Matriks

A. Pengertian Matriks

Perhatikan ilustrasi dari data berikut:

images (3)

[sumber]

Dari ilustrasi di atas, ada bilangan 5, 12, 17, dan 23 di barisan atas atau pertama. Kemudian 6, 18, 22, dan 30 di barisan kedua serta 9 , 27, 33, dan 45 berada di barisan ketiga dari susunan bilangan-bilangan sebagaimana ilustrasi di atas.

Perhatikan juga bilangan 5, 6, dan 9 berada di kolom pertama(kita sebut saja demikian) dan 12, 18, dan 27 berada di urutan kolom kedua begitu seterusnya. Susunan bilangan-bilangan tersebut sebagaimana ilustrasi di atas selanjutnya dinamakan matriks. Jadi matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan atau elemen-elemen yang diatur dalam baris dan kolom dan diletakkan di dalam kurung biasa ” ( ) ” ataupun kurung siku ” [ ] “..

\LARGE\fbox{Contoh Dalam Kehidupan Sehari-Hari}

1. Diketahui data hasil penjualan tiket penerbangan tujuan Semarang dan Solo, dari sebuah agen tiket, selama empat hari berturut-turut disajikan dalam tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline Tujuan&hari\: ke&I&II&III&IV\\ \hline Semarang&&3&4&2&5\\ \hline Solo&&7&1&3&2\\ \hline\end{tabular}

Data di atas dapat disederhanakan menjadi matriks berikut

\begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 & 5\\ 7 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}

2. Seorang wisatawan domestik hendak berlibur ke beberapa tempat tujuan wisata yang terdapat di pulau Jawa. untuk mengoptimalkan waktu kemudian wisatawan tersebut mencatat beberapa jarak  antar kota, sebagai berikut:

\begin{matrix} Bandung-Bogor &126&km& &Bandung-semarang &367&km \\ Bandung-Cirebon & 130&km& &Bandung-Yogyakarta &428&km \\ Bandung-Surabaya& 675 &km& &Bogor-Cirebon&256&km \\ Bogor-Surabaya&801&km& &Cirebon-Yogyakarta &317&km \\ Bogor-Semarang &493&km& &Surabaya-Semarang &308&km \\ Bogor-Yogyakarta &554&km & &Surabaya-Yogyakarta &327&km \\ Cirebon-Surabaya &545&km & &Semarang-Yogyakarta &115&km \\ Cirebon-Semarang &237&km & & & \end{matrix}

Tentukanlah susunan antar kota tujuan tersebut, seandainya wisatawan domestik tersebut hendak memulai perjalanannya dari Bandung.

Jawab:

Data dari soal di atas dapat kita tuliskan jarak antar kota di Pulau Jawa apabila di Mulai dari Bandung

\begin{tabular}{|r|r|r|r|c|c|c|c}\hline Tujuan&Bandung&Cirebon&Semarang&Yogyakarta&Surabaya&Bogor\\\hline Bandung&0&130&367&428&675&126\\\hline Cirebon&130&0&237&317&545&256\\\hline Semarang&367&237&0&115&308&493\\\hline Yogyakarta&428&317&115&0&327&554\\\hline Surabaya&675&545&308&327&0&801\\\hline Bogor&125&256&493&554&801&0\\\hline \end{tabular}

Jika wisatawan domestik tersebut ingin menampilkan jarak-jarak tersebut, maka ia dapat menuliskannya sebagai berikut

\begin{bmatrix} 0 &130 & 367 &428 & 675 &126 \\ 130 & 0 &237 &317 & 545 &256 \\ 367 & 237 & 0 &115 & 308 & 493\\ 428 & 317 &115 & 0 &327 &554 \\ 675 & 545 &308 & 437 &0 &801 \\ 126& 256 &493 & 554 & 801 &0 \end{bmatrix}

Hal-hal yang berkaitan dengan matriks

  • Nama matriks : Biasanya di wakili satu huruf kapital
  • Ordo matriks : Ukuran matriks; baris x kolom
  • Kesamaan dua matriks : Dua matriks dikatakan sama jika elemen-elemen yang seletak juga sama.
  • Jenis-jenis matriks: ada bermacam-macam jenis matriks; ada matriks kolom, matriks baris, matriks persegi, matriks diagonal, matriks identitas dan lain-lain.
\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut ini?

a. \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 9 \end{bmatrix}

b. \begin{bmatrix} 8 & 0 & 11\\ 2014 & 2013 & 2012 \end{bmatrix}

c. \begin{bmatrix} 2 &3 &4 &5 & 10\\ -5 &-3 & -2 & -1 &7 \\ 1& 1 & 6 &9 &-9 \end{bmatrix}

d. \begin{bmatrix} -2\\ -3\\ 6\\ -5 \end{bmatrix}

e. \begin{bmatrix} 2 & -5 &3 \end{bmatrix}

f. \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}

 

Jawab :

a. 2 x 2       b. 2 x 3      c. 3 x 5     d.  4 x 1    e.  1 x 3     f.  3 x 3

sebagai catatan misal untuk soal b) baris ada 2 dan banyak kolom 3 maka ordo matiks tersebut adalah 2 x 3

