa menggunakan tabel dapat  ditunjukkan dengan dengan kebenaran pada No.1 , yaitu:

\begin{aligned}\sim \left ( p\Rightarrow q \right )&\equiv \sim \left ( \sim p\vee q \right )\\ &\equiv p\: \wedge \sim q \end{aligned}.

\fbox{3}. Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa

\begin{array}{ll}\\ a.&\sim p\Rightarrow \left ( q\vee r \right )\equiv\: \sim q\Rightarrow \left ( p\vee r \right )\\ b.&p\Rightarrow \left ( q\vee r \right )\equiv\: \sim r \Rightarrow \left ( p\Rightarrow q \right )\end{array}.

Jawab:

Untuk jawaban  poin a) perhatikan tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&\sim p&\sim q&p\vee r&q\vee r&\sim p\Rightarrow \left ( q\vee r \right )&\sim q\Rightarrow \left ( p\vee r \right )\\\hline B&B&B&S&S&B&B&B&B\\\hline B&B&S&S&S&B&B&B&B\\\hline B&S&B&S&B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&S&B&B&S&B&B\\\hline S&B&B&B&S&B&B&B&B\\\hline S&B&S&B&S&S&B&B&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&S&B&B&S&S&S&S\\\hline \end{array}.

untuk jawaban poin b) perhatikanlah tabel kebenarannya berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&\sim r&q\vee r&p\Rightarrow q&p\Rightarrow \left ( q\vee r \right )&\sim r\Rightarrow \left ( p\Rightarrow q \right )\\\hline B&B&B&S&B&B&B&B\\\hline B&B&S&B&B&B&B&B\\\hline B&S&B&S&B&S&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S&S&S\\\hline S&B&B&S&B&B&B&B\\\hline S&B&S&B&B&B&B&B\\\hline S&S&B&S&B&B&B&B\\\hline S&S&S&B&S&B&B&B\\\hline \end{array}.

Untuk Soal no.3 di atas apabila kita ingin menunjukkannya tanpa menggunakan tabel kebenaran sebagai misal pada poin a) adalah sebagai berikut

\begin{aligned}\sim p\Rightarrow \left ( q\vee r \right )&\equiv\: \sim \left ( \sim p \right )\vee q\vee r\\ &\equiv p\vee q\vee r\\ &\equiv q\vee p\vee r\\ &\equiv \: \sim \left ( \sim q \right )\vee p\vee r\\ &\equiv \: \sim \left ( \sim q \right )\vee \left ( p\vee r \right )\\ &\equiv \: \sim q \Rightarrow \left ( p\vee r \right )\end{aligned}.

\fbox{4}. Tentukanlah  x  agar implikasi  "x^{2}-2x-8< 0\Rightarrow \cos 90^{0}=1"  bernilai benar

Jawab:

Diketahui bahwa \begin{cases} \begin{aligned}p(x):x^{2}-2x-8< 0&,&ada\: & 2\: kemungkinan\left\{\begin{matrix} benar\\ \\ salah \end{matrix}\right.\\\\ dan\quad q:\cos 90^{0}=1&,&salah.& \end{aligned} \end{cases}.

Supaya  implikasi tersebut di atas  p(x)\Rightarrow q  bernilai benar  maka haruslah  x  bukan penyelesaian dari  x^{2}-2x-8< 0. Sehingga

\begin{aligned}x^{2}-2x-8\geq 0&\\ \left ( x+2 \right )\left ( x-4 \right )\geq 0&\\ x\leq -2\quad atau\quad x\geq 4& \end{aligned}\\\\\\ Jadi,\quad harga\: x\: nya\: akan\: berada\: pada\: interval\quad x\leq -2\quad atau\quad x\geq 4.

\fbox{5}. (UMPTN 1994)Diketahui pernyataan-pernyataan  p,q  dan  r .

Pernyataan  \left ( p\Rightarrow q \right )\vee r  bernilai salah jika

\begin{tabular}{ll}\\ a.&\textit{p} benar, \textit{q} benar, dan \textit{r} salah\\ b.&\textit{p} benar, \textit{q} salah, dan \textit{r} salah\\ c.&\textit{p} benar, \textit{q} salah, dan \textit{r} salah\\ d.&\textit{p} salah, \textit{q} salah, dan \textit{r} benar\\ e.&\textit{p} salah, \textit{q} salah, dan \textit{r} salah \end{tabular}.

