Logika Matematika (KTSP)

\LARGE\fbox{Kelas X}

kurikulum 2006

1. LOGIKA MATEMATIKA

1.1. Pernyataan, Bukan Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Nilai Kebenaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Kalimat=\left\{\begin{matrix} Berarti\left\{\begin{matrix} Pernyataan\left\{\begin{matrix} Pernyataan(Proposisi)\\\\ Kalimat\: faktual \end{matrix}\right.\\\\\\\\\\\\ Bukan\: Pernyataan\left\{\begin{matrix} 1.\: Kalimat\: Terbuka\\ 2.\: Kalimat\: Perintah\\ 3.\: Kalimat\: Ucapan\: Selamat\\ 4.\: Kalimat\: Pertanyaan\\ 5.\: Doa\\ 6.\: Harapan\\ 7.\: Kalimat\: Larangan\setminus himbauan\\ 8.\: Ada\: Kata\: Sifat \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Tak\: Berarti \end{matrix}\right..

\begin{tabular}{|p{4.0cm}|p{8.0cm}|}\hline Istilah&Definisi\\\hline Pernyataan(Proposisi)&Suatu kalimat yang menyatakan sesuatu yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus keduanya\\\hline Kalimat Terbuka&Suatu kalimat bukan pernyataan yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan\\\hline \end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Contoh Kalimat Berarti(Pernyataan)

  • “1+1=2”
  • “Sudut dalam sebuah segitiga adalah 180^{0}
  • “Jumlah hari dalam seminggu ada 7 hari”

2. Contoh Kalimat tak berarti

  • “Kursi bergoyang menangis”
  • “Matahari tersenyum kepadaku”
  • “Daun kelapa melambai-lambai kepadaku”

3. Contoh Kalimat Faktual(termasuk Pernyataan)

  • “Amin adalah siswa MA Futuhiyah Jeketro”
  • “Budi adalah karyawan PT.ABC di Semarang”
  • “Hari ini akan ada konser grup musik SLANK di alun-alun kota Purwodadi”

4. Contoh Kalimat Bukan Pernyataan

  • 2x+5=1000000
  • “Kerjakan tugasmu, Budi!”
  • “Selamat ulang tahun Aziz”
  • “Apakah kamu sudah belajar Anton?”
  • “Ya Allah, tunjukkanlah jalan-Mu yang lurus”
  • “Semoga engaku panjang umur”
  • “Hati-ati di jalan”
  • “Mustofa wajahnya ganteng”

1.2. Notasi dan Nilai Kebenaran dari pernyataan

Suatu pernyataan dalam logika dinotasikan dengan satu huruf kecil   p,\: q,\: r,\: s,\:...dsb .

Misalkan ada sebuah pernyataan ” 2013+2=2015″ dan “Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180^{0}“. pernyataan-pernyataan tersebut dapat dituliskan kembali dengan notasi pernyataan sebagai  q\quad dan\quad s ini.

\begin{array}{ll}\\ q&:2013+2=2015\\ r&:Jumlah\: sudut\: dalam\: suatu\: segitiga\: adalah\: 180^{0} \end{array}.

Untuk nilai kebenaran dinotasikan dengan  ” \tau ” (dibaca: tau). Sehingga untuk nilai kebenaran dua pernyataan  q\quad dan\quad s  di atas adalah

\tau \left ( q \right )=Benar\quad dan\quad \tau \left ( s \right )=Benar.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

a. Apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan pernyataan, bukan pernyataan, dan kalimat terbuka? kemudian, tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut!

