Contoh Soal Matriks

1. Jika diketahui matriks  A=\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: B=\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}\: ,\: C=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix},  tentukanlah

\begin{matrix} a. & A & + & B \\ b. & B & + & A \\ c. & B & - & C \\ d. & C & - & B \\ e.&(A+B)&+&C\\ f.&A&+&(B+C)\\ g.&(B-C)&-&A\\ h.&B&-&(A-C) \end{matrix}

Jawab:

a. A+B=\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2+-1\\ -3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}.

b. B+A=\begin{pmatrix} -\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+-2\\ 4+-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}.

c. B-C=\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-5\\ 4--2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6\\ 6 \end{pmatrix}.

d. C-B=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5--1\\ -2-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ -6 \end{pmatrix}

d, e, f, g, h sebagai latihan.

2. Diketahui  A=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & -1\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\: ,\: B=\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}\: ,\: C=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -3 & 4\\ 5 & 1 \end{pmatrix}\: ,\: dan\: D=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\ -2 & 7 & 5 \end{pmatrix}. Tentukanlah matrik yang diwakili oleh

\begin{matrix} a.&A &+&B \\ b. &A^{t}&+&B^{t} \\ c. &B&-&C \\ d. &B&+&D^{t} \\ e. &C^{t}&+&D \\ f. &(A+B)^{t} \end{matrix}

Jawab:

a. A+B=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & -1\\ 1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4 & 4+8\\ 3+3 & -1+2\\ 1+(-3) &5+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 12\\ 6 & 1\\ -2 & 9 \end{pmatrix}.

b. A^{t}+B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 3 & -3\\ 8 & 2 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4 & 3+3 & 1+(-3)\\ 4+8 & (-1)+2 & 5+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 6 & -2\\ 12 & 1 & 9 \end{pmatrix}.

c. B-C=\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -3 & 4\\ 5 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-1 & 8-2\\ 3--3 & 2-4\\ -3-5 & 4-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 6\\ 6 & -2\\ -8 & 3 \end{pmatrix}.

d,e, dan f sebagai latihan.

3. Jika  A=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\: \: dan\: \: B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix} , maka tentukanlaj

\begin{matrix} a. & A^{2} \\ b. & B^{2} \\ c. & \left ( AB \right )^{2} \\ d. & A^{2}.B^{2} \\ e. & \left ( A-B \right )\left ( A+B \right ) \\ f. & \left ( A^{2}-B^{2} \right ) & & \\ g. & Apakah &\left ( AB \right )^{2}=A^{2}.B^{2} \\ &dan& \left ( A^{2}-B^{2} \right )=\left ( A-B \right )\left ( A+B \right ) \end{matrix}

Jawab:

a. A^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-9 & -3+3\\ 3-3 & -9+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8 & 0\\ 0 & -8 \end{pmatrix}

b. B^{2}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-3 & -1-2\\ 3+6 & -3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -3\\ 9 & 1 \end{pmatrix}

c. AB=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+9 & 1+6\\ -3+3 & 3+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}

d. \left ( AB \right )^{2}=\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 64+0 & 56+42\\ 0+0 & 0+36 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 64 & 98\\ 0 & 36 \end{pmatrix}

untuk e, f, dan g sebagai latihan

4. Tentukan nilai x dan y jika \begin{pmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}

Jawab:

misalkan A=\begin{pmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\: ,\: X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\: ,dan\: B=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}

\boxed{AX=B}\: \: \Rightarrow \: \: \boxed{X=A^{-1}B}

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{\begin{vmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{vmatrix}}.\begin{pmatrix} 2 & -5\\ -3 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{12-15}\begin{pmatrix} 8-5\\ -12+6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3}{-3}\\ \frac{-6}{-3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}.

Jadi, x = -1 dan y = 2

5. Hasil kali akar-akar persamaan \begin{vmatrix} 3x-1 & 3\\ x+1 & x+2 \end{vmatrix}=0 adalah… .

Jawab:

\begin{vmatrix} 3x-1 & 3\\ x+1 & x+2 \end{vmatrix}=\left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right )-3\left ( x+1 \right )=3x^{2}+6x-x-2-3x-3=3x^{2}+2x-5=0.

maka  3x^{2}+2x-5=0\:\left\{\begin{matrix} a & = & 3\\ b & = & 2\\ c & = & -5 \end{matrix}\right.

Sehingga hasil kali akar-akarnya adalah   x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-5}{3}

6. Jika A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 6\\ 8 & 3 & 9\\ 4 & 1 & 7 \end{pmatrix} , maka determinan A  adalah… .

Jawab:

det A = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 6\\ 8 & 3 & 9\\ 4 & 1 & 7 \end{vmatrix}=5.3.7+2.9.4+6.1.8-4.3.6-1.9.5-7.8.2=225-229=-4.

