Trigonometri

A. Tentang Sudut

Sudut adalah pertemuan atau perpotongan 2 buah garis/sinar atau bangun yang dibentuk oleh dua garis yang yang berpotongan di sekitar titik potongnya.

Untuk ukuran sudut, kita mengenal ada beberapa macam, yaitu: derajat, radian, gone/grade.

\begin{array}{|c|}\hline 1\: keliling\bigcirc =360^{0}=2\pi \: radian=400^{g}\\\hline atau\\\hline \frac{1}{2}\: keliling\bigcirc =180^{0}=\pi \: radian=200^{9}\\\hline \end{array}.

Perhatikan ilustrasi berikut

149

 Selanjutnya yang sering dikenalkan adalah sudut dalam ukuran derajat dan radian.

Sebagai catatan:

Ukuran derajat yang diubah ke menit atau detik yang selanjutnya disebut  dengan sistem seksagesimal, yaitu:

1 derajat = 60 menit = 3600 detik, atau

\begin{array}{|c|}\hline 1^{\circ}={60}'={3600}''\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. 1^{0}=....rad.

2. 1\: radian=....^{0}

3. Jadikanlah sudut 53,24^{0}  dalam seksagesimal!

4. Jadikanlah sudut  23^{0}{12}'{24}'' dalam satuan derajat!

Jawab:

1.  Perhatikanlah

\begin{aligned}360^{0}&=2\pi \: rad\\ 360\times 1^{0}&=2\pi \: rad\\ 1^{0}&=\frac{2\pi }{360}\\ &=\frac{\pi }{180}\: rad \end{aligned}.

Kadang dituliskan untuk  \pi \approx \frac{22}{7}\approx 3,14, tinggal kita masukkan saja sebagai ganti pi di atas.

2. Dengan cara mirip dengan no.1, yaitu

\begin{aligned}2\pi \: rad&=360^{0}\\ 2\pi \times 1\: rad&=360^{0}\\ 1\: rad&=\left ( \frac{360}{2\pi } \right )^{0}\\ &=\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{0} \end{aligned}.

3. Kita ingin menjadikan sudut dari ukuran derajat yang mengandung desimal ke seksagesimal.

Perhatikan langkahnya

\begin{aligned}53,24^{0}&=53^{0}+0,24^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times 1^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times {60}'\\ &=53^{0}+{14,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+{0,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {1}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {60}''\\ &=53^{0}+{14}'+{24}''\\ 53,24^{0}&=53^{0}{14}'{24}'' \end{aligned}.

4. Dengan cara yang kurang lebih sama, yaitu

\begin{aligned}23^{0}{12}'{24}''&=23^{0}+12\times {1}'+24\times {1}''\\ &=23^{0}+12\times \left ( \frac{1}{60} \right )^{0}+24\times \left ( \frac{1}{3600} \right )^{0}\\ &=23^{0}+0,2^{0}+0,00\overline{666}^{0}\\ &=23,20\overline{666}^{0}\end{aligned}.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}.

\begin{array}{cl}\\ 1.&27^{0}=.....rad\\ 2.&28\: rad=....^{0}\\ 3.&29,35^{0}=...^{0}{...}'{...}''\\ 4.&30^{0}{24}'{12}''=....^{0} \end{array}.

B. Perbandingan Sudut dalam Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

150

\begin{matrix} \sin \alpha =\frac{BC}{AB}\\\\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB}\\\\ \tan \alpha =\frac{BC}{AC}\\\\ \csc \alpha =\frac{AB}{BC}\\\\ \sec \alpha =\frac{AB}{AC}\\\\ \cot \alpha =\frac{AC}{BC} \end{matrix}.

Untuk Perbandingan Sudut istimewa amati tabel berikut, khususnya sudut 0^{0},30^{0},45^{0},60^{0},90^{0},180^{0}.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha ^{0}&0^{0}&15^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&75^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha ^{0}&0&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha ^{0}&1&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha ^{0}&0&2-\sqrt{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}.

Karena pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras, maka ada baiknya kita ingat-ingat tripel Pythagoras di sini yang sering digunakan/dimunculkan .

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Tentukanlah nilai perbandingan \sin \alpha ,\: \cos \alpha , \tan \alpha  untuk segitiga berikut

152

Jawab:

(a) Untuk sisi miringnya adalah

\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{9+16}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{aligned},

\sin \alpha =\frac{3}{5},\quad \cos \alpha =\frac{4}{5}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{3}{4}.

