Barisan dan Deret (2)

A. Barisan Geometri

Perhatikalah susunan bilangan berikut ini

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{4},\: \frac{1}{8},\: \frac{1}{16},\: ...

Dari pola bilangan di atas kita menndapatkan bahwa

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\: \frac{1}{2}\times\frac{1}{4} ,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{8},\: ...

sehingga ada hal menarik, yaitu

\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{u_{3}}{u_{2}}=\frac{u_{4}}{u_{3}}=...=\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{1}{2}

selanjutnya dapat kita tuliskan

u_{1}=a=1\\ u_{2}=u_{1}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\: \Leftrightarrow \: u_{2}=a.r\\ u_{3}=u_{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{4}\: \Leftrightarrow \: u_{3}=a.r^{2}\\ u_{4}=u_{3}\times\frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{8}\: \Leftrightarrow \: u_{4}=a.r^{3} \\ ...=...\\ u_{n}=a.r^{n-1}.

Pembanding yang selalu tetap selanjutnya disebut sebagai rasio  dalam hal ini adalah r.

2. Deret Geometri

deret geometri adalah penjumlahan pada suku-suku yang memiliki pola geometri.

Misalkan

S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}

Untuk mencari besar S_{n} , maka dengan mengalikan sebesar r  ke S_{n}  kita mendapatkan bahwa

rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+...+ar^{n}

 S_{n}-rS_{n}=\left ( a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1} \right )-\left ( ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}+ar^{n} \right )\\ \left ( 1-r \right )S_{n}=a-ar^{n}=a\left ( 1-r^{n} \right )\\ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan berikut

4,1,\frac{1}{4},\frac{1}{6},...

Jawab:

u_{10}=ar^{10-1}=ar^{9}\left\{\begin{matrix} a & = & 4\\ r & = & \frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{1}{4} \end{matrix}\right..

maka

u_{10}=ar^{9}=4.\left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{-1}\times \left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{8}.

2. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari

4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...

Jawab:

Dengan suku pertama dan rasio seperti pada soal no. 1 kita mendapatkan

S_{10}=\frac{4.\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{3}\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )

3. Suatu deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 deret tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 adalah u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}.  Sehingga

u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}\\ u_{2014}=\left ( 3.2^{2014}-1 \right )-\left ( 3.2^{2013}-1 \right )\\ =3.2^{2014}-3.2^{2013}\\ =3.2^{2013}\left ( 2-1 \right )\\ =3.2^{2013}.

4. Diketahui deret geometri dengan \frac{u_{4}}{u_{6}}=p dan u_{2}\times u_{8}=\frac{1}{p} , maka suku pertama deret geometri tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} \frac{u_{4}}{u_{6}} &= & p\\ & & \\ u_{2}\times u_{8}&=&\frac{1}{p} \end{matrix}\right.

maka

\frac{u_{6}}{u_{4}}=\frac{ar^{5}}{ar^{3}}=r^{2}=\frac{1}{p}\\ dan\\ u_{2}\times u_{8}=ar\times ar^{7}=a^{2}r^{8}=\left ( ar^{4} \right )^{2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow \: u_{5}=\sqrt{\frac{1}{p}}\\ sehingga\\ u_{5}=ar^{4}=a\left ( r^{2} \right )^{2}\Leftrightarrow \: \sqrt{\frac{1}{p}}=a\left ( \frac{1}{p} \right )^{2}\\ a=p^{2}\times \sqrt{\frac{1}{p}}=p\times p\times p^{-\frac{1}{2}}=p\times p^{\frac{1}{2}}=p\sqrt{p}

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret geometri  1+\frac{4}{5}+\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}+....
  2. Diketahui deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-20 deret tersebut adalah… .
  3. Jika suku pertama barisan geometri adalah \sqrt[3]{x} dan suku ke-2 adalah \sqrt{x} , maka suku ke-20 adalah…
  4. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 adalah suku ke… .
  5. Tentukanlah suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  3-2+\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+....
  6. Tentukanlah  suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  4+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+....
  7. Jika pada deret geometri u_{1}=x^{-2}\: ,\: u_{5}=x^{2}\: ,dan\: u_{9}=64 , maka u_{7}=....
  8. Jika jumlah n suku dari sebuah deret geometri yang rasionya r adalah S_{n}, maka nilai \frac{S_{6n}}{S_{3n}}=....

 

Sumber Referensi

  1. Wajik S, Jero, Suardhana Linggih dan Yose Rizal Syahrudin. 1981 . Ringkasan
    Matematika IPA . Bandung: Ganeca Exact.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s