Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat Dua Variabel

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel(SPLDV)

Perhatikan kembali tentang materi Siatem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Beberapa metode penyelesaiannya adalah sebagai berikut

 1. Dengan metode grafik

sebagaimana contoh berikut

a)

16

dan

b)

17

2. Dengan metode eliminasi dan atau substitusi

Perhatikan contoh poin b) di atas. Jika dua buah garis dengan persamaan 3x+y=4  dan 2x-y=1, maka untuk mencari titik potong kedua garis tersebut kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi atau gabungan keduanya.

Misalkan kita ingin menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi, maka

\begin{matrix} 3x&+&y&=&4& \\ 2x& -&y&=&1&\\ \end{matrix}

————————-  +

5x=5

  x=1

Selanjutnya nilai x=1 dimasukkan kesalah satu persamaan, misalkan ke 3x + y = 4, sehingga

x=1\: \: \Rightarrow \: \: 3\left ( 1 \right )+y=4\: \: maka\: \: akan\: \: diperoleh \: \: y=1

Coba cermati lagi ternyata titik potong kedua garis tersebut terletak di (1,1), tepat sebagaimana gambar grafik di atas.

B. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=0}

dengan \: \: a,b,c\: \epsilon \: \: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0

Cara penyelesaian persamaan kuadrat di antaranya sebagai berikut

Persamaan kuadrat \mathbf{ax^{2}+bx+c=0}\: \: dengan\: \: \mathbf{a,b,c\: \epsilon\: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0 } memiliki akar-akar  \mathbf{x_{1}\: \: dan\: \: x_{2}}  di mana cara memperolehnya dapat menggunakan salah satu di antara 3 cara sebagaimana berikut; pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan formula abc.

1. Pemfaktoran

\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0}

untuk koefisien  x^{2} lebih dari 1, maka ubahlah menjadi  bentuk

\LARGE\boxed{\frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0}

Contoh:

a. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat  x^{2}-3x-10=0

Jawab:

x^{2}-3x-10=\left ( x+2 \right )\left ( x-5 \right )=0 \Leftrightarrow \: \: x=-2\: \: atau \: \: x=5

 

b. Tentukan akar-akar dari persamaan  2x^{2}-3x-5=0

Jawab:

2x^{2}-3x-5=\frac{1}{2}\left ( 2x+2 \right )\left ( 2x-5 \right )=\left ( x+1 \right )\left ( 2x-5 \right )=0 \Leftrightarrow \: \: x=-1\: \: atau\: \: x=\frac{5}{2}

 

2. Melengkapkan kuadrat sempurna

ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a,

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}},

x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2},

\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}},

\LARGE\boxed{\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}.

 

Contoh:

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar dari  2x^{2}-3x-5=0

 

Jawab:

2x^{2}-3x-5=0.

\frac{2x^{2}}{2}-\frac{3x}{2}-\frac{5}{2}=\frac{0}{2},

x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},

x^{2}-\frac{3}{2}x+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2},

\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}},

\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )=\pm \sqrt{\frac{5}{2}+\frac{9}{16}}=\pm \sqrt{\frac{49}{16}}=\pm \frac{7}{4}},

\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3}{4}\pm \frac{7}{4}},

\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=\frac{3-7}{4}=-1}.

 

c. formula abc

Perhatikan kembali langkah pada melengkapkan kuadrat sempurna. formula abc sebenarnya pengembangan dari bagian langkah akhirnya.

ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a,

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}},

x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2},

\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}},

\Large{x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} },

\LARGE\boxed{x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

 

Contoh:

Dengan menggunakan formula abc, tentukan akar-akar dari  2x^{2}-3x-5=0

 

Jawab:

2x^{2}-3x-5=0\left\{\begin{matrix} a &=&2 \\ b &=&-3 \\ c &=&-5 \end{matrix}\right.

\Large{x=\frac{-(-b)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4(2)(-5)}}{2(2)}},

\Large{x=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{4}},

\Large{x=\frac{3\pm 7}{4}},

\Leftrightarrow \: \: x=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=-1.