(b) Dengan langkah sebagaimana pada langkah (a), kita mendapatkan

\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{5^{2}+12^{2}}\\ &=\sqrt{25+144}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13 \end{aligned},

\sin \alpha =\frac{12}{13},\quad \cos \alpha =\frac{5}{13}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{12}{5}.

2. Hitunglah nilai dari

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{2} \right ).\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{3} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =\left ( \sqrt{3} \right )^{2}+4\left ( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =3+3\\ &&&=6 \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{5}{6}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{3} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}}\\ &&&=\displaystyle 3+\frac{1}{3}\sqrt{3} \end{array}.

 \begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{2\times \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+\left ( \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )^{2}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{\frac{4}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{array}.

3. Perhatikan ilustrasi berikut

153

Jika Jarak antara kucing seorang pencatat dan kucing adalah 100 m, maka jarak Pencatat tersebut dengan seorang tentara sebagaimana gambar tersebut di atas adalah?

Jawab:

Perhatikan gambar di atas dengan diberikan tambahan keterangan sebagai berikut

154

Ditanya berpakah  panjang jarak  \left ( x+100 \right )\: meter ?

\begin{aligned}y&=y\\ x.\tan 60^{0}&=\left ( x+100 \right ).\tan 30^{0}\\ x.\sqrt{3}&=\left ( x+100 \right )\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ 3x&=x+100\\ 2x&=100\\ x&=50 \end{aligned}.

Jadi  x+100=50+100=150  meter.

4. Tentukanlah perbandingan trigonometri  \angle XOA  jika A(3,5).

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut

155

 Dengan memandang ilustrasi gambar di atas kita mendapatkan  \triangle OAA', dengan menggunakan teorema pythagoras kita mendapatkan

\begin{aligned}OA^{2}&=\left ( OA' \right )^{2}+\left ( AA' \right )^{2}\\ &=3^{2}+5^{2}\\ &=9+25\\ &=34\\ OA&=\sqrt{34} \end{aligned}.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \sin A'OA=\frac{5}{\sqrt{34}}=\frac{5}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&b.&\displaystyle \cos A'OA=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&c.&\displaystyle \tan A'OA=\frac{5}{3}\\ \\ &&d.&\csc A'OA,\quad \sec A'OA,\quad \cot A'OA\quad silahkan\: \: coba\: \: sendiri\: \: sebagai\: \: latihan \end{array}.

C. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub/Polar

Perhatikanlah ilustrasi berikut

161

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{Koordinat}\\\hline Kartesius\: \rightarrow \: Kutub&Kutub\: \rightarrow \: Kartesius\\\hline P(x,y)\: \rightarrow \: P\left ( r,\alpha ^{0} \right )&P\left ( r,\alpha ^{0} \right )\: \rightarrow \: P(x,y)\\\hline r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \displaystyle \tan \alpha ^{0}=\frac{y}{x},\quad \displaystyle \alpha ^{0}=\arctan \frac{y}{x}&\left\{\begin{matrix} x=r.\cos \alpha ^{0}\\ \\ y=r.\sin \alpha ^{0} \end{matrix}\right.\\\hline \end{array}.

D. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

\begin{array}{llll}\\ &&(1).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 90^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 90^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cot \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 90^{0}-\theta \right )=\tan \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(2).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(3).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}+\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}+\theta \right )=\cot \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(4).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 360^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 360^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}.

Perhatikan ilustrasi berikut

1

[Sumber]

Untuk sudut  \alpha > 360^{0}.

\begin{array}{llll}\\ &&(5).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ \end{array}.

Perbandingan trigonometri untuk sudut negatif

\begin{array}{llll}\\ &&(6).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \left ( -\alpha \right ) = -\sin \alpha \\ &&&b.\quad \cos \left ( -\alpha \right ) =\cos \alpha \\ &&&c.\quad \tan \left ( -\alpha \right ) =-\tan \alpha \\ &&&d.\quad \csc \left ( -\alpha \right ) =-\csc \alpha \\ &&&e.\quad \sec \left ( -\alpha \right ) =\sec \alpha \\ &&&f.\quad \cot \left ( -\alpha \right ) =-\cot \alpha \end{array}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

