Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

A. Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah sistem persamaan  linier yang mempunyai bentuk

\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &=c_{1}\\ a_{2}x&+ &b_{2}y &=c_{2} \end{matrix}\right.

dengan a_{1},\: b_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: dan\: c_{1},\: c_{2} adalah bilangan real

B. Hubungan Dua Buah Garis Lurus(Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)

  • Jika kedua garis berpotongan, maka sistem persamaan linier memiliki sebuah penyelesaian. Hal ini terjadi jika \frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}
  • Jika kedua garis sejajar, maka sistem persamaan linier tidak memiliki penyelesaian. Hal ini jika \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}
  • Jika kedua garis itu berimpit, maka memiliki tak terhingga penyelesaian. ini terjadi saat  \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}}

Contoh ilustrasi persamaan linier dua variabel

17              dan            16

[Sumber]

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1.Penyelesaian sistem persamaan \left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14 \\ x& - & 2y &=6 \end{matrix}\right. adalah ….

Jawab:

perhatikan untuk \left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14\: ..........1) \\ x& - & 2y &=6 \: ............2) \end{matrix}\right.

Untuk persamaan 2)  x= 6 + 2y kita substitusikan ke persamaan 1). Selanjutnya kita mendapatkan 3(6+2y)-4y=14\: \Rightarrow 18+6y-4y=14\: \Rightarrow 2y=-4\: \Rightarrow y=-2\:\: \: .....................3)

Kemudian persamaan 3) disubstitusikan ke persamaan 2), maka akan didapatkan x = 2.

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x=2\: dan\: y=-2

2. Jika diketahui  x dan y memenuhi sistem persamaan \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1 dan \frac{1}{x}-\frac{2}{y}=8 , maka nilai \frac{1}{x+y} = ….

Jawab:

Dengan cara kurang lebih sama dengan pembahasan soal pada contoh no 1) di atas tetapi dengan gabungan eliminasi dan substitusi. Misalkan

\begin{matrix} \frac{2}{x} &+ &\frac{1}{y} &=1&|\times 2|&\frac{4}{x}&+&\frac{2}{y}&=2 \\ \frac{1}{x}&- & \frac{2}{y} &=8&|\times 1|&\frac{1}{x}&-&\frac{2}{y}&=8\\ \end{matrix}

——————————————————  +

\frac{5}{x}=10\: \Rightarrow x=\frac{1}{2}\: \: dan \: \: diperoleh\: \: y=-\frac{1}{3}

Jadi, nilai  \frac{1}{x+y}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6

3. Enam tahun yang lalu, umur Budi 4 tahun lebih muda dari seperenam umur ayahnya. Jika umur Budi sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan umur ayahnya, maka jumlah umur mereka berdua sekarang adalah ….

Jawab:

Misalkan umur Budi = x , dan umur ayahnya = y , maka persoalan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut

  • (x-6)+4=\frac{1}{6}(y-6)\: \Rightarrow x=\frac{1}{6}y+1\: .........(1)
  • x-3=\frac{1}{8}y\: \Rightarrow x=\frac{1}{8}y+3\: ............(2)

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh  \frac{1}{6}y+1=\frac{1}{8}y+3\: \Rightarrow y=48\: \: tahun,\: dan\: ahirnya\:\: diperoleh\:\: x= 9\:\: tahun

Jadi, jumlah umur mereka adalah 48 + 9 = 57  tahun.

C. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Sistem persamaan ini memiliki bentuk

\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &+&c_{1}z&=d_{1} \\ a_{2}x&+ & b_{2}y &+&c_{2}z&=d_{2} \\ a_{3}x &+ &b_{3}y &+&c_{3}z&=d_{3} \end{matrix}\right.

Untuk ketentuan yang lain kurang lebih sama seperti sistem persamaan linier dua variabel

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Himpunan penyelesaian sistem persaman

\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5 \\ y &+ &z &=6 \\ 2x&+ &y &+ &z&=4 \end{matrix}\right.

adalah {(x,y,z)}. Nilai untuk x + y + z = ….

Jawab:

Perhatikan bahwa

\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5&..........(1)\\ y &+ &z &=6&...........(2)\\ 2x&+&y&+&z&=4&..........(3) \end{matrix}\right.

Persamaan 2) disubsitusi ke persamaan 3)

2x+6=4\: \Rightarrow x=-1\: \: .........(4).  Kemudian persamaan 2) dan 4) dijumlahkan. Selanjutnya kita mendapatkan x+y+z=-1+6=5.

2. (OMITS SMP/MTs 2012) Ada 3 bilangan bulat. Jika masing-masing bilangan itu dipasangkan maka akan didapatkan jumlah 2006, 2010, dan 2012. Jumlah bilangan terbesar yang dimaksud adalah ….

Jawab:

Misalkan bilangan yang dimaksud adalah a, b, dan c, maka

\left\{\begin{matrix} a & + & b &=2006 \\ b & + & c &=2010 \\ c & + & a &=2012 \end{matrix}\right.