  1. bentuk aljabar  a^{2}-2ab+b^{2}  habis dibagi a-b.
  2. Semoga hari ini cerah.
  3. Berapakah akar  \sqrt{2015} itu?
  4. x^{2}-3x-10=0,\quad x\: \in \: \mathbb{R}.
  5. Satu hari sama dengan  x  jam.
  6. Ceramah ilmiah kemaren cukup menarik.
  7. Semua siswa memakai seragam.
  8. Tujuh adalah bilangan prima.
  9. 2013+2014=2015.
  10. \displaystyle \left ( x-3 \right )^{2}=x^{2}-9.

b. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut

  1.  p : 2015 adalah bilangan prima
  2. q : Semarang terletak di Jawa tengah
  3. r : Jika suatu bilangan habis dibagi 4 , maka bilangan tersebut habis dibagi 2.
  4. s : 3+4+5+6+7+8+9+10 > 345

1.3 operasi logika

Perhatikan tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|}\hline& \multicolumn{2}{c|}{Operator}\\\cline{2-3}{NO} &Nama&Lambang\\\hline 1&Negasi(uner)&\sim \\\hline 2&Konjungsi(biner)&\wedge \\\hline 3&Disjungsi(biner)&\vee \\\hline 4&Implikasi(biner)&\rightarrow \\\hline 5&Biimplikasi(biner)&\leftrightarrow \\\hline \end{array}.

1.3.1 Kalimat Majmuk

Perhatikan juga tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline& \multicolumn{3}{c|}{Contoh\quad Aplikasi}\\\cline{2-4}{NO} &Nama&Bentuk&Negasi\\\hline 1&Konjungsi(biner)&p \wedge q &\sim p\: \vee \sim q\\\hline 2&Disjungsi(biner)&p \vee q &\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 3&Implikasi(biner)&p \rightarrow q&p\: \wedge \sim q \\\hline 4&Biimplikasi(biner)&p \leftrightarrow q& \left ( p\: \wedge \sim q \right )\vee \left ( q\: \wedge \sim p \right )\\\hline \end{array}.

1.3.2 Tabel kebenaran Kalimat majmuk

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\wedge q&p\vee q&p\rightarrow q&p\leftrightarrow q\\\hline B&B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S\\\hline S&B&S&B&B&S\\\hline S&S&S&S&B&B\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Tuliskan ingkaran atau negasi dari proposisi berikut, dan tentukanlah nilai kebenarannya.

\begin{array}{llrl}\\ a.&&p:&Sekarang\: hujan\: lebat\\ b.&&q:&Semua\: bilangan\: prima\: adalah\: ganjil\\ c.&&r:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6=0\\ d.&&s:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6< 0\\ e.&&t:&x^{2}> 0,x\in bilangan\: asli\\ f.&&u:&Semua\: kepala\: negara\: laki-laki\\ g.&&v:&Semua\: kucing\: berwarna\: putih \end{array}.

Jawab:

a. ~ p : Tidak benar bahwa sekarang hujan lebat .  Jika τ(p) = Benar (B), maka τ(~ p) = Salah(S).

b. ~ q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil. atau

     ~ q : Ada bilanga prima yang tidak ganjil.  Sehinga  τ(q) = S  dan τ( ~ q) = B.

c. ~ r : Tidak benar bahwa  ada  x\: \in \mathbb{R}  yang memenuhi  x^{2}-x-6=0.

dapat juga dikatakan   ~ r : Semua  x  bilangan real memenuhi  x^{2}-x-6\neq 0. Untuk  τ(r) = B dan  τ(~ r) = S.

Yang lain sebagai latihan

2. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&S&S&S&S&S\\\hline B&S&S&B&S&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S&B\\\hline \end{array}.

3. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&S&S&B&B&S\\\hline B&S&S&B&S&B&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Lengkapilah tabel kenenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&S&S&B&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&B&B&B&S&B\\\hline S&B&B&S&B&B&S&B&S\\\hline S&S&B&B&S&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

5. Lengkapilah juga tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\leftrightarrow q&p\: \leftrightarrow \sim q&\sim p\: \leftrightarrow \sim q&\sim q\leftrightarrow \sim p&q\leftrightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

Sebagai latihan

6. Tentukan nilai kebenaran dari bentuk konjungsi berikut

a. 5 adalah bilangan prima dan 7 adalah faktor dari 14

b. Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real dan Semarang ibukota provinsi Jawa Timur

Jawab:

6a.  p : 5 adalah bilangan prima

       q : 7 adalah faktor dari 14.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = B , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=B.