Jawab:

Suatu disjungsi  "n\vee r"  akan bernilai salah jika pernyataan  n\: dan\: r  bernilai salah. Berkaitan dengan soal di atas, karena pernyataan pertama berupa implikasi maka supaya implikasinya bernilai salah maka pernyaan p  bernilai benar, q bernilai salah dan r juga bernilai salah.

Jadi , pilihan jawaban soal di atas yang tepat adalah opsi C.

\fbox{6}.\: (\textbf{UN\: 2007})\textrm{Diketahui}\: \textrm{pernyataan}:\\ \begin{tabular}{ll}\\ 1.&Jika hari panas, maka Ani memakai topi\\ 2.&Ani tidak memakai topi atau payung\\ 3.&Ani tidak memakai payung \end{tabular}\\\\ \textrm{Kesimpulan}\: \textrm{yang}\: \textrm{sah}\: \textrm{adalah}\: .... \\\\\begin{tabular}{lll}\\ .&a.&Hari panas\\ &b.&Hari tidak panas\\ &c.&Ani memakai topi\\ &d.&Hari panas dan Ani memakai topi\\ &e.&Hari tidak panas dan Ani memakai topi \end{tabular}.

Jawab:

\textrm{Misalkan}\quad \begin{cases} \begin{aligned} \textrm{hari}\: \textrm{panas}&=p\\ \textrm{Ani}\: \textrm{memakai}\: \textrm{topi}&=q\\ \textrm{Ani}\: \textrm{memakai}\: \textrm{payung}&=r\end{aligned} \end{cases}.

\begin{matrix} (1)&p\Rightarrow q\\\\ (2)&\sim q\vee r\\\\ (3)&\sim r \end{matrix}\quad \left\{\begin{matrix} (1)&p\Rightarrow q\\\\ (2)&q\Rightarrow r\\\\ (3)&\sim r \end{matrix}\right.\quad \left\{\begin{matrix} (1)dan(2),&p\Rightarrow r\\\\\\ (3)&\sim r \end{matrix}\right..

____________________________________

\therefore \qquad \sim p.

Jadi kesimpulan yang sah adalah  \sim p=\textrm{hari}\: \textrm{tidak}\: \textrm{hujan}.

\fbox{7}. Dengan induksi matematika buktikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut benar untuk  n\in \mathbb{N}.

\begin{array}{ll}\\ &\textup{a}.\quad n^{3}+2n\:\: \textrm{habis}\: \textup{dibagi}\: 3\\ &\textup{b}.\quad 5^{2n+1}+1\:\: \textrm{habis}\: \textrm{dibagi}\: 6\\ &\textup{c}.\quad 3^{n}\geq \textup{2n+1}\\ &\textup{d}.\quad 1+4+9+...+n^{2}=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &\textup{e}.\quad 1+3+9+...+3^{n-1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 3^{n}-1 \right )\end{array}.

Bukti:

Perhatikanlah tabel berikut sebagai ilustrasinya

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &\multicolumn{3}{c|}{\textrm{Induksi}\qquad \textrm{Matematika}}\\\cline{2-4}\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{No} &\textup{Soal}\quad a)&\textup{Soal}\quad b)&\textup{Soal}\quad c)\\\hline 1&\textup{untuk}\: n=1,\quad \displaystyle \frac{1^{3}+2.1}{3}=1,&\textup{untuk}\: n=1,\quad \displaystyle \frac{5^{2.1+1}+1}{6}=\frac{125+1}{6}=21,&\textup{untuk}\: n=1,\quad 3^{1}\geq 2.1+1,\\ &\textup{adalah}\: \textup{benar}&\textup{adalah}\: \textup{benar}&\textup{adalah}\: \textup{benar}\\\hline 2&\textup{Misal}\: \textup{rumus}\: \textup{berlaku}\: \textup{untuk}\: n=k,&\textup{Misal}\: \textup{rumus}\: \textup{berlaku}\: \textup{untuk}\: n=k,&\textup{Misal}\: \textup{rumus}\: \textup{berlaku}\: \textup{untuk}\: n=k, \\ &\textup{akan}\:\textup{ ditunjukkan}\: \textup{rumus}\: \textup{berlaku}&\textup{akan}\:\textup{ ditunjukkan}\: \textup{rumus}\: \textup{berlaku}&\textup{akan}\:\textup{ ditunjukkan}\: \textup{rumus}\: \textup{berlaku} \\ &\textup{untuk}\: n=k+1,\: \textup{yaitu}:&\textup{untuk}\: n=k+1,\: \textup{yaitu}:&\textup{untuk}\: n=k+1,\: \textup{yaitu}: \\ &\vdots &\vdots &\vdots \\ &\textup{lihat}\: \textup{uraian}\: \textup{berikutnya}&\textup{lihat}\: \textup{uraian}\: \textup{berikutnya}&\textup{lihat}\: \textup{uraian}\: \textup{berikutnya}\\ &\vdots &\vdots &\vdots \\ &\textup{ruas}\: \textup{kiri}=\: ruas\: \: kanan&\textup{ruas}\: \textup{kiri}=\: ruas\: \: kanan&\textup{ruas}\: \textup{kiri}=\: ruas\: \: kanan\\\hline 3&\textup{Kesimpulan}\: \cdots &\textup{Kesimpulan}\: \cdots&\textup{Kesimpulan}\: \cdots\\\hline \end{array}.

