Fungsi Eksponen dan Logaritma

A. Fungsi Eksponen

Fungsi adalah relasi yang bersifat khusus.

Ada dua bentuk umum fungsi eksponen, yaitu

a. Fungsi eksponen dengan bilangan basis  a>1

Perhatikan ilustrasi berikut

19[Sumber]

Perhatikan juga tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\ \hline f(x)&{1/4}&{1/2}&1&2&4\\ \hline (x,f(x))&(-2,1/4)&(-1,1/2)&(0,1)&(1,2)&(1,4)\\ \hline\end{tabular}

b. Fungsi eksponen dengan bilangan basis  0<a<1

Perhatikan pula ilustrasi berikut ini

20

[Sumber]

Perhatikan pula tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\ \hline f(x)&{4}&{2}&1&1/2&1/4\\ \hline (x,f(x))&(-2,4)&(-1,2)&(0,1)&(1,1/2)&(1,1/4)\\ \hline\end{tabular}

 Sifat-sifat pada bilangan bentuk eksponen

24[Sumber]

Silahkan anda pelajari beberapa bentuk persamaan eksponen dan langkah penyelesaiannya.

Sebagai tambahan  a^{a^{a+m}}=a^{a^{a+n}}\: \Rightarrow \: \: m=n .

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukan penyelesaian dari  \sqrt{8^{x-1}}=2.\sqrt[3]{\left ( \frac{1}{4} \right )}

Jawab:

8^{\frac{x-1}{2}}=2.2^{-\frac{2}{3}}\: \Rightarrow\: 2^{\frac{3(x-1)}{2}}=2^{\frac{1}{3}} \frac{3x-3}{2}=\frac{1}{3}\: \Rightarrow \: 3x-3=\frac{2}{3}\: \Rightarrow \: x=\frac{11}{9}

Ingat: a^{f(x)}=a^{p}\: \Rightarrow \: f(x)=p\: ,\: dengan\: syarat\: (a>0\: ,\: a\neq 1)

2. Tentukanlah penyelesaian dari  5^{x^{2}+3x+5}=\left ( \frac{1}{5} \right )^{2x+1}

Jawab:

5^{x^{2}+3x+5}=5^{-2x-1} x^{2}+3x+5=-2x-1\: \Rightarrow \: x^{2}+5x+6=0 \left ( x+3 \right )\left ( x+2 \right )=0\: \Rightarrow \: x_{1}=-3\: \: atau\: \: x_{2}=-2

Ingat: a^{f(x)}=a^{g(x)}\: \Rightarrow \: f(x)=g(x)\: ,\: dengan \: syarat\: (a>0\: dan\: a\neq 1)

3. Tentukan penyelesaian dari 5^{x^{2}-3x+2}=3^{x^{2}-3x+2}

Jawab:

Penyelesaiannya adalah  x^{2}-3x+2=0\: \Rightarrow \: \left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )=0\: \Rightarrow \: x_{1}=1\: \: atau\: \: x_{2}=2

Ingat: a^{f(x)}=b^{f(x)}\: \Rightarrow \: f(x)=0

4. Tentukan penyelesaian dari  7^{3x-1}=5^{2x+1}

Jawab:

7^{3x-1}=5^{2x+1}, kemudian dilogkan keduanya, sehingga

\log 7^{3x-1}=\log 5^{2x+1}

(3x-1)\log 7=(2x+1)\log 5 ,

3x\log 7-2x\log 5=\log 5+\log 7,

x\left ( \log 7^{3}-\log 5^{2} \right )=\log 35\: \Leftrightarrow \: x\log \left ( \frac{343}{25} \right )=\log 35,

x=\left ( \frac{\log 35}{\log \left ( \frac{343}{25} \right )} \right ),

Jadi,\: \: x=^{\frac{343}{25}}\log 35

 

5. Tentukan semua solusi dari persamaan eksponen (x-3)^{x^{2}+3x-2}=x^{2}-6x+9

Jawab:

(x-3)^{x^{2}+3x-2}=x^{2}-6x+9\: \Leftrightarrow \: (x-3)^{x^{2}+3x-2}=(x-3)^{2}

 

Untuk bentuk f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}

ada 4 syarat yang perlu diperhatikan, antara lain:

  • Pertama: eksponen \: sama \: \: atau\: \: g(x)=h(x)
  • Kedua: Bilangan basis  f(x)=0, dengan ketentuan baik g(x)\: dan\: h(x) keduanya positif, atau g(a)\times h(a)=positif
  • Ketiga: Bilangan basis f(x)=1
  • Keempat: Bilangan basis f(x)=-1, dengan syarat  g(a)+h(a)=genap

Sehingga

Pertama: x^{2}+3x-2=2\: \Leftrightarrow \: (x^{2}+3x-4)=0

(x+4)(x-1)=0\: \Rightarrow \: x=-4\: atau\: x=1

Kedua: x-3=0\: \Rightarrow \: x=3\: :\left\{\begin{matrix} x=3 &, 3^{2}+3(3)-2=16 &positif \\ x=2& (konstan) & positif \end{matrix}\right.

memnuhi

Ketiga: x-3=1\: \Rightarrow \: x=4

Keempat: x-3=-1\: \Rightarrow \: x=2\left\{\begin{matrix} x=2 &,2^{2}+3(2)-2=8 &genap \\ x=2 & (konstan) &genap \end{matrix}\right.