6b. p : Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real.

      q : Semarang ibukota provinsi Jawa Timur.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = S , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=S.

7. Tentukan  x  agar implikasi berikut benar.

2x=18\rightarrow 3+4=10.

Jawab:

\begin{aligned}p:\quad 2x&=18\\ x&=9\quad (B)\\ \\ q:\quad 3+4&=10\quad (S) \end{aligned}.

Karena q salah, maka agar supaya  p(x)\rightarrow q  bernilai benar , maka p harus salah juga (lihat tabel kebenaran implikasi baris ke-4). Jadi  x\neq 9.

8. Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\wedge q(x)  berikut bernilai benar.

a.  p(x):x^{2}-2x-35=0;   q(x): jumlah sudut suatu segitiga adalah  180^{0}.

b. p(x): 3 bilangan prima;   q(x):x^{2}-3x-18\geq 0.

Jawab:

8a. Karena τ(q) = B , maka supaya konjungsi ini bernilai benar, maka p juga harus merupakan pernyataan yang bernilai benar, yaitu nilai x harusnya adalah

\begin{aligned}x^{2}-2x-35&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-7 \right )&=0\\ x=-5\: atau\: x&=7 \end{aligned}.

8b. Sebagai latihan

\forall n\in \mathbb{N}

a. Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut dan tentukanlah nilai kebenarannya

  1. \left ( 5\sqrt{3}+2\sqrt{7} \right )^{2}  senilai dengan 103+20\sqrt{21}
  2. \log 5+\log 2=1
  3. Persamaan 6x^{2}-12x+6=0  memiliki dua akar real dan sama
  4. Persamaan sumbu simetri fungsi  f(x)=x^{2}-2x-8  adalah  x=1.

b. Tentukanlah nilai kebenaran dari  proposisi berikut

  1. 3 adalah genap dan 4 adalah bilangan ganjil
  2. salah satu akar persamaan kuadrat  x^{2}-2x-24=0  adalah – 4 dan \sqrt{19}.\sqrt{106}=\sqrt{2014}.
  3. \displaystyle 2^{2^{2}}=8  dan  \displaystyle \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.
  4. \displaystyle \sqrt{2012}+\sqrt{3}=\sqrt{2015}  dan \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.
  5. 4 adalah bilangan ganjil atau 5 adalah ganjil
  6. \displaystyle ^{2}\log \frac{1}{8}=-3  atau  \displaystyle \sqrt{5}.\sqrt{6}=\sqrt{11}
  7. 3^{4}=64  atau  4^{3}=64
  8. Jika  \log 5+\log 15=\log 20  maka  \log 20-\log 15=\log 5
  9. ^{2}\log 16=4  jika dan hanya jika  2^{4}=16.

c. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p& \sim q&p\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&&&&\\\hline B&S&&&&\\\hline S&B&&&&\\\hline S&S&&&&\\\hline\end{array}.

d. Lengkapi juga tabel kebenaran berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&\sim p& \sim q&r\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( r\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&B&&&&\\\hline B&B&S&&&&\\\hline B&S&B&&&&\\\hline B&S&S&&&&\\\hline S&B&B&&&&\\\hline S&B&S&&&&\\\hline S&S&B&&&&\\\hline S&S&S&&&&\\\hline\end{array}.

e. Diketahui

\begin{tabular}{lp{6.0cm}}\\ p:&Ungaran hujan deras\\ q:&Semarang banjir \end{tabular}.

Nyatakanlah bentuk logika berikut dalam kalimat

  1. p\wedge q
  2. \sim p\wedge q
  3. p\wedge \sim q
  4. \sim p\wedge \sim q
  5. \sim \left ( p\wedge q \right )
  6. p\vee q
  7. \sim p\vee q
  8. p\vee \sim q
  9. \sim p\vee \sim q
  10. \sim \left ( p\vee q \right )
  11. p\rightarrow q
  12. \sim p\rightarrow q
  13. p\rightarrow \sim q
  14. \sim p\rightarrow \sim q
  15. \sim \left ( p\rightarrow q \right )
  16. p\leftrightarrow q
  17. \sim p\leftrightarrow q
  18. p\leftrightarrow \sim q
  19. \sim p\leftrightarrow \sim q
  20. \sim \left ( p\leftrightarrow q \right )

f.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\vee q(x)  bernilai benar

  1. p(x):3x^{2}-2x=5;  q(x):  8 adalah bilangan komposit
  2. p(x):3x-4< 5,x\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}q(x):  7 adalah bilangan prima.