1. Tanpa menggunakan tabel/kalkulator tentukanlah nilai  \sin \alpha ,\: \cos \alpha \: dan\: \tan \alpha jika diketahui  \alpha =.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&120^{0}\qquad b.\: 240^{0}\qquad c.\: 300^{0}\qquad d.\: 1125^{0} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&(a).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 120^{0}\\ &&&1.\quad \sin 120^{0} = \sin \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=\sin 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 120^{0} =\cos \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 120^{0} =\tan \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(b).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 240^{0}\\ &&&1.\quad \sin 240^{0} = \sin \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 240^{0} =\cos \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 240^{0} =\tan \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=\tan 60^{0}=\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(c).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 300^{0}\\ &&&1.\quad \sin 300^{0} = \sin \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 300^{0} =\cos \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=\cos 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 300^{0} =\tan \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(d).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 1125^{0}\\ &&&1.\quad \sin 1125^{0} = \sin \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\sin 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&2.\quad \cos 1125^{0} =\cos \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\cos 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&3.\quad \tan 1125^{0} =\tan \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\tan 45^{0}=1 \\ \end{array}.

2. Tunjukkan bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )}=-\csc \alpha \\\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}=-\cos ^{2}\alpha \\\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}=\sec 9^{0}\\\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}=0 \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{-\sec \alpha }{\tan \alpha }=\frac{-\frac{1}{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-\frac{1}{\sin \alpha }=-\csc \alpha \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{\cos \alpha }{-\sec \alpha }=\frac{\cos \alpha }{-\frac{1}{\cos \alpha }}=-\cos ^{2}\alpha \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{-\cot 81^{0}}{-\cos 18^{0}}\times \frac{\cos \left ( 360^{0}+18^{0} \right ) }{\cos 81^{0}}= \frac{\frac{\cos 81^{0}}{\sin 81^{0}}}{\cos 81^{0}}=\frac{1}{\sin 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{\sin \left ( 90^{0}-9^{0} \right )}=\frac{1}{\cos 9^{0}}=\sec 9^{0} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}\\ &&&=\tan 71^{0}+\tan \left ( 360^{0}-71^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}-19^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}+19^{0} \right )\\ &&&=\tan 71^{0}-\tan 71^{0}-\tan 19^{0}+\tan 19^{0}\\ &&&=0 \end{array}.

3. Diketahui koordinat kutub titik M adalah  M\left ( 8,60^{0} \right ) , maka koordinat kartesiusnya adalah….

Jawab:

Diketahui\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( x,y \right ).....?\\\\ M\left ( 8,60^{0} \right )\left\{\begin{matrix} r=8\\ \\ \alpha ^{0}=60^{0} \end{matrix}\right.\\\\ \begin{aligned}M\left ( 8,60^{0} \right )&\Rightarrow \\ x&=r.\cos \alpha ^{0} &=8.\cos 60^{0} &=8.\left ( \frac{1}{2} \right ) &=4\\ y&=r.\sin \alpha ^{0} &=8.\sin 60^{0} &=8.\frac{1}{2}\sqrt{3} &=4\sqrt{3} \end{aligned}\\\\ Jadi\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( 4,4\sqrt{3} \right ).

E. Identitas Trigonometri

\begin{array}{llll}\\ &&1.&\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\\\ &&2.&\sec ^{2}\alpha -\tan ^{2}\alpha =1\\\\ &&3.&\csc ^{2}\alpha -\cot ^{2}\alpha =1\\\\ &&4.&\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\cot \alpha }\\\\ &&5.&\displaystyle \csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }\\\\ &&6.&\displaystyle \sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha } \end{array}.

F. Fungsi Trigonometri

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut untuk grafik fungsi sinus dan cosinus

159

[Sumber]

Untuk fungsi tangen,

160

[sumber]

Fungsi Sinus ,   f(x)= sin x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \end{array}.

Fungsi Cosinus ,  f(x)=cos x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1\\\hline \end{array}.

Fungsi Tangen ,  f(x)=tan x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0\\\hline \end{array}.

Untuk :

f(x)=\left\{\begin{matrix} a\: \sin k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \cos k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \tan k\left ( x\pm \theta \right )\pm c \end{matrix}\right..

Periode\quad fungsi=\left\{\begin{matrix} \sin \: atau\: \cos=\displaystyle \frac{360^{0}}{\left | k \right |}\\ \\ \tan \: atau\: \cot =\displaystyle \frac{180^{0}}{\left | k \right |} \end{matrix}\right..

nilai\quad fungsi\quad \sin\: atau\: \cos=\left\{\begin{matrix} f(x)_{max}=\left | a \right |\pm c\\ \\ f(x)_{min}=-\left | a \right |\pm c \end{matrix}\right..

Amplitudo=\frac{1}{2}\left ( f(x)_{mak}-f(x)_{min} \right ).

