Lanjutan Pembahasan UN Matematika IPA SMA/MA 2014 (2)

\boxed{21}. Seutas kawat dipotong menjadi lima bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. Panjang kawat terpendek 16 cm dan terpanjang 81 cm. Panjang kawat semual adalah ….

\begin{matrix} A. & 121\: cm\\ B. & 130\: cm\\ C. & 133\: cm\\ D. & 211\: cm\\ E. & 242\: cm\\ \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui\: Barisan\: Geometri\: (BG)\: \left\{\begin{matrix} u_{1}=16 & \Rightarrow &a=16\\ & \\ u_{5}=81 & \Rightarrow &ar^{4}=81 \end{matrix}\right..

Maka nilai  r  adalah;

ar^{4}=81\\\\ 16\times r^{4}=81\\\\ \: \: r^{4}=\frac{81}{16}\\\\ \: \: r=\sqrt[4]{\frac{3^{4}}{2^{4}}}\\\\ \: \: r=\frac{3}{2}.

Ingat  Jika

\boxed{u_{p}=A,\: u_{q}=B,\:dengan\: \: p< q,\: \: maka\: \: r=\sqrt[q-p]{\frac{B}{A}}}.

Sehingga

S_{5}=\frac{a\left ( r^{5}-1 \right )}{r-1}\\\\ S_{5}=\frac{16\left ( \frac{3}{2}^{5}-1 \right )}{\frac{3}{2}-1}\\\\ S_{5}=32\left ( \frac{343}{32}-1 \right )\\\\ S_{5}=211.

\boxed{22}. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke garis CT adalah ….

\begin{matrix} A. & 5\sqrt{3}\: cm\\\\ B. & 6\sqrt{2}\: cm\\\\ C. & 6\sqrt{3}\: cm\\\\ D. & 6\sqrt{6}\: cm\\\\ E. & 7\sqrt{3}\: cm \end{matrix}.

Pembahasan:

Fakta dari soal di atas dapat kita terjemahkan sebagai berikut

134

Sehingga panjang AT=\frac{9}{2}\sqrt{6}\: cm .

Jarak titik A ke garis CT kita misalkan AA’ dengan A’ terletak pada garis CT , maka

Luas_{\triangle ACT}=Luas_{\triangle ACT}\\\\ \frac{1}{2}\times alas\times tinggi=\frac{1}{2}\times alas\times tinggi\\\\ \frac{1}{2}\times AC\times TT'=\frac{1}{2}\times CT(alas)\times AA'\\\\ \not{9}\sqrt{2}\times 9=\frac{\not{9}}{2}\sqrt{6}\times AA'\\\\ AA'=\frac{9\times 2\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}\\\\ AA'=6\sqrt{3}\: cm.

Jadi jarak titik A ke garis CT adalah  6\sqrt{3}\: cm.

\boxed{23}. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah  \alpha  . Nilai  \sin \alpha = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ B. & \frac{1}{2}\sqrt{3}\\\\ C. & \frac{1}{3}\sqrt{3}\\\\ D. & \frac{2}{3}\sqrt{2}\\\\ E. & \frac{3}{4}\sqrt{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut

135

Dengan cara yang kurang lebih sama pada NO.22 diketahui AT=2\sqrt{6}\: cm.

Sehingga Nilai

\sin \alpha =\frac{ET}{AT}=\frac{\frac{1}{2}EG}{AT}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}.

\boxed{24}. Diberikan segi-4 ABCD seperti pada gambar.

136

Panjang  CD  adalah ….

\begin{matrix} A. & 6\sqrt{6}\: cm\\\\ B. & 13\: cm\\\\ C. & 12\: cm\\\\ D. & 2\sqrt{29}\: cm\\\\ E. & \sqrt{2}\: cm \end{matrix}.