7. Diketahui f(x)=x^{2}-2x\: \: dan\: \: A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}.\: \: Nilai \: f(A)\: adalah... .

Jawab:

F(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 9 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 6 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 3 & 0 \end{pmatrix}

8. Jika matriks A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\ 4 & 6 & x\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} adalah matriks singular, maka nilai x adalah… .

Jawab:

Karena A matriks singular, maka det A = 0.

Sehingga untuk \begin{vmatrix} 2 &3 & 5\\ 4 & 6 & x\\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=7x-70=0\: \: \Rightarrow \: \: x=10

9. Jika x memnuhi persamaan

\begin{pmatrix} ^x\log a & \log \left ( 2a-6 \right )\\ \log \left ( b-2 \right ) & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \log b & 1\\ \log a & 1 \end{pmatrix},

maka nilai x adalah… .

Jawab:

Dari soal kita mendapatkan bahwa untuk kesamaan matriks di atas terdapat

\left\{\begin{matrix} ^x\log a & = & \log b \\ \log \left ( 2a-6 \right ) & = & 1 \\ \log \left ( b-2 \right ) & = & \log a \end{matrix}\right.

  • \log \left ( 2a-b \right )=\log 10\: \: \Rightarrow 2a-6=10\: \: \Rightarrow \: \: a=8
  • \log \left ( b-2 \right )=\log a\: \: \Rightarrow \: \: b-2=a=8\: \: \Rightarrow \: \: b=10
  • ^x\log a=\log b\: \: \Rightarrow \: \: ^x\log 8=\log 10=1\: \: \Rightarrow \: \: x^{1}=8\: \:\Rightarrow \: \: x=8

Jadi, nilai x = 8.

10. Tentukan determinan dari

\begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a &b \\ b & c & a \end{pmatrix}

Jawab:

\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc-abc-abc.

sehingga

\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc

11. Buktikan bahwa

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a& b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=4abc

Bukti

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a & b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )+abc+abc-bc\left ( b+c \right )-ab\left ( a+b \right )-ac\left ( a+c \right ).

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a & b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=abc+a^{2}b+ac^{2}+a^{2}c+b^{2}c+ab^{2}+bc^{2}+abc+abc+abc-bc\left ( b+c \right )-ab\left ( a+b \right )-ac\left ( a+c \right )=4abc.  terbukti

12. Tentukan determinan dari matriks

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{pmatrix}

Jawab:

perhatikanlah kembali soal no.10) apa bila saat \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right ), kita medapatkan

\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )=abc+a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}-a^{2}b-b^{2}c-ac^{2}-abc.

untuk

\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{vmatrix}=bc^{2}+a^{2}c+ab^{2}-a^{2}b-b^{2}c-ac^{2}=\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right ).

13. Jika

\begin{pmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}^{2013}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

maka nilai x adalah… .

Jawab:

diketahui   \begin{pmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}^{2013}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

determinankan kedua ruas sehingga didapat

\begin{vmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}^{2013}=0.

\begin{vmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=\sqrt[2013]{0}=0.

0+9+4x-3x-18+0=0\: \: \Rightarrow \: \: x-9=0\: \: \Rightarrow \: \: x=9.

jadi, nilai x adalah 9.

14. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan metode determinan

\left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y & - & z & =&11\\ x & + & 2y & + & z &=&3 \\ 3x & - & y & + & 2z & =&4 \end{matrix}\right.

Jawab:

kita mencari nilai x, y, dan z dengan x=\frac{D_{x}}{D}\: ,\: \: y=\frac{D_{y}}{D}\: ,dan\: \: z=\frac{D_{z}}{D}

serta nilai

D=\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}=8+9+1-(-6)-(-2)-6=20.

D_{x}=\begin{vmatrix} 11 & 3 & -1\\ 3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix}=44+12+3-(-8)-(-11)-18=60.

D_{y}=\begin{vmatrix} 2 & 11 & -1\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix}=12+33+(-4)-(-9)-8-22=20.

D_{z}=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 11\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}=16+27+(-11)-66-(-6)-12=-40.

Sehingga

\left\{\begin{matrix} x & = & \frac{D_{x}}{D} & =\frac{60}{20}=3\\ y & = & \frac{D_{y}}{D} & =\frac{20}{20}=1\\ z & = & \frac{D_{z}}{D} & =\frac{-40}{20}=-2 \end{matrix}\right.

Jadi, penyelesaian untuk SPLTV tersebut di atas adalah x = 3 , y = 1 , dan z = -2.

Sumber Referensi

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Program IPA Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  2. Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA Untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.

Internet

  1. http://math.sun.ac.za/~swagner/TMO/CompleteSolutions2013.pdf

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s