g.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan p(x)\rightarrow q(x) bernilai benar

  1. p(x):x^{2}-5x-6\geq 0;  q(x): 3 adalah faktor dari 51.
  2. p(x):  Semarang adalah ibukota Jawa Timur;  \displaystyle q(x)=\: ^{2}\log\left ( x^{2}-3x-2 \right )=1.

1.3.3 Tautologi, kontradiksi serta Kontingensi

  • Tautologi yaitu jika suatu pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya adalah benar semuanya.
  • Kontradiksi (lawan dari Tautologi) berarti jika pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya salah semua.
  • Kontingensi yaitu jika sebuah pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya terdapat nilai benar dan salah.

1.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari suatu Implikasi

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{Bentuk}\\\hline &&&&Implikasi&Konvers&Invers&Kontraposisi\\\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&q\rightarrow p&\sim p\rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&B&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

1.4.1 Pernyataan Majmuk yang Ekuivalen

\begin{array}{|c|c|c|}\hline No&Pernyataan /Pernyataan\: Majmuk&Ekuivalen\\\hline 1&\sim \left ( \sim p \right )&p\\\hline 2&\sim \left ( p\wedge q \right )&\sim p\: \vee \sim q\\\hline 3&\sim \left ( p\vee q \right )&\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 4&p\rightarrow q&\sim p\vee q\\\hline 5&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline 6&\sim \left ( p\rightarrow q \right )&p\: \wedge \sim q\\\hline \end{array}.

1.5 Proposisi Berkuantor

Kuantor adalah suatu lambang yang pada kalimat terbuka yang menunjukkan jumlah/kuantitas yang menjadikannya menjadi sebuah pernyataan.

Ada 2 buah kuantor  \left\{\begin{matrix} Kuantor\quad Universal\\ \\ \\ Kuantor\quad Eksistensial \end{matrix}\right..

\begin{array}{|c|c|c|c|c|p{3.0cm}|}\hline No&Kuantor&Notasi&Pernyataan&ingkaran&Contoh\\\hline 1&Universal&"\forall"\quad (dibaca:Semua..../setiap...)&\forall (x),\: p(x)&\exists (x),\sim p(x)&p\: :\: "Semua\: bilangan\: prima\: ganjil." \\\hline 2&Eksistensial&"\exists "\quad (dibaca:ada..../beberapa....)&\exists (x),p(x)&\forall (x),\sim p(x)&p\: :\: "Ada\: bilangan\: prima\: yang\: genap." \\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim q\rightarrow \sim p \right )\\\hline B&B&S&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

Kolom terakhir nilai kebenarannya pada tabel di atas adalah selalu benar yang selanjutnya disebut Tautologi.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&p\rightarrow q&p\wedge \sim q&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&S&B&S&S\\\hline B&S&S&S&B&S\\\hline S&B&B&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S\\\hline \end{array}.

Untuk tabel di atas pada kolom terakhir nilai kebenarannya selalu salah yang selanjutnya disebut sebagai kontradiksi.

Perhatikan pula untuk contoh tabel kebenaran kontingensi berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim q&\sim p\vee q\\\hline B&B&S&B\\\hline B&S&S&S\\\hline S&B&B&B\\\hline S&B&B&B\\\hline \end{array}.

2. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut!

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ 1. Ada burung yang tidak dapat terbang\\ 2. Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

Jawab:

Misalkan

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ p: Ada burung yang tidak dapat terbang\\ q: Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ \sim p:&Semua\: burung\: terbang\\ \sim q:&Beberapa\: mahluk\: hidup\: tidak\: fana \end{array}.