\textup{Tambahan}\: \textup{penjelasan}\: \textup{untuk}\: \textup{bagian}\: \: a)\\\\ \begin{aligned}(k+1)^{3}+2(k+1)&=k^{3}+3k^{2}+3k+1+2k+2\\ &=\left ( k^{3}+2k \right )+3k^{2}+3k+3&&&\textup{misalkan}\: \: k^{3}+2k=3m\\ &=3m+3\left ( k^{2}+k+1 \right )&\textup{jelas}&&\textup{bahwa}\:\: \textup{hal}\:\: \textup{ini}\: \: \textup{kelipatan}\: \: 3\\ &\qquad \textup{sehingga}\\ &=3\left ( m+k^{2}+k+1 \right )\\ &\qquad \textup{Jadi}\: \textup{rumus}\: \textup{berlaku}\: \textup{untuk}\: \: n=k+1 \end{aligned}\\\\\\ \textup{Sehingga}\: \textup{pernyataan}\: n^{3}+2n\: \textup{habis}\: \textup{dibagi}\: 3\: \textup{untuk}\: n\in \mathbb{N}\: \textup{adalah}\: \textbf{benar}..

\textup{Tambahan}\: \textup{penjelasan}\: \textup{untuk}\: \textup{bagian}\: \: b)\\\\ \begin{aligned}5^{2(k+1)+1}+1&=5^{2k}5^{2}5^{1}+1\\ &=125.5^{2k}+1\\ &=(120+5).5^{2k}+1\\ &=120.5^{2k}+5.5^{2k}+1\\ &=120.5^{2k}+5^{2k+1}+1&\textup{ingat}&&\textup{bahwa}&&5^{2k+1}+1=6m,\quad \textup{kelipatan}\: 6\\ &=120.5^{2k}+6m\\ &=6\left ( 20.5^{2k}+m \right )\\ &\qquad \textup{Jadi}\: \: \textup{berlaku}\: \: \textup{juga}\: \textup{untuk}\: n=k+1 \end{aligned}\\\\\\ \textup{Sehingga}\: \textup{pernyataan}\: 5^{2n+1}+1\: \textup{habis}\: \textup{dibagi}\: 6\: \textup{untuk}\: n\in \mathbb{N}\: \textup{adalah}\: \textbf{benar}..

\textup{Tambahan}\: \textup{penjelasan}\: \textup{untuk}\: \textup{bagian}\: \: c)\\\\ \begin{aligned}3^{k+1}&= 3^{n}.3=3.3^{k}\\ &\geq 3.(2k+1)\\ &=6k+3\\ &=2(k+1)+1+4k\\ &\geq 2(k+1)+1\\ &\qquad \textup{Jadi}\: \: \textup{berlaku}\: \: \textup{juga}\: \textup{untuk}\: n=k+1 \end{aligned}\\\\\\ \textup{Sehingga}\: \textup{pernyataan}\: 3^{n}\geq 2n+1\: \: \textup{untuk}\: n\in \mathbb{N}\: \textup{adalah}\: \textbf{benar}.