Ternyata juga memenuhi.

Jadi Solusi dari persamaan di atas adalah: -4,\: 1,\:2,\: 3,\: 4 .

6. Tentukan nilai x bila  x^{x^{4}}=4 .

Jawab :

Perhatikan bahwa x^{x^{4}}=4  . Pangkatkan 4 masing-masing ruas, sehingga

\left ( x^{x^{4}} \right )^{4}=\left ( 4 \right )^{4}\\\\ maka\\\\ \left ( x^{4} \right )^{x^{4}}=\left ( 4 \right )^{4}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{4}=4\\\\ diperoleh\: \: \sqrt[4]{x^{4}}=\sqrt[4]{4}\\\\ \left | x \right |=\sqrt[4]{2^{2}}\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |=\sqrt{2}\\\\ jadi,\\\\ x=\sqrt{2}\: \: atau\: \: x=-\sqrt{2} .

7. Carilah nilai x jika x^{-x}=4 .

Jawab :

x^{-x}=2^{2}\: \Rightarrow \: x^{-x}=\left ( -2 \right )^{2}\\\\ sehingga\\\\ x^{-x}=\left ( -2 \right )^{-\left ( -2 \right )}\\\\ Jadi,\\\\ x=-2 .

B. Fungsi Logaritma

1. Fungsi logaritma dengan a>1

Perhatikan ilustrasi berikut

 21[Sumber]

2. Fungsi logaritma dengan 0<a<1

Perhatikan pula ilustrasi berikut

22[Sumber]

Sifat-sifat operasi pada logaritma

23[Sumber]

Silahkan anda pelajari beberapa bentuk persamaan logaritma dan langkah penyelesaiannya.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:

^{2}\log (x^{2}-7x+12)=1

Jawab:

ingat bahwa untuk  ^{a}\log b=c\: \: \Leftrightarrow \: \: b=a^{c}

Sehingga

x^{2}-7x+12=2^{1}

x^{2}-7x+10=0

(x-2)(x-5)=0

Jadi,   x=2\: \: atau\: \: x=5

2. Tentukan penyelesaian dari  \log (x+3)=\log (x^{2}-9)

Jawab:

x+3=x^{2}-9\: \Rightarrow \: x^{2}-x-12=0

(x+3)(x-4)=0\: \Leftrightarrow \: x=-3\: \: atau\: \: x=4\: \left\{\begin{matrix} x=-3 &,tidak\: \: memenuhi \\ x=4&,memenuhi \end{matrix}\right.

Catatan: lihat syarat numerus.

3. Carilah jumlah akar-akar dari persamaan

^{2}\log ^{2}x+7^{2}\log x+12=0

Jawab:

misalkan \: \: p=^{2}\log x\: \: \: maka\: \: \: ^{2}\log ^{2}x=\left ( ^{2}\log x \right )^{2}=p^{2}

Sehingga

p^{2}+7p+12=0\: \: \Rightarrow \: \: (p+4)(p+3)=0.

Maka untuk

p+4=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x+4=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=-4

didapatkan nilai x=2^{-4}=\frac{1}{16}

untuk

p+3=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x+3=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=-3

didapatkan nilai x=2^{-3}=\frac{1}{8}

Jadi, jumlah akar-akar yang dimaksud adalah  \frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}

4. Tentukan nilai x + y  dari sistem persamaan

\begin{matrix} ^{7}\log x &+ &^{7}\log y &=&5 \\ ^{7}\log x^{3}&- &^{7}\log y^{4} &=&1 \end{matrix}

Jawab:

Misalkan

^{7}\log x=a\: \: \: dan\: \: \: ^{7}\log y=b

maka

\begin{matrix} a &+ & b &= &5 \\ 3a& - & 4b & = &1 \end{matrix}

dengan eliminasi ataupun substitusi diperoleh \left\{\begin{matrix} a=3 \\ b=2 \end{matrix}\right.