Pembahasan:

Langkah awal kita tentukan panjang  BD , yaitu dengan menggunakan aturan Sinus untuk  \bigtriangleup ABD ,

ingat\\\\ \boxed{\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}}

maka

\boxed{\frac{BD}{\sin 45^{0}}=\frac{10}{\sin 30^{0}}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}}

\Rightarrow \: \: BD=\frac{10}{\sin 30^{0}}\times \sin 45^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: BD=\frac{10}{\frac{1}{2}}\times \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ \Rightarrow \: \: BD=10\sqrt{2}.

Selanjutnya kita tentukan panjang  CD , dengan aturan cosinus

\begin{matrix} ingat\\ \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc\cos \angle A\\\\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac\cos \angle B\\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab\cos \angle C \end{matrix}.

Untuk  \bigtriangleup CBD  , aturan cosinus untuk menentukan besar  CD  adalah

CD^{2}=BD^{2}+BC^{2}-2BD.BC.\cos \angle CBD\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=\left ( 10\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( 14 \right )^{2}-2.10\sqrt{2}.14.\cos 45^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=200+196-280\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=396-280\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=116\\\\ \Rightarrow \: \: CD=\sqrt{116}\\\\ \Rightarrow \: \: CD=2\sqrt{29}\: cm.

\boxed{25}. Himpunan penyelesaian persamaan  2\cos ^{2}x^{0}+5\cos x^{0}=3,\: \:\: 0\leq x\leq 360  adalah ….

\begin{matrix} A. & \left \{ 30,\: 60 \right \}\\\\ B. & \left \{ 30,\: 330 \right \}\\\\ C. & \left \{ 60,\: 120 \right \}\\\\ D. & \left \{ 60,\: 240 \right \}\\\\ E. & \left \{ 60,\: 300 \right \} \end{matrix}.

Pembahasan:

2\cos ^{2}x^{0}+5\cos x^{0}-3=0\\\\ \left ( \cos x^{0}+3 \right )\left ( 2\cos x^{0}-1\right )=0\\\\ \cos x^{0}+3=0\: \: atau\: \: \: 2\cos x^{0}-1=0\\\\ \cos x^{0}=-3\: \: (tidak memenuhi)\: \: atau\: \: \cos x^{0}=\frac{1}{2}\: \: (memenuhi)\\.

Sehingga  untuk yang memenuhi yaitu  \cos x^{0}=\frac{1}{2} , maka

\cos x^{0}=\frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow \: \: \cos x^{0}=\cos 60^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{0}=\pm 60^{0}+k\times 360^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{0}=60^{0}+k\times 360^{0}\: \: atau\: \: x^{0}=-60^{0}+k\times 360^{0}\\ \bullet k=0\: \: \Rightarrow \: \: x^{0}=60^{0}\: \: atau\: \: x^{0}=-60^{0}\: \: (tm)\\\\ \bullet k=1\: \: \Rightarrow \: \: x^{0}=420^{0}\: \: (tm),\: \: atau\: \: x^{0}=300^{0}\: \: (mm)\\ \bullet k=2\: \: \Rightarrow \: \: semuanya\: \: \: (tm).

Jadi , Himpunan penyelesaiannya adalah  \left \{ 60^{0}, 300^{0} \right \}.

\boxed{26}. Nilai dari  \sin 75^{0}-\sin 15^{0}+\cos 45^{0} = ….

\begin{matrix} A. & \sqrt{3}\\\\ B. & \sqrt{2}\\\\ C. & \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ D. & \frac{1}{3}\sqrt{2}\\\\ E. & 1 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha ^{0}&0^{0}&15^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&75^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha ^{0}&0&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha ^{0}&1&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha ^{0}&0&2-\sqrt{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}.

Sehingga

\sin 75^{0}-\sin 15^{0}+\cos 45^{0}=\\\\ =\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )-\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ =\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ =\sqrt{2}.

\boxed{27}. Nilai dari  \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3} -9x+1\right )  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{9}\\\\ B. & \frac{2}{3}\\\\ C. & 1\\\\ D. & \frac{5}{3}\\\\ E. & \frac{5}{2} \end{matrix}.

