Relasi dan Fungsi

A. Relasi

1. Pendahuluan

  • Pasangan terurut; didefinisikan sebagai pasangan bilangan (x,y) dengan x menempati urutan pertama dan y menempati urutan kedua. Selanjutnya pasangan (x,y) disebut koordinat, dengan x sebagai absis dan y sebagai ordinat.
  • Produk kartesius; jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk kartesius dari himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan  x ∈ A dan y ∈ B. Selanjutnya produk kartesius dari dua himpunan A dan B dituliskan sebagai   A\times B=\left \{ \left ( x,y \right )|\: x\: \epsilon \: A\: \: dan\: \: y\: \epsilon\: B \right \}

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

Misal  A=\left \{ 7,8,9 \right \} dan B=\left \{ 4,5 \right \}, maka tentukanlah A x B dan B x A

Jawab:

A\times B=\left \{ (7,4),(7,5),(8,4),(8,5),(9,4),(9,5) \right \} B\times A=\left \{ (4,7),(4,8),(4,9),(5,7),(5,8),(5,9) \right \}
  • Sebagai definisi berikutnya; untuk A x B produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi R dari himpunan A ke B  adalah sembarang himpunan bagian dari produk kartesius A x B

Perhatikan kembali contoh si atas. Dari contoh di atas kita dapat menemukan beberapa himpunan bagian dari B x A yaitu di antaranya  sebagai berikut

R_{1}=\left \{ (4,7),(4,8),(4,9),(5,7) \right \}.

R_{2}=\left \{(4,8),(4,9),(5,7) \right \}.

R_{3}=\left \{(4,8),(5,7) \right \}.

 

2. Beberapa hal tentang relasi

Perhatikanlah ilustrasi berikut

45

atau

46

[sumber]

 Beberapa hal tersebut adalah

  • Untuk pasangan terurut (x,y)  dengan x ∈ A dan y ∈ B , maka \left \{ \left ( x,y \right )|\: x\: \epsilon \: A \: dan \: y\: \epsilon\: B \right \} dinamai relasi x ∈ A ke y ∈ B dan dinotasikan dengan  x R y
  • himpunan A adalah daerah asal (Domain) dari relasi R
  • himpunan B adalah daerah kawan (kodomain) dari relasi R
  • himpunan bagian dari B dengan x R y  atau y ∈ B adalah daerah hasil/jelajah (Range) dari relasi R

Untuk memperjelas

47

[sumber]

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Jika R suatu relasi dari A ke B , di mana A=\left \{ 2,3,4 \right \} dan B=\left \{ p,q \right \} serta R=\left \{ (2,p),(2,q),(3,q) \right \}, maka 2 R p, 2 R q, 3 R q, tetapi 3 \not{R} p.

2. Pada soal no.1 jelajah dari R adalah R=\left \{ p,q \right \}

 

B. Fungsi(Pemetaan)

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi

  • Setiap x dari domain hanya akan berkaitan dengan satu y, unsur sari kodomain.
  • Pada suatu fungsi tidak ada pasangan terurut  dengan absis yang sama, tetapi untuk ordinat boleh sama.
  • Setiap unsur pada Domain harus terpakai dan harus berkaitan hanya tepat satu unsur pada kodomain.
  • Semua unsur pada kodomain tidak harus punya pasangan dari unsur-unsur domain (tidak harus habis terpakai).
  • Suatu fungsi dari himpunan A ke B dilambangkan dengan  f : A → B.
  • Untuk x ∈ A dan y ∈ B pada  f : A → B  , x disebut pra peta (variabel bebas) dan y disebut peta dari x jika x berkaitan dengan y(variabel terikat) dan dituliskan sebagai y = f(x).
  • Daerah asal (domain) fungsi f adalah himpunan A dan dilambangkan dengan D_{f}.
  • Daerah kawan (kodomain) fungsi f adalah himpunan B dan dilambangkan dengan K_{f}.
  • Himpunan sumua peta (daerah hasil) di kodomain disebut jelajah f dan dilambangkan dengan R_{f}.

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Nyatakan relasi berikut apakah fungsi atau bukan fungsi

a) 48     b) 49

c) 51       d) 52

[sumber]

 

Jawab:

a), b), dan d) adalah fungsi sedangkan c) bukan fungsi karena terdapat  2 anggota himpunan asal(domain) tidak memiliki kawan di daerah kawan(kodomain)

2. Tentukan domain, kodomain, dan rang fungsi yang ditunjukkan oleh gambar berikut

53

[sumber]

Jawab:

Himpunan  A=\left \{ 1,2,3 \right \} adalah himpunan asal atau domain dari fungsi f, sehingga D_{f}=\left \{ 1,2,3 \right \}.

Sedangkan himpunan  B=\left \{ 4,5,6,7,8 \right \}  adalah daerah kawan atau kodomain fungsi f, sehingga K_{f}=\left \{ 4,5,6,7,8 \right \}.

Sedangkan untuk hasilnya dari fungsi f adalah range yaitu R_{f}=\left \{ 5,6,7 \right \}.

3. Perhatikanlah gambar berikut!

manakah yang merupakan fungsi, jika daerah asalnya adalah sumbu X

a) 54

 b) 55

 c) 56

d) 57

e) 58

Jawab:

Dengan memperhatikan definisi fungsi, maka gambar a) dan c) bukan termasuk fungsi, karena dengan sebuah anggota daerah asal (prapeta) ternyata akan memiliki pasangan lebih dari satu dari anggota daerah kawan(peta ).