  • untuk  a=3\: \: \Rightarrow \: \: ^{7}\log x=3\: \: x=7^{3}=343
  • untuk  b=2\: \: \Rightarrow \: \: ^{7}\log y=2\: \: y=7^{2}=49

Jadi, nilai x + y = 343 + 49 = 392

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Carilah solusi dari persamaan eksponen  (7x-1)^{3x-2}=(x-5)^{3x-2}
  2. Carilah solusi untuk 9\times \sqrt{(\frac{1}{27})^{2x-1}}=\sqrt{243}
  3. Gambarlah grafik fungsi f(x)=3^{x+1}, untuk x\epsilon \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3,4 \right \}
  4. Carilah solusi untuk (x^{2}-9x+19)^{3x+4}=(x^{2}-9x+19)^{4x+2}
  5. Gambarlah grafik fungsi f(x)=^{2}\log (x+1), untuk x\epsilon \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3,4 \right \}
  6. Carilah nilai x jika 2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=56 .

C. Aplikasi Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

1. Fungsi Eksponensial

a. Pertumbuhan(growth)

Misalkan seseorang menabung di sebuah bank menggunakan  sistem bunga majmuk dengan bungan p% pertahun, maka jumlah uangnya selah n adalah M_{n} adalah

\LARGE\boxed{M_{n}=M\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{n}}

b. Peluruhan(decay)

Misalkan suatu zat radioaktif yang meluruh dapat kita nyatakan dengan

\LARGE\boxed{x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}}

dengan

  • x\left ( t \right ) = massa yang tersisa setelah t detik
  • x\left ( 0 \right ) = massa awal
  • \lambda = konstanta peluruhan

2. Fungsi Logaritma

Misalkan suatu senyawa kimiawi dihitung nilai pH

\LARGE\boxed{pH=-\log \left [ H^{+} \right ]}

dengan

  • pH adalah sifat keasaman
  • \left [ H^{+} \right ] adalah konsentrasi ion hidrogen dalam mol per liter pada suatu larutan

Misalkan juga dalam bidang fisika berkaitan dengan taraf intensitas bunyi (TI). Dimana TI adalah perbandingan antara intensitas bunyi dengan intensitas ambang

\LARGE\boxed{TI=10\log \frac{I}{I_{0}}}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Ahmad menyimpan uangnya di bank sebesar Rp200.000,00 dengan tingkat suku bunga majmuk 10% pertahun. Tentukan lamanya waktu supaya uang simpanan Ahmad di bank menjadi Rp600.000,00

Jawab:

Diketahui \left\{\begin{matrix} M_{n} &= & Rp 600.000,00 \\ M &= & Rp200.000,00 \\ p & = &10 \end{matrix}\right. .

M_{n}=M.\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{n},

600.000=200.000.\left ( 1+0,10 \right )^{n},

\left ( 1,1 \right )^{n}=\frac{600000}{200000}=3,

n\log \left ( 1,1 \right )=\log 3,

n=\frac{\log 3}{\log \left ( 1,1 \right )},

t=\frac{0,4771}{0,0414} , (gunakan kalkulator)

t=11,53.

Jadi, waktu yang dibutuhkan  adalah 11, 53 tahun

2. Massa suatu zat radioaktif dirumuskan yang meluruh dapat dinyatakan dengan rumus

x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}

a. Jika x(t)=7,1,\: x(0)=10,5,\: dan\: \lambda =1,3\times 10^{-3} , maka tentukan t dalam tahun

b. Jika t_{\frac{1}{2}} adalah waktu yang dibutuhkan sehinggga massa yang tertinggal sama dengan setengah dari jumlah massa awal, tunjukkan bahwa  t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,693}{\lambda }

Jawab:

diketahui  x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}.

\log x(t)=\log x(0).e^{-\lambda .t},

\log x(t)=\log x(0)-\lambda .t\log e,

\lambda .t\log e=\log x(0)-\log x(t),

t=\frac{\log x(0)-\log x(t)}{\lambda \log e},

t=\frac{\log 10,5-\log 7,1}{1,3\times 10^{-3}.\log 2,71828}=300,8 \: \: tahun

 

b. diketahui bahwa \left\{\begin{matrix} t & = & t_{\frac{1}{2}} \\ x(t) & = & \frac{1}{2}x(0) \end{matrix}\right.

sehingga

\frac{1}{2}x(0)=x(0).e^{-\lambda .t_{\frac{1}{2}}},

e^{-\lambda .t_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2},

e^{\lambda .t_{\frac{1}{2}}}=2,

\lambda. t_{\frac{1}{2}}\log e=\log 2,

t_{\frac{1}{2}}=\frac{\log 2}{\lambda . \log e},

t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,3010}{\lambda .(0,434)},

t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,693}{\lambda }.

terbukti

3. Jika diketahui konsentrasi ion hidrogen dari jus jeruk adalah 6,32\times 10^{-4} , maka tentukan pH dari jus jeruk tersebut!