Pembahasan:

\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-9x+1 \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\left ( 9x-1 \right ) \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\sqrt{81x^{2}-18x+1} \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\sqrt{81x^{2}-18x+1} \right )\left ( \frac{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}}{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}} \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-10x+3+18x-1}{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}}\\\\ =\frac{-10+18}{9+9}\\\\=\frac{4}{9}.

Kita juga dapat menggunakan rumus singkat berikut:

\boxed{ \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\left\{\begin{matrix} \infty & jika & a> p\\\\ \frac{b-q}{2\sqrt{a}} & jika & a=p\\\\ -\: \infty & jika & a< p \end{matrix}\right.}.

\boxed{28}. Nilai  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{\sin x+\sin 3x}  = ….

\begin{matrix} A. & 4\\\\ B. & 3\\\\ C. & \frac{4}{3}\\\\ D. & 1\\\\ E. & \frac{3}{4} \end{matrix}.

Pembahasan:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{\sin x+\sin 3x}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{2\sin \frac{1}{2}\left ( x+3x \right )\cos \frac{1}{2}\left ( x-3x \right )}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\cos x}{\sin 2x.\cos x}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sin 2x}\\\\ =1.

\boxed{29}. Diketahui fungsi  g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7,\: \: A\: konstanta . Jika  f\left ( x \right )=g\left ( 2x+1 \right )   dan  f  turun pada  -\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{1}{2} , nilai relatif  g   adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{3}\\\\ B. & \frac{5}{3}\\\\ C. & 2\\\\ D. & \frac{7}{3}\\\\ E. & \frac{8}{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7\\\\ g\left ( 2x+1 \right )=\frac{1}{3}\left ( 2x+1 \right )^{3}-A^{2}\left ( 2x+1 \right )+7=f\left ( x \right )\\\\ f\left ( x \right )=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+\left ( 2-2A^{2} \right )x-A^{2}+7\frac{1}{3}\\\\ untuk\: \: f\: \: turun\: \: \Rightarrow \: \: f'\left ( x \right )=8x^{2}+8x+\left ( 2-2A^{2} \right ).

Artinya akar-akar dari persamaan  f'\left ( x \right ) adalah  di  x_{1}=-\frac{3}{2}  dan  di  x_{2}=\frac{1}{2} .

Selanjutnya

x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\\ \Rightarrow \: \: \: \left ( -\frac{3}{2} \right ).\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{2-2A^{2}}{8}\\ \Rightarrow \: \: \: -3=1-A^{2}\\ \Rightarrow \: \: \: A^{2}=4.

Sehingga  persamaan  g\left ( x \right ) -nya adalah  g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7.

Untuk mencari nilai minimum relatif  g  , cukup kita turunkan 2 kali fungsi  g  tersebut kemudian kita uji dengan  harga  x  yang kita peroleh saat turunan pertama  fungsi  g sama dengan nol.

g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7\\\\ g'\left ( x \right )=x^{2}-4\: \: \: dan\: \: g''\left ( x \right )=2x\\\\ dan\: \:untuk\: \: g'\left (x \right )=x^{2}-4=0\\\\ x=\left | 2 \right |=\pm \: 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & , & g''\left ( 2 \right )=2.2=4> 0&,&saat&minimum&relatif&fungsi&g\\ & & \\ x=-2 & , & g''\left ( -2 \right )=2.(-2)=-4< 0&,&saat&maksimum&relatif&fungsi&g \end{matrix}\right..

Sehingga nilai minimum relatif fungsi g  adalah saat  x=2 , yaitu

g\left ( 2 \right )=\frac{1}{3}\left ( 2 \right )^{3}-4\left ( 2 \right )+7=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3}.

\boxed{30}. Hasil  \int \frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ B. & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ C. & \sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ D. & 2\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ E. & 3\sqrt{x^{3}+6x+1}+C \end{matrix}.

Pembahasan:

Misalkan

u=x^{3}+6x+1\\ du=\left ( 3x^{2}+6 \right )\: \: dx\\ \frac{1}{3}du=\left ( x^{2}+2 \right )\: \: dx.