G. Persamaan Trigonometri Sederhana

\begin{array}{lllll}\\ &&1.&&Jika\quad \sin x^{0}=\sin \alpha ,\quad maka\\ &&&&(i)\quad x^{0}=\alpha +k.360^{0}\\ &&&&(ii)\quad x^{0}=\left ( 180^{0}-\alpha \right )+k.360^{0}\\\\ &&2.&&Jika\quad \cos x^{0}=\cos \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\pm \alpha +k.360^{0}\\\\ &&3.&&Jika\quad \tan x^{0}=\tan \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\alpha +k.180^{0} \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

1. Buktikan bahwa  \displaystyle \frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }.

Bukti:

\begin{aligned}\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }&=\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }\times \frac{1-\sin \alpha }{1-\sin \alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{1-\sin ^{2}\alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{\cos ^{2}\alpha }\\ &=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }\quad (\mathbf{Terbukti}) \end{aligned}.

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan  \displaystyle \cos \left ( 3x-45^{0} \right )=-\frac{1}{2}\sqrt{2},\quad untuk\quad 0^{0}\leq x\leq 360^{0}.

Jawab:

\begin{aligned}\cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=\cos 135^{0}\\ 3x-45^{0}&=\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ 3x&=45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ x&=\displaystyle \frac{45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}}{3}\\ x&=15^{0}\pm 45^{0}+k.120^{0}\\ x&=60^{0}+k.120^{0}\qquad atau\qquad x=-30^{0}+k.120^{0}\\ k=0,\qquad \rightarrow x&=60^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=90^{0}\\ k=1,\qquad \rightarrow x&=180^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=210^{0}\\ k=2,\qquad \rightarrow x&=300^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=330^{0} \end{aligned}.

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah  =  \left \{ 60^{0}, 90^{0}, 180^{0}, 210^{0}, 300^{0},330^{0} \right \}.

3. Lukislah grafik fungsi  \displaystyle f(x)=2\left | \sin x \right |+1,\qquad untuk\quad 0\leq x\leq 2\pi ..

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline \sin x&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \left | \sin x \right |&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0\\\hline 2\left | \sin x \right |&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0\\\hline 2\left | \sin x \right |+1&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1\\\hline \end{array}.

Untuk gambar silahkan pembaca melukiskannya sendiri sebagai latihan.

H. Aturan Sinus, Kosinus,  dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

166

\begin{array}{|c|}\hline \displaystyle \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\\\hline \end{array}.

2. Aturan Kosinus

\begin{aligned}\cos A&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ \cos B&=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\ \cos C&=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{aligned}.

3. Luas Segitiga

167

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{1}{2}.bc.\sin A\\ &=\frac{1}{2}.ac.\sin B\\ &=\frac{1}{2}.ab.\sin C \end{aligned}.

atau

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{a^{2}.\sin B.\sin C}{2\sin A}\\ &=\frac{b^{2}.\sin A.\sin C}{2\sin B}\\ &=\frac{c^{2}.\sin A.\sin B}{2\sin C} \end{aligned}.

atau

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}\qquad dengan\qquad s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right ) \end{aligned}.

\begin{tabular}{|p{6.0cm}cp{6.0cm}|}\hline &\textbf{Contoh Soal}&\\\hline \end{tabular}.

1. Diketahui  \triangle ABC dengan panjang sisi AC=10 cm dan BC=16 cm serta luas \triangle ABC=40\: cm^{2}  , maka  besar  \angle ACB  jika  sudutnya lancip adalah …

Jawab:

Diketahui  \left\{\begin{matrix} AC=10\: cm\\ BC=16\: cm\\ L_{\triangle }=40\: cm^{2} \end{matrix}\right., maka

\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \angle ACB\\ 40&=\frac{1}{2}.10.16.\sin \angle ACB\\ 40&=80.\sin \angle ACB\\ \frac{40}{80}&=\sin \angle ACB\\ \sin \angle ACB&=\frac{1}{2}\\ \sin \angle ACB&=\sin 30^{0}\\ \angle ACB&=30^{0} \end{aligned}.

2. Perhatikanlah gambar berikut

168

Jika  AB+3=BC+2=CD+1=AD=4\: cm, maka  \cos \angle BAD adalah ….