Selanjutnya jumlahkan ketiga persamaan tersebut di atas. Sehingga kita mendapatkan

2(a+b+c)=6028\: \Rightarrow \: a+b+c=3014

Maka bilangan terbesarnya adalah saat  (a+b+c)-(a+b)=3013-2006=1008=c

(yakni persamaan ke 4) dikurangi persamaan pertama)

\LARGE\fbox{Soal Latihan}

  1. Diketahui sistem persamaan \left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y &=13 \\ 3x & + & 4y &=19 \end{matrix}\right.. Nilai x.y adalah ….
  2. Penyelesaian sistem persamaan  \left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{2} &+ & \frac{3y+9}{3} &=9 \\ \frac{2x+3y}{4}&+ &6 &=9 \end{matrix}\right. adalah ….
  3. Di sebuah toko, Aziz membeli 3 buku dan 2 buah pensil seharga Rp5.200,00. Sedangkan Fatimah membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp4.800,00. Harga 1 buku adalah ….
  4. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka kedua bilangan tersebut adalah ….
  5. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya 7 kali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, akan diperoleh bilangan baru, 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan yang dimaksud adalah ….
  6. Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan, keduanya dikurangi 5, akan diperoleh pecahan sama dengan \frac{1}{2}.  Bila pembilang dan penyebut keduanya ditambah dengan 1, pecahan itu sama dengan \frac{2}{3}. Pecahan yang dimaksud adalah ….
  7. Para bola y=ax^{2}+bx+c melalui titik (1,1), (-1,-5), dan (3,23). Tentukanlah nilai a, b, dan c
  8. Jika diketahui sistem persamaan linier: \left\{\begin{matrix} a &+ &3b &+ &2c&=6160 \\ 6a& + &2b &=7680 \\ 6c&+ & 3d &=8820 \end{matrix}\right.

 

Sumber Referensi

  1. Enung, Untung. 2009. Mandiri Matematika SMAjilid 1 Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.
  2. Sukino. 2004. Persiapan Menghadapi Olimpiade Matematika Tingkat SMP Seri B. Jakarta: BSD MIPA.

 

D. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan ilustrasi soal berikut

Misalkan suatu ketika seseorang sebut saja pak Ahmad berencana membangun 2 tipe rumah, yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas 10.000 m^{2}. Setelah ditanyakan kepada seorang arsitek ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100 m^{2} dan untuk rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 m^{2}. Karena keterbatasan dana, akhirnya yang akan dibangun paling banyak 125 unit rumah saja, maka

1) berapa banyak rumah tipe A dan tipe B yang harus dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang tersedia  dan jumlah rumah yang akan dibangun oleh pak Ahmad

2) gambarkanlah daerah penyelesaian pada koordinat kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diberikan

Jawab:

Dimisalkan:    x : banyak  rumah tipe A yang segera dibangun

y : banyak  rumah tipe B yang segera dibangun

1) Banyaknya rumah tipe A dan tipe B yang akan dibangun

  • Dari soal diketahui luas bidang tanahnya adalah 10.000 m^{2} , maka model matematikanya adalah 100x+75y\leq 10.000. Selanjutnya kita sederhanakan menjadi 4x+3y=400  …………………………….(1)
  • Dan jumlah rumah yang segera dibangun, dimodelkan sebagai x+y\leq 125 …………………………………..(2)
  • Sebagai tambahannya, baik x dan y  minimal adalah nol (kondisi dimana apabila kedua tipe rumah tersebut tidak jadi dibangun)

Sehingga dengan eliminasi dan substitusi, maka

\left\{\begin{matrix} 4x & + &3y & = & 400 \\ x & + & y & = & 125 \end{matrix}\right.

Dengan mengalikan x + y = 125 dengan 3 kemudian dieliminasikan ke 4x + 3y = 400 diperoleh

x=25

untuk  x=25, maka y=125-x=125-25=100

Hal ini menunjukkan bahwa pak Ahmad dapat membangun rumah tipe A sebanyak 25 unit dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.

2) Untuk gambar grafiknya pada bidang kartesius, kita perlu menentukan beberapa titik potong

untuk  persamaan garis 4x+3y=400 maka y=\frac{400-4x}{3}

\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&100\\\hline y&133,3&0\\\hline (x,y)&(0,133,3)&(100,0)\\\hline\end{tabular}

untuk persaman  x+y=125 maka y=125-x

\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&125\\\hline y&125&0\\\hline (x,y)&(0,125)&(125,0)\\\hline\end{tabular}

Selanjutnya buatlah titik uji, misalkan saja titik (0,0), kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan 4x+3y\leq 400  maupun x+y\leq 125. Kalau hasilnya memenuhi maka daerah titik (0,0) termasuk penyelesaian.

Silahkan kamu memasukkan titik uji yang lain

Dan akhirnya kita akan mendapatkan gambar grafik diagram kartesius sebagai berikut:

Untitled

Sumber Refernsi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

 

 

 

 

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s