3. Jika x\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut:

\begin{array}{l}\\ a.\quad \left ( \exists x \right )\left ( 3x+2=1 \right )\\ b.\quad \left ( \forall x \right )\left ( 3x+2=11 \right )\\ \end{array}.

Jawab:

3a. Pernyataan tersebut benar, sebab ada  x\in \mathbb{R} , yaitu \displaystyle x=-\frac{1}{3}.

3b. Pernyataan tersebut bernilai salah, karna ada nilia x\in \mathbb{R}, tidak memenuhi, istilah lainnya tidak semua nilai x\in \mathbb{R} memenuhi. Nilai x\in \mathbb{R}  memenuhi hanya saat  \displaystyle x=3.

1.6 Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan atau konklusi diambil dari pernyataan-pernyataan yang diasumsikan benar tang selanjutnya disebut premis.

Berikut beberapa metode penarikan kesimpulan

1.6.1 Modus Ponens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&p\\\hline konklusi&&:& q \end{array}.

1.6.2 Modus Tollens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&\sim q\\\hline konklusi&&:& \sim p \end{array}.

1.6.3 Silogisme

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&q\rightarrow r\\\hline konklusi&&:&p\rightarrow r \end{array}.

1.7 Bukti Langsung dan Tak langsung

Yang termasuk  bukti langsung adalah modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Sedangkan bukti tak langsung dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan kontradiksi dan kontraposisi.

1.8 Induksi Matematika

Perhatikan bilangan susunan berikut

\begin{aligned}1&=1^{2}\\ 1+3&=2^{2}\\ 1+3+5&=3^{2}\\ 1+3+5+7&=4^{2}\\ 1+3+5+7+9&=5^{2}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+...+(2n-1)&=n^{2},\: untuk\: n\: \in \mathbb{N} \end{aligned}.

Ilustrasi rumus di atas dapat berlaku secara umum dengan bukti secara formal yaitu dengan Induksi Matematika (Induksi Lengkap)

Berikut langkah untuk Induksi Matematika, yaitu

\begin{tabular}{|lcp{7.0cm}|}\hline Langkah&1.&Rumus dibuktikan benar untuk n=1\\ Langkah&2.&Rumus diasumsikan berlaku untuk n=k, Selanjutnya rumus dibuktikan berlaku untuk n=k+1\\ &&\\ &&\\\hline Kesimpulan&&Rumus berlaku untuk setiap n bilangan Asli(disesuaikan dengan kondisi)\\\hline\end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Berikut tabel kebenaran untuk modus Ponens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge p&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge p \right )\rightarrow q\\\hline B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B\\\hline S&S&B&S&B\\\hline \end{array}.

2. Berikut tabel kebenaran untuk modus Tollens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q \right )\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&S&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

3. Berikut adalah tabel kebenaran untuk Silogisme

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\rightarrow q&q\rightarrow r&p\rightarrow r&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right )&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\rightarrow \left ( p\rightarrow r \right )\\\hline B&B&B&B&B&B&B&B\\\hline B&B&S&B&S&S&S&B\\\hline B&S&B&S&B&B&S&B\\\hline B&S&S&S&S&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B&B\\\hline S&B&S&B&B&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Periksa sah atau tidak argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore \sim p\end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim q\rightarrow \sim r\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\\\\\\ e.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\quad\quad f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\ r\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\rightarrow \sim r\\ s\rightarrow r\\ p\\\hline \therefore s \end{array}.

Jawab:

a. Bukan modus, ponens, modus tollens, ataupun silogisme Sehingga penarikan kesimpulan tidak sah.

b. \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\rightarrow q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}.

c. \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}

Karena penarikan kesimpulan poin b tidak sesuai dengan kaidah modus ponens, modus tollens, atau silogisme, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah sedangkan poin c sesuai kaidah modus ponens, maka penarikan kesimpulan tersebut adalah sah.

d, e, f, g, dan h sebagai latihan

5. Jika  a,b,c\in \mathbb{R} , buktikan bahwa  \displaystyle \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

Bukti:

\begin{aligned}\left ( a+b+c \right )^{2}&=\left ( a+b+c \right )\left .( a+b+c \right )\\ &=a\left ( a+b+c \right )+b\left ( a+b+c \right )+c\left ( a+b+c \right )\\ &=a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}\\ &=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\quad(\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