 

c. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dua Variabel

Bentuk umum:

\left\{\begin{matrix} y &= &ax &+&b \\ y &= &px^{2} &+&qx&+&r \end{matrix}\right.

Langkah-langkah penyelesaian:

  • Substitusikan y=ax+b ke bagian y=px^{2}+qx+r, diperoleh ax+b=px^{2}+qx+r. Sehingga kita mendapatkan px^{2}+(q-a)x+(r-b)=0
  • Nilai-nilai x pada langkah pertama disubstitusikan ke y=ax+b atau y=px^{2}+qx+r
  • Nilai x yang ada tergantung dari nilai diskriminan D persamaan kuadrat , yaitu  \LARGE{D=\left ( q-a \right )^{2}-4p\left ( r-b \right )}

Untuk rincian nilai D sebagai berikut:

\begin{tabular}{|c|c|r|r|}\hline \emph{No}& \multicolumn{1}{|r|}{\emph{Jenis Nilai D}}&{\emph{penjelasan nilai D}}\\\hline 1&\boxed{D>0}&sistem persamaan mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 2&\boxed{D=0}&sistem persamaan mempunyai tepat satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 3&\boxed{D<0}&sistem persamaan tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline\end{tabular}

Contoh:

Tentukan penyelesaian SPLKDV  dari y=x+1  dan  y=x^{2}-3x+4 dan buatlah pula gambar grafiknya?

Jawab:

Langkah pertama yaitu kita samakan-y nya, yaitu \Large\fbox{y=y}

x^{2}-3x+4=x+1\: \: \Leftrightarrow \: \: x^{2}-4x+3=0,

\Leftrightarrow \: \: \left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right )=0,

\Leftrightarrow \: \: x=1\: \: \: atau\: \: \: x=3

dengan memasukkan nilai x ke persamaan y=x+1 , maka diperoleh nilai y sebagai berikut:

\left\{\begin{matrix} x &= &1, &y=1+1&=&2&titiknya&(1,2) \\ x &= &3, &y=3+1&=&4&titiknya&(3,4) \end{matrix}\right.

Untuk gambar grafiknya perhatikan ilustrasi berikut:

29

[sumber]

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV \left\{\begin{matrix} 2x & - & 3y & = &-12 \\ 3x & + & 5y & = & 1 \end{matrix}\right.
  2. Enam tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu adalah sebelas kali selisihnya. jika sekarang umur ayah adalah tujuh per enam umur ibu, maka jumlah umur mereka berdua sekarang adalah… .
  3. Jika pembilang sebuah pecahan ditambah 2, maka nilai pecahan tersebut menjadi \frac{1}{4}. Dan jika penyebutnya dikurangi 5, maka nilai pecahannya menjadi \frac{1}{5}. Tentukan nilai pecahan yang dimaksud!
  4. Diketahui jumlah dua buah bilangan adalah 16 dan jumlah kuadratnya sama dengan 146. carilah bilangan-bilangan yang dimaksud?
  5. Selisih dua buah bilangan sama dengan hasil kalinya serta jumlah kebalikannya adalah 5. Tentukan bilangan-bilangan yang dimaksud!
  6. Tanpa menyelesaikan sistem persamaan berikut, tentukan banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan \left\{\begin{matrix} y & = & 6x & - & 4\\ y & = & x^{2} & - &13 \end{matrix}\right.
  7. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLKDV dari \left\{\begin{matrix} y & = & 3x & + & 1\\ y & = & x^{2} & - &9 \end{matrix}\right., kemuadian buatlah gambar grafiknya!
  8. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \left\{\begin{matrix} x^{2} & - & y^{2} & = & 8\\ x^{2} & - & 2xy & - &y^{2}&=&2 \end{matrix}\right.

 

Sumber Referensi:

  1. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA Untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.
  2. Sobirin. 2005. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 1. Jakarta: Kawan Pustaka

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s