Jawab:

Perhatikan kembali ilustrasi berikut

169

Langkah awal kita gunakan garis bantu BD untuk nantinya kita mendapatkan nilai cos dari sudut A, yaitu

\begin{aligned}BD^{2}&=BA^{2}+DA^{2}-2.BA.DA.\cos \angle A\\ &=1^{2}+4^{2}-2.1.4.\cos \angle A\\ &=17-8\cos \angle A\\ BD^{2}&=BC^{2}+DC^{2}-2.BC.DC.\cos \angle C\\ &=2^{2}+3^{2}-2.2.3.\cos \angle C\\ &=13-12\cos \angle C \end{aligned}\\\\ Perlu\quad diketahui\quad bahwa \angle A+\angle C=\angle B+\angle C=180^{0},\qquad karena\quad ABCD\quad segiempat\quad talibusur\\\\ Sehingga,\\\\ \angle C=180^{0}-\angle A.

Selanjutnya,

\begin{aligned}BD^{2}&=BD^{2}\\ 17-8\cos \angle A&=13-12\cos \angle C\\ 12\cos \angle C-8\cos \angle A&=13-17\\ 12\left ( \cos \left ( 180^{0}-\angle A \right ) \right )-8\cos \angle A&=-4\\ 12\left ( -\cos \angle A \right )-8\cos \angle A&=-4\\ -12\cos \angle A-8\cos \angle A&=-4\\ -20\cos \angle A&=-4\\ \cos \angle A&=\frac{-4}{-20}\\ \cos \angle A&=\frac{1}{5} \end{aligned}.

3. Carilah luas  \triangle ABC jika diketahui  AB=10 cm, AC=14 cm dan BC=16 cm.

Jawab:

Diketahui\:\: bahwa\:\: L_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad dengan s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\quad \left\{\begin{matrix} AB=c=10\: cm\\ AC=b=14\: cm\\ BC=a=16\: cm \end{matrix}\right.\\\\ s=\frac{1}{2}\left ( 10+14+16 \right )=\frac{1}{2}.40=20\\\\ \begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\sqrt{20.\left ( 20-10 \right ).\left ( 20-14 \right ).\left ( 20-10 \right )}.\\ &=\sqrt{20(10)(6)(4)}\\ &=\sqrt{4800}\\ &=40\sqrt{3}\quad cm^{2} \end{aligned}.

\LARGE \fbox{\LARGE \fbox{Latihan Soal}}.

1. Perhatikanlah  gambar berikut

170

Tentukanlah nilai  \cos \angle RSP.

2. Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

171

Carilah besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga di atas, kemudian cari pula luasnya?

3. (EBTANAS 2001) Diketahui luas segitiga ABC adalah  \left ( 3+2\sqrt{3} \right )\: cm^{2} . Jika panjang sisi  AB=\left ( 6+4\sqrt{3} \right )\: cm  dan  BC=7 cm, maka nilai  \sin \angle ABC = ….

4. Diketahui seorang penerjun hendak mendarat secara vertikal sebagaimana ilustrasi berikut

172

Carilah  harga x ?

5. Jika pada jajargenjang ABCD, dua diagonal panjangnya masing-masing 12 cm dan 16 cm dan sudut apitnya adalah  60^{0}  , maka luas jajargenjang tersebut adalah ….

6. Diketahui  y=1+\cos 2x,\quad dengan\quad 0\leq x\leq 2\pi, carilah

\begin{tabular}{lcp{8.0cm}}\\ &a.&nilai maksimum dan minimum fungsi,\\ &b.&amplitudo, dan\\ &c.&gambarlah sketsa grafiknya \end{tabular}.

7. Buktikanlah bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\sin ^{2}x-\sin ^{2}x.\cos ^{2}x=\sin ^{4}x\\ &&b.&\tan x.\sin x+\cos x=\sec x\\ &&c.&\sin ^{4}x-\cos ^{4}x=\sin ^{2}x-\cos ^{2}x\\ &&d.&\left ( \cos x+\sin x \right )\left ( \cos x-\sin x \right )=1-2\sin ^{2}x\\ &&e.&\left ( 1+\tan ^{2}x \right )\left ( 1-\cos ^{2}x \right )=\tan ^{2}x\\ &&f.&\sqrt{1+2\sin x.\cos x}=\sin x+\cos x\\ &&g.&\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\cos x.\sin x}\\ &&h.&\displaystyle \frac{\cos x}{1-\tan x}+\frac{\sin x}{1-\cot x}=\cos x+\sin x\\ &&i.&\displaystyle \left ( \frac{\tan x-1}{\tan x+1} \right )\left ( \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \right )=1 \end{array}.

Daftar Pustaka

  1. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Sobirin. 2005. Kompas Matematika (Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika) SMA Kelas 1. Depok: Kawan Pustaka.
  4. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II. Semarang: CV. Sarana Ilmu.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s