6. Buktikan untuk  a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0 bahwa ax^{2}+bx+c=0  memiliki penyelesaian  \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Bukti:

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}&=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}\\ \leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}&=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4a}{4a^{2}}\\ \leftrightarrow x+\frac{b}{2a}&=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\ \leftrightarrow x&=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \leftrightarrow x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\quad (\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

7. Buktikan dengan bukti tak langsung , bahwa  jika  n^{2}  bilangan ganjil maka n  bilangan ganjil.

Bukti:

Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah  jika  n  tidak ganjil maka  n^{2}  tidak ganjil.

Misalkan n  bilangan genap, sehingga n dapat dinyatakan dengan  n=(2k),\quad k\in \mathbb{Z}.

\begin{aligned}n&=2k\\ &=\left ( 2k \right )^{2}\\ &=4k^{2}\\ &=2\left ( 2k^{2} \right )\\ &=2m,\quad m\in \mathbb{Z}\quad (\mathbf{Benar})\quad \textbf{Terbukti} \end{aligned}.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{2} irasional

Bukti:

Kontradiksinya adalah \sqrt{2} rasional.

Andaikan \sqrt{2}  rasional . Karena  \sqrt{2}  rasional, maka dapat dinyatakan sebagai  \displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q}  dengan  p\:\: dan\:\: q  adalah bilangan bulat yang tidak memiliki faktor persekutuan.

\begin{aligned}\sqrt{2}&=\frac{p}{q}\quad (dikuadratkan)\\ 2&=\frac{p^{2}}{q^{2}}\\ p^{2}&=2q^{2} \end{aligned}.

Karena  \displaystyle p^{2}=2q^{2} , maka  \displaystyle p^{2}  adalah bilangan genap dan dapat dinyatakan dengan  p=2n.

Sehingga

\begin{aligned}\left ( 2n \right )^{2}&=2q^{2}\\ 4n^{2}&=2q^{2}\\ 2n^{2}&=q^{2}\\ q^{2}&=2n^{2} \end{aligned}.

q^{2}  juga bilangan genap.

Karena  p\:\: dan\:\: q  keduanya genap, maka 2 adalah faktor persekutuan.

Hal ini bertentangan dengan pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkari.

Berarti   \sqrt{2}  rasional salah, akibatnya  \sqrt{2}  irasional

Jadi, Terbukti  bahwa  \sqrt{2}  irasional.

9. Untuk  \forall n\in \mathbb{N}
, buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{l}\\ a.\quad 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )\\ b.\quad 1+3+5+7+...+\left ( 2n-1 \right )=n^{2}\\ c.\quad 2^{3n}-1\quad habis\: dibagi\: 7 \end{array}.

Bukti:

a.  Langkah  1  

Untuk  n=1 ,

\begin{aligned}1&=\frac{1}{2}.1.\left ( 1+1 \right )\\ 1&=1\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Maka rumus berlaku untuk  n=1.

   Langkah  2

Misalkan rumus berlaku untuk  n=k, maka

\displaystyle 1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}k\left ( k+1 \right ).

Akan ditunjukkan rumus berlaku untuk  n=k+1, yaitu

\begin{aligned}1+2+3+4+...+k+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \underset{\frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+4+...+k}}+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+\frac{2}{2}(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Karena ruas kiri = ruas kanan maka rumus berlaku untuk  n=k+1.

Kesimpulan:

Jadi, \displaystyle 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )
berlaku untuk  \forall n\in \mathbb{N}.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Diketahui implikasi ” Anton tidak akan pergi jika ia sakit atau membantu ayahnya”. Tentukan konvers, inver, kontraposisi, ekuivalensi dan negasinya dari implikasi tersebut.