4) Tentukanlah daerah asal di anggota himpunan bilangan real dari fungsi berikut

a) f(x)=2x+1.

b) g(x)=x^{2}+2x-3.

c) h(x)=\: ^3\log\left ( 2x-3 \right ).

d) f(x)=\sqrt{3x+2}.

e) g(x)=\frac{4x-2}{2x+1}.

f) g(x)=\sqrt{\frac{4x-2}{2x+1}}.

Jawab:

Untuk a) dan b) semua x ∈ ℜ memenuhi. Untuk c) karena fungsi logaritma, maka perhatikanlah syarat numerusnya yaitu 2x-3> 0  sehingga 2x-3> 0\: \: \Rightarrow \: 2x> 3\: \Rightarrow \: \: x> \frac{3}{2}.

Sedangkan untuk d) daerah asalnya adalah 2x+3\geq 0, sehingga 2x+3\geq 0\: \: \Rightarrow \: 2x\geq -3\: \: \Rightarrow \: x\geq -\frac{3}{2}. Sedangkan e) supaya terdefinisi di ℜ , maka 2x+1\neq 0 . Sehingga 2x+1\neq 0\: \: \Rightarrow \: 2x\neq -1\: \:\Rightarrow \: x\neq -\frac{1}{2}. Untuk  f) supaya terdefinisi di ℜ , maka \frac{4x-2}{2x+1}\geq 0. Sehingga \frac{4x-2}{2x+1}\geq 0 \: \: \Leftrightarrow \: \: \left ( 4x-2 \right )\left ( 2x+1 \right )\geq 0\: \: \Leftrightarrow \: \: x< -\frac{1}{2}\: \: atau\: \: x\geq \frac{1}{2}.

5. Diketahui f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+5}. Tentukanlah

a) f(2x).

b) f\left ( \frac{1}{2} \right ).

c) f(x+2).

d) f(-x).

e) f\left ( x\sqrt{x} \right ).

f) f(x+h).

g) f(f(x)).

Jawab:

a) \LARGE{f(2x)=\frac{2x-1}{\left ( 2x \right )^{2}+5}=\frac{2x-1}{4x^{2}+5}}.

b) f\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{\frac{1}{x}-1}{\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+5}=\frac{x-x^{2}}{1+5x^{2}}.

c) f(x+2)=\frac{\left ( x+2 \right )-1}{\left ( x+2 \right )^{2}+5}=\frac{x+1}{x^{2}+4x+9}.

d) f(-x)=\frac{\left ( -x \right )-1}{\left ( -x \right )^{2}+5}=\frac{-x-1}{x^{2}+5}.

e) f\left ( x\sqrt{x} \right )=\frac{x\sqrt{x}-1}{\left ( x\sqrt{x} \right )^{2}+5}=\frac{x\sqrt{x}-1}{x^{3}+5}.

f) f(x+h)=\frac{x+h-1}{\left ( x+h \right )^{2}+5}=\frac{x+h-1}{x^{2}+2xh+h^{2}+5}.

g) f(f(x))=\frac{\left ( \frac{x-1}{x^{2}+5}\right )-1}{\left ( \frac{x-1}{x^{2}+5} \right )^{2}+5}\: ,\: silahkan\: \: dilanjutkan\:\: sendiri\: \: sebagai\: \: latihan.

6. Sketsalah grafik fungsi f(x)=\left | x^{2}-4 \right |.

Jawab:

60

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Relasi dari M=\left \{ 0,1,2,5 \right \} ke N=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \} adalah ” satu kurangnya dari ”  .Tentukanlah domain, kodomain, dan range serta sajikan relasi itu ke dalam diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan terurut.

2. Tentukan domain, kodomain , dan range dari fungsi f yang ditunjukkan oleh diagram panah di bawah!

61

[sumber]

3. Tentukanlah daerah asal dari fungsi-fungsi berikut

a) f(x)=3x-1.

b) f(x)=x^{2}+9x+14.

c) f(x)=\: ^{5}\log \left ( 3x-7 \right ).

d) f(x)=\sqrt{9-x^{2}}.

e) f(x)=\sqrt{\frac{x}{3-2x}}.

f) f(x)=\frac{3x}{x^{2}-x-2}.

4. Diketahui daerah asal suatu fungsi adalah D_{f}=\left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right \} . Tentukanlah daerah hasil fungsi-fungsi berikut

a) f(x)=-3x+1.

b) f(x)=x^{2}-2x-3.

c) f(x)=x^{3}-4x+5.

d) f(x)=\frac{2}{x+4}.

e) f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}.

f) f(x)=\log \left ( x^{2}-2x+7 \right ).

5. Fungsi   f : R → R yang ditentukan oleh f(x)=x^{2}-2x-2. Tentukanlah

a) Domain dan range dari f.

b) Range fungsi f , jika domain f\left \{ x\: |-1\leq x\leq 2,x\: \epsilon \mathbb\: {R} \right \}.

c) Range fungsi f , jika domain f\left \{ x\: |0\leq x\leq 3,\: x \: \epsilon \: \mathbb{Z}\right \}.

d) Domain f , jika range f\left \{ 1,22 \right \}.

e) m , jika f(m)=78.

f) f(-20)-f(14)

6. Diketahui kurva fungsi g yang didefinisikan

g(x)=\left\{\begin{matrix} 2x+8 & , & untuk & -4\leq x\leq -2\\ x^{2} & , & untuk & -2\leq x\leq 2\\ -2x+8 & , & untuk & 2\leq x\leq 4 \end{matrix}\right..

a) buatlah sketsa grafik fungsi itu

b) Tentukanlah nilai g(-1),g(1),g(-3),\: dan\: \: g(3).

Sumber Referensi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
  4. Wajik S, Jero, Suardhana Linggih dan Yose Rizal Syahrudin. 1981 . Ringkasan
    Matematika IPA . Bandung: Ganeca Exact.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s