2. Jika  \begin{bmatrix} 1 &2 & 3\\ 4 & 5 &6 \\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b &c \\ d& e &f \\ g & h & i \end{bmatrix}  tentukan nilai ( a + b + c + d) – ( e + f + g + h + i ) ?

jawab:

(1+2+3+4) – (5+6+0+0+0)=10 – 11 = -1

3. Tentukan nilai  x dan y pada persamaan matriks berikut

\begin{bmatrix} 2x-3 & 20\\ 31& y+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 &20 \\ 31 & -2 \end{bmatrix}

 

Jawab:

2x-3=7\: \Rightarrow \: 2x=10\: \Rightarrow \: x=5\: \: dan\: \: y+2=-2\: \Rightarrow \: y=-4

 

B. Transpose Matriks

Transpose dari suatu matriks adalah baris dan kolom dipertukarkan. misalkan A adalah sebuah matriks maka transpose dari matriks A adalah A^{t} secara otomatis ordo matriksnya juga ikut menyesuaikan. Kalau matriknya persegi ordo tidk berubah tetapi kalau tdak persegi pasti berubah.

Misal sebuah matriks A=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3\\ 4 & 4 & 5 \end{bmatrix}, maka transpose matriks A adalah  A^{t}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}, perhatikan juga bahwa ordonya juga berubah.

\LARGE\fbox{Contoh}

Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi  D^{t}=E  dengan D=\begin{bmatrix} 2a-4 &3b \\ d+2a & 2c\\ 4& 7 \end{bmatrix}  dan E=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c &4 \\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

 

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa  D^{t}=E . Akibatnya \begin{bmatrix} 2a-4 & d+2a &4 \\ 3b& 2c &7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c & 4\\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

dari kesamaan di atas diperoleh fakta sebagai berikut:

  • 3b=3 maka b=1, dan 2c=6 maka c=3
  • 2a-4=b-5\: \: maka\: \: 2a-4=-4\: \: sehingga\: \: a=0
  • Karena a=0 maka d= – 3

Jadi, nilai a=0, b=1, c=3, dan d= -3

 

C. Operasi Sederhana Matriks

1. Penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks

Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan  hanya jika ordonya sama

Sebagai ilustrasi untuk matriks persegi ordo 2 x 2

 27

[sumber]

2. Perkalian dua buah matriks dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua

perhatikan ilustrasi berikut

26

[sumber]

3. Perkalian matriks dengan skalar

sebagai ilustrsinya

28

\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan nilai dari operasi matriks A.B
, jikaA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}, dan B=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}

Jawab:

30

[sumber]

2. Diketahui matriks P=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 5 & -6 \end{bmatrix}Q=\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix} , dan R=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 & 2 \end{bmatrix}. Jika  PQ=R, maka nilai a dan b berturut-turut adalah… .

Jawab:

PQ=R

\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 5&-6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

\begin{bmatrix} 10-b & 2a-3\\ 25-6b & 5a-18 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

Dari data di atas diperoleh \left\{\begin{matrix} 10 &- &b &=&4 \\ 2a &- &3 &=&5 \\ 25 &- & 6b &=&-11 \\ 5a &- &18 &=&2 \end{matrix}\right.

dari data di atas didapatkan pula bahwa a=4\: \: \: dan\: \: \: b=6

3. Jika diketahui matriks A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} , maka hitunglah A^{2014}

Jawab:

Perhatikan bahwa

A^{2}=AA=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}=-1\times \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=-1\times I=-I

Karena A^{2}=-I , maka A^{4}=I. Hal ini berarti setiap pangkat kelipatan 4 maka akan berupa matriks identitas ordo 2 x 2 .

Selanjutnya,  2014 dapat dituliskan sebagai 2014 = 4. (503) + 2 , akibatnya A^{2014}=A^{4.503+2}=A^{4.503}.A^{2}=I.A^{2}=A^{2}

Sehingga A^{2014}=A^{2}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}

\LARGE\fbox{Soal Latihan}

  1. Diketahui A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} dan B=\begin{bmatrix} 2 &2 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}. Tentukan nilai dari A.B
  2. Jika matriks P=\begin{bmatrix} 5 &-2a \\ 6 & x-1 \end{bmatrix} dan Q=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ -3 & a \end{bmatrix}. Jika P^{t}=Q, maka nilai x adalah… .
  3. Misalkan \begin{bmatrix} -1 & 3\\ -4& 2a \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 5 &3 \\ -4 &2 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} -8 &-b \\ 4 &4 \end{bmatrix} , maka nilai 2a+b
  4. Diberikan matriks A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}. Jika A^{2}=AA,\: \: A^{3}=A^{2}A,\: \:dan\: \: \: A^{4}=A^{3}A dan seterusnya, maka hitunglah A^{2014}

 

 

Sumber Referensi

  1. Budhi, Wono Setya. 2014. Bupena Matematika SMA/MA Kelas X Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga.
  2. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s