Selanjutnya

\int \frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\: dx=\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\left ( x^{2}+2 \right )\: dx\\\\ =\int \frac{1}{\sqrt{u}}.\: \frac{1}{3}du\\\\ =\frac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{2}}\: du\\\\ =\frac{1}{3}\left ( \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right )+C\\\\ =\frac{2}{3}.\sqrt{u}+C \\\\=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C.

\boxed{31}. Hasil  \int_{-1}^{2}\left ( x^{3}+3x^{2}+4x+5 \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & 34\frac{1}{4}\\\\ B. & 33\frac{3}{4}\\\\ C. & 32\frac{1}{4}\\\\ D. & 31\frac{3}{4}\\\\ E. & 23\frac{3}{4} \end{matrix}.

Pembahasan:

\int_{-1}^{2}\left ( x^{3}+3x^{2}+4x+5 \right )\: dx=\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+2x^{2}+5x\: |_{-1}^{2}\\\\ =\frac{2^{4}}{4}+2^{3}+2.2^{2}+5.2\: -\left ( \frac{\left ( -1 \right )^{4}}{4}+\left ( -1 \right )^{3}+2.\left ( -1 \right )^{2}+5\left ( -1 \right ) \right )\\\\ =33\frac{3}{4}.

\boxed{32}. Nilai dari  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \sin 2x\cos 2x \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & -\frac{1}{2}\\\\ B. & -\frac{1}{4}\\\\ C. & 0\\\\ D. & \frac{1}{4}\\\\ E. & \frac{1}{2} \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui  \frac{\sin 2x}{2}=\sin x\cos x, maka

\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \sin 2x\cos 2x \right )\: dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \frac{\sin 4x}{2} \right )\: dx\\\\ =\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\left ( -\cos 4x \right )\: |_{0}^{\frac{\pi }{2}}\\\\ =-\frac{1}{8}\left ( \cos 4x \right )\:|_{0}^{\frac{\pi }{2}}\\\\ =\left (-\frac{1}{8}\cos 2\pi \right )-\left ( -\frac{1}{8}\cos 0 \right )\\\\ =\left ( -\frac{1}{8} \right )-\left ( -\frac{1}{8} \right )\\\\ =0.

\boxed{33}. Hasil  \int \left ( \sin ^{2}5x\cos 5x \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{3}\sin ^{3}5x+C\\\\ B. & \frac{1}{3}\cos ^{3}5x+C\\\\ C. & \frac{1}{10}\sin ^{3}5x+C\\\\ D. & \frac{1}{15}\cos ^{3}5x+C\\\\ E. & \frac{1}{15} \end{matrix}.

Pembahasan:

Misalkan

u=\sin 5x\\ du=\cos 5x.5\: dx\\ \frac{1}{5}du=\cos 5x\: dx.

Selanjutnya

\int \left ( \sin ^{2}5x\cos 5x \right )\: dx=\int u^{2}.\: \frac{1}{5}du\\\\ =\frac{1}{5}\int u^{2}\: du\\\\ =\frac{1}{5}.\frac{1}{3}u^{3}+C\\\\ =\frac{1}{15}u^{3}+C\\\\ =\frac{1}{15}\sin ^{3}5x+C.

\boxed{34}. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus

137

\begin{matrix} A. & \int_{0}^{4}4x\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ B. & \int_{0}^{4}4x\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x+4 \right )\: dx\\\\ C. & \int_{0}^{4}2\sqrt{2}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ D. & \int_{0}^{4}2\sqrt{2}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 4-2x \right )\: dx\\\\ E. & \int_{0}^{4}2\sqrt{x}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 4+2x \right )\: dx \end{matrix}.

Pembahasan:

Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}y_{1}\: dx-\int_{2}^{4}y_{2}\: dx\\\\ \Leftrightarrow \: \: Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}\sqrt{4x}\: dx-\int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ \Leftrightarrow \: \: Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}2\sqrt{x}\: dx-\int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx.