2. Tunjukkan dengan tabel kebenaran tautologi-tautologi berikut berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\vee q \right )\rightarrow \sim p \right )\rightarrow p\\ &&(b)&\sim \left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( \left ( r\wedge p \right )\rightarrow \left ( r\wedge q \right ) \right )\\ &&(e)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\rightarrow r \right )\vee \left ( q\rightarrow r \right ) \right ) \end{array}.

3. Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukanlah pernyataan-pernyataan berikut ini adalah tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow p \right )\rightarrow q\\ &&(b)&p\wedge \left ( \sim \left ( p\vee q \right ) \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim p\vee q \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( q\rightarrow p \right )\\ &&(e)&p\vee \left ( q\rightarrow \sim r \right ) \end{array}.

4. Tentukanlah nilai kebenaran proporsi-proporsi berikut:

\begin{tabular}{lllp{16.0cm}}\\ &&(a)&Jika 2014 bilangan genap, maka 2014 habis dibagi 2\\ &&(b)&5 bilangan prima hanya jika 5 bilangan ganjil\\ &&(c)&Semarang terletak di Provinsi Jawa Tengah atau Provinsi D.I.Y\\ &&(d)&0 bilangan positih atau bilangan negatif\\ &&(e)&x habis dibagi 2 adalah syarat perlu dan cukup agar x adalah bilangan bulat genap \end{tabular}.

5. Untuk x,y\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenran dari pernyataan-pernyataan berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \exists x \right )\left ( 2x+3=1 \right )\\ &&(b)&\left ( \forall x \right )\left ( 5x+2014=2015 \right )\\ &&(c)&\left ( \exists x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(d)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(e)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}\geq 0 \right )\\ &&(f)&\left ( \exists y \right )\left ( y=2x^{2}> 0 \right )\\ &&(g)&\left ( \forall x \right )\left ( \forall y \right )\left ( x+y> 0 \right ) \end{array}.

6. Periksa sah atau tidaknya argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow q\\\hline \therefore r\rightarrow p \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim p\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad e.\quad \begin{array}{l}\\ q\rightarrow p\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\\ f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow r\\ q\rightarrow p\\\hline \therefore q\rightarrow r \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad i.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ q\rightarrow \sim r\\ p\\\hline \therefore r \end{array}\quad\quad j.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ q\vee \sim r\\ r\\\hline \therefore \sim p \end{array}.

7. Buktikan bahwa  x^{2}  ganjil maka  x  ganjil.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{3}  irasional.

9. Buktikan bahwa persamaan  ax^{2}+bx+c=0  dengan  a\neq 0 , tidak mungkin mempunyai 3 buah akar yang berbeda.

10. Jika  a,b\in \mathbb{R}  maka buktikan bahwa  \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}.

11. Jika  \displaystyle x_{1}\:\: dan\: \: x_{2}  adalah akar-akar dari persamaan kuadrat  \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 , buktikan bahwa :

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}\\ &&(b)&\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\\ &&(c)&\displaystyle \left |x_{1}-x_{2} \right |=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \end{array}.

12. Untuk  \forall n\in \mathbb{N} , buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&(1)&1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}\\ &&(2)&\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}.n(n+1)(2n+1)\\ &&(3)&\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{n-1}=2^{n}-1\\ &&(4)&\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}\\ &&(5)&\displaystyle 2+5+8+...+(3n-1)=\frac{1}{2}n\left ( 3n+1 \right )\\ &&(6)&\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{n\times (n+1)}=\frac{n}{n+1}\\ &&(7)&Buktikan\: bentuk\: 5^{2n}-1\: habis\: dibagi\: 3\\ &&(8)&Buktikan\: bentuk\: 7^{2n+1}+1\: habis\: dibagi\: 8\\ \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Kanginan, Marthen. 2007. Matematika untuk Kelas X Semester 2 Sekolah Menengah Atas. Bandung: Grafindo Media Pratama.
  2. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  3. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  4. Sembiring, Suwah. 2002. Kompetensi Dasar Pelajaran Matematika untuk SMU Kelas 1B. Bandung: Yrama Widya.
  5. Susilo, Frans. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
  6. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II. Semarang: Sarana Ilmu.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s