untuk  7d)  dan   7e)  silahkan dikerjakan sendiri sebagai latihan

\fbox{8}. Buktikan bahwa jika x,y\in \mathbb{R}  dan tidak sama dengan nol  tunjukkan bahwa

\left ( x\cos \alpha +y\sin \alpha \right )^{2}+\left ( x\sin \alpha -y\cos \alpha \right )^{2}=x^{2}+y^{2}

Bukti:

\begin{aligned}\left ( x\cos \alpha +y\sin \alpha \right )^{2}+\left ( x\sin \alpha -y\cos \alpha \right )^{2}&=x^{2}\cos ^{2}\alpha +y^{2}\sin ^{2}\alpha +xy\sin \alpha \cos \alpha +x^{2}\sin ^{2}\alpha +y^{2}\cos ^{2}\alpha -xy\sin \alpha \cos \alpha \\ &=x^{2}\left ( \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right )+y^{2}\left ( \sin ^{2}+\cos ^{2}\alpha \right )+0,\quad\qquad \textrm{karena}\quad \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\ &=x^{2}+y^{2}\qquad \blacksquare \end{aligned}.

\fbox{9}. Buktikan juga bahwa untuk  \sec \gamma -\tan \gamma =m, maka \displaystyle \sec \gamma =\frac{m^{2}+1}{2m},\: \textrm{dan}\: \tan \gamma =\frac{1-m^{2}}{2m}.

Bukti:

\begin{aligned}\sec \gamma -\tan \gamma &=m\\ \sec \gamma &=m+\tan \gamma ,&\textnormal{dikuadratkan masing-masing ruas, sehingga}\\ \sec ^{2}\gamma &= m^{2}+2m\tan \gamma +\tan ^{2}\gamma ,&\textnormal{ingat juga}\qquad \sec ^{2}\gamma =1+\tan ^{2}\gamma\\ 1+\not{\tan ^{2}\gamma} &=m^{2}+2m\tan \gamma +\not{\tan ^{2}\gamma} \\ 1-m^{2}&=2m\tan \gamma \\ \displaystyle \frac{1-m^{2}}{2m}&=\tan \gamma,&\textnormal{atau}\\ \displaystyle \tan \gamma &=\frac{1-m^{2}}{2m}\\ \textnormal{dengan cara yang sama kita akan memperoleh juga}&\\ -\tan \gamma &=m-\sec \gamma ,&\textnormal{dikuadratkan masing-masing ruas}\\ \left ( -\tan \gamma \right )^{2}&=\left ( m-\sec \gamma \right )^{2}\\ \tan ^{2}\gamma &=m^{2}-2m\sec \gamma +\sec ^{2}\alpha \\ \not{\sec ^{2}\gamma} -1&=m^{2}-2m\sec \gamma +\not{\sec ^{2}\gamma} \\ 2m\sec \gamma &=m^{2}+1\\ \displaystyle \sec \gamma &=\frac{m^{2}+1}{2m}\quad \blacksquare \end{aligned}.

\fbox{10}. Buktikan bahwa luas sebuah segitiga ABC adalah  \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad \textrm{dengan}\: \: \displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c)

Bukti:

\begin{aligned}\displaystyle \textrm{L}{\bigtriangleup }\textrm{ABC}&=\frac{1}{2}bc\sin\angle A\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sqrt{\sin ^{2}\angle A}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}\left ( \sin ^{2}\angle A \right )}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}\left ( 1-\cos ^{2}\angle A \right )},&\textnormal{ingat bahwa};\: \cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}\left ( 1-\left ( \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right )^{2} \right )}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}-\left ( \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2} \right )^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4b^{2}c^{2}-\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )^{2}}{4}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\left ( 2bc \right )^{2}-\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{\left ( 2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )\left (2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2} \right )}\\ &=\frac{1}{4}\sqrt{\left \{ \left ( b+c \right )^{2}-a^{2} \right \}\left \{ a^{2}-\left ( b-c \right )^{2} \right \}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{\left ( b+c+a \right )\left ( b+c-a \right )\left ( a+b-c \right )\left ( a-b+c \right )},&\textnormal{dengan mengingat bahwa}\: 2s=a+b+c\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}.\sqrt{16.s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}.4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ \textrm{L}\bigtriangleup \textrm{ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad \blacksquare \end{aligned}.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s