\boxed{35}. Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dikuadran I yang dibatasi oleh kurva  x=2\sqrt{3}\: y^{2}  , sumbu Y , dan lingkaran  x^{2}+y^{2}=1 , diputar mengelilingi sumbu Y adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{60}\pi &satuan&volume \\\\ B. & \frac{17}{60}\pi &satuan&volume \\\\ C. & \frac{23}{60}\pi &satuan&volume \\\\ D. & \frac{44}{60}\pi &satuan&volume \\\\ E. & \frac{112}{60}\pi &satuan&volume \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut

103

Volumenya jika diputar mengelilingi  Sumbu Y adalah

V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}x_{1}^{2}\: dy+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}x_{2}^{2}\: dy\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( 2\sqrt{3}y^{2} \right )^{2}\: dy+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left ( 1-y^{2} \right )\: dy\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\frac{12}{5}y^{5}\pi |_{0}^{\frac{1}{2}}+\left ( y-\frac{1}{3}y^{3} \right )\pi |_{\frac{1}{2}}^{1}\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\pi \left ( \frac{12}{5}\times \frac{1}{32}+\left ( 1-\frac{1}{3} \right )-\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{8} \right ) \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\frac{17}{60}\pi.

\boxed{36}. Perhatikan histogram berikut!

138

Modus dari data pada histogram adalah ….

\begin{matrix} A. & 23,25\\\\ B. & 23,75\\\\ C. & 24,00\\\\ D. & 25,75\\\\ E. & 26,25 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan

\begin{tabular}{||c||c||}\hline Interval&Frekuensi\\\hline 3-7&4\\\hline 8-12&6\\\hline 13-17&8\\\hline 18-22&10\\\hline 23-27&12\\\hline 28-32&6\\\hline 33-37&4\\\hline 38-42&2\\\hline \end{tabular}.

Modus dari data tersebut di atas adalah

M_{o}=t_{b}+p\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=22,5+5\left ( \frac{2}{2+6} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=22,5+5\left ( \frac{1}{4}\right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{0}=22,5+1,25\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=23,75.

Penjelasan:

\boxed{M_{o}=t_{b}+p\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )}

\begin{tabular}{|c|p{6.0cm}|}\hline Nama\: Istilah&Keterangan\\\hline \boxed{t_{p}}&tepi bawah kelas modus\\\hline p&panjang interval kelas\\\hline \boxed{f_{o}}&frekuensi kelas modus\\\hline \boxed{f_{-1}}&frekuensi sebelum kels modus\\\hline \boxed{f_{+1}}&frekuensi sesudah kelas modus\\\hline \boxed{d_{1}}&\boxed{f_{0}-f_{-1}}\\\hline \boxed{d_{2}}&\boxed{f_{0}-f_{+1}}\\\hline \end{tabular}.

\boxed{37}. Kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah ….

\begin{tabular}{|c|c|}\hline Data&Frekuensi\\\hline 20-25&4\\ 26-31&6\\ 32-37&6\\ 38-43&10\\ 44-49&12\\ 50-55&8\\ 56-61&4\\\hline \end{tabular}.

\begin{matrix} A. & 49,25\\\\ B. & 48,75\\\\ C. & 48,25\\\\ D. & 47,75\\\\ E. & 47,25 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan kembali tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Data&Frekuensi&Frek.kum\: kurang\: dari\\\hline 20-25&4&4\\\hline 26-31&6&10\\\hline 32-37&6&16\\\hline 38-43&10&26\\\hline 44-49&12&38\\\hline 50-55&8&46\\\hline 56-61&4&50\\\hline \end{tabular}.

Q_{i}=t_{b}+p\left ( \frac{\frac{i}{4}n-\sum f_{i}}{f_{q}} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+6\left ( \frac{\frac{3}{4}\times 50-26}{12}\right)\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+\frac{11,5}{2}\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+5,75\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=49,25.

Penjelasan:

\boxed{Q_{i}=t_{p}+p\left ( \frac{\frac{i}{4}\times n-\sum f_{i}}{f_{q}} \right )}.

\begin{tabular}{|c|p{9,0cm}|}\hline Nama\: Istilah&Keterangan\\\hline \boxed{t_{p}}&tepi bawah kuartil ke-i\\\hline p&panjang interval kelas\\\hline n&banyaknya data\\\hline \boxed{\sum f_{i}}&jumlah semua frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i\\\hline \boxed{f_{q}}&frekuensi kelas kuartil ke-i\\\hline \boxed{Q_{1}}&kuartil ke-i\\\hline \boxed{Q_{1}}&kuartil bawah\\\hline \boxed{Q_{2}}&Kuartil tengah=median\\\hline \boxed{Q_{3}}&kuartil atas\\\hline \end{tabular}.

\boxed{38}. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun bilangan yang terdiri dari empat angka yang berbeda. Banyaknya bilangan yang lebih dari 3.000 adalah ….

\begin{matrix} A. & 120\\\\ B. & 180\\\\ C. & 240\\\\ D. & 360\\\\ E. & 720 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Patokan&diinginkan&Banyak\: kemungkinan\\\hline 3.000&\boxed{< }&4x5x4x3\\\hline 3.000&&240\\\hline \end{tabular}.

atau

\begin{tabular}{|c|p{12.0cm}|}\hline Patokan&Pengisiian\: Tempat\\\hline 3.000\: \boxed{< }&ada 4 kotak yang perlu diisi\\\hline &kotak pertama adalah ditempati angka ribuan. Tempat ribuan ini yang mungkin menempati adalah salah satu dari bilangan 3, 4, 5 atau 6. Sehingga tempat rinuan yang akan menempati ada 4 kemungkinan. Tempat ratusan dapat ditempati semua bilangan baik 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 tetapi salah satu dari bilangan tersebut telah ditempatkan di tempat ribuan. Sehingga tempat ratusan tinggal kemungkinan ada lima angka yang akan menempati . Sedangkan tempat puluhan tersisa 4 bilangan yang dapat digunakan dan tempat satuan tersisa 3 bilangan yang dapat diisikan ketempat tersebut\\\hline \end{tabular}.

\boxed{39}. Dari 7 orang finalis lomba menyanyi akan ditetapkan gelar juara I, II dan III. Banyak susunan gelar kejuaraan yang mungkin adalah ….

\begin{matrix} A. & 35\\\\ B. & 70\\\\ C. & 210\\\\ D. & 420\\\\ E. & 840 \end{matrix}.

Pembahasan:

Kita dapat mengerjakan langsung seperti No.38  yaitu 7 x 6 x 5 = 210 susunan atau menggunakan permutasi (karena susunan jelas ditentukan dan penting).

Kalau kita menggunakan permutasi , maka

P_{3}^{7}=P_{(7,3)}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7!}{4!}=\frac{7\times 6\times 5\times \not{4!}}{\not{4!}}=210.

\boxed{40}. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu lima adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{9}\\\\ B. & \frac{7}{18}\\\\ C. & \frac{1}{2}\\\\ D. & \frac{5}{9}\\\\ E. & \frac{11}{18} \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{tabular}.

Kalau kita sederhanakan jika 2 dadu dilempar/undi adalah

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline Jumlah(36)&0&1&2&3&4&5&6&5&4&3&2&1\\\hline \end{tabular}.

Sehingga jumlah mata dadu genap ada (yang selanjutnya kita sebut sebagai reprentasi himpunan A)

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu\: genap&&2&&4&&6&&8&&10&&12&Jumlah\\\hline S=Jumlah(36)&&1&&3&&5&&5&&3&&1&18\\\hline \end{tabular}.

Dan jumlah mata dadu 5 ada sebanyak (yang selanjutnya kita sebut sebagai reprentasi himpunan B)

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu\: semuanya&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&Jumlah\\\hline S=Jumlah(36)&&&&&4&&&&&&&&4\\\hline \end{tabular}.

Jadi peluang muncul mata jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu 5 adalah

P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )=\frac{n\left ( A \right )}{n\left ( S \right )}+\frac{n\left ( B \right )}{n\left ( S \right )}=\frac{18}{36}+\frac{4}{36}=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}.

 

Mohon maaf apa bila terdapat banyak kekurangan dan ataupun kesalahan

Salam sukses untuk kita semua.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan dan tag . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s