Jawab:

pH=-\log \left [ H^{+} \right ],

pH=-\log \left ( 6,32\times 10^{-4} \right ),

pH=-\left ( \log 6,32+\log 10^{-4} \right ),

pH=-\log 6,32+4,

pH=-0,8007+4=3,1993.

Jadi, pH\approx 3,2.

 

4. Misalkan sebuah komputer saat kondisi baru bernilai N_{0} rupiah.. Andaikan komputer tersebut setelah t tahun mengalami penyusutan sebesar N_{0}\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}. Harga komputer tersebut akan bernilai sebesar \frac{N_{0}}{9} setelah …. tahun.

Jawab:

diketahui harga awalnya N_{0} rupiah. Dan setelah t tahun , maka harganya akan menjadi N_{t}. Jika N_{t}=\frac{N_{0}}{9} , maka

N_{0}-N_{0}\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{N_{0}}{9},

1-\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{1}{9},

\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{8}{9},  masing-masing ruas di-logkan, sehingga

\log \left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\log\frac{8}{9},

t=\frac{\log \frac{8}{9}}{\log \frac{2}{3}}=\frac{\log 8-\log 9}{\log 2-\log 3}=\frac{3\log 2-2\log 3}{\log 2-\log 3}.

 

 \LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Populasi hewan langka berkurang 20% setiap tahunnya. Jika sekarang populasinya tinggal 10.000 ekor, dalam berapa tahun tersebut tinggal 1000 ekor saja (gunakan rumus y=y_{0}.e^{kt}, serta anggap bahwa pelestarian hewan tersebut tidak membuahkan hasil)
  2. Dalam sebuah laboratorium sedang diteliti tentang pertumbuhan bakteri. Jika mula-mula terdapat 25 bakteri dan setelah 2 jam jumlah bakteri menjadi 100, maka berapakah jumlah bakteri setelah 4 jam (asumsikan bakteri terus bertambah dan dirumuskan dengan  k(x)=k.a^{x}
  3. 121perhatikan gambar di atas yang menunjukkan grafik fungsi tekanan udara terhadap perubahan ketinggian

a) Tunjukkan bahwa P sebagai fungsi h yang paling mendekati adalah P(h)=C.2^{ah},\: \: \: dengan\: \: C>0\: \: dan\: \: a<0

b) Jika P(h)=A.f(h) , tunjukkan bahwa P(10)=1013.\frac{f(10)}{f(0)}.

 

 

Sumber Referensi

  1. Luji, Willa Adrian Sukoco. 2006. Matematika Bilingual untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1 & 2. Bandung: Yrama Widya.
  2. Sukino. 2013. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Erlangga.
  3. Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena MatematikaSMU Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
  4. Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA Untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.
  5. Wirodikromo, Sartono. 1996. Matematika untuk SMU Jilid 6 Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
  6. _________, Algebra: Teoria con 8000 Problemas Propuestos y Resueltos.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

2 Balasan ke Fungsi Eksponen dan Logaritma

  1. syaiful nuris berkata:

    assalamualaikum,boleh minta jawaban untuk soal latihan mandiri nya,,makasih

    • ahmadthohir1089 berkata:

      Wa’alaikum salam wr. wb.
      Untuk
      No. 1. Populasi hewan langka berkurang 20% setiap tahunnya. Jika sekarang populasinya tinggal 10.000 ekor, dalam berapa tahun tersebut tinggal 1000 ekor saja (gunakan rumus y=y_{0}.e^{kt}, serta anggap bahwa pelestarian hewan tersebut tidak membuahkan hasil)
      Jawab:
      \begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Saat t = 1 tahun}&\textrm{saat t = 1000 tahun}&\textrm{Kesimpulan}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{maka populasi tinggal 80}\%\\ &\textrm{atau 8000, sehingga}\\ &8000=10000.e^{k.(1)}\\ &e^{k}=0,8\\ &k.\log e=\log 0,8\\ &k=\displaystyle \frac{\log 0,8}{\log e}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&1000=10000.e^{kt}\\ &e^{kt}=0,1\\ &kt.\log e=\log 0,1\\ &kt=\displaystyle \frac{\log 0,1}{\log e}\\ &t=\displaystyle \frac{-1}{k.\log e}\\ &t=\displaystyle \frac{-1}{\left ( \frac{\log 0,8}{\log e} \right ).\log e}\\ &t=\displaystyle \frac{-1}{\log 0,8} \end{aligned}&\begin{aligned}t&=\displaystyle \frac{-1}{\log \frac{8}{10}}\\ &=\displaystyle \frac{-1}{\log 8-\log 10}\\ &=\displaystyle \frac{-1}{0,903-1}\\ &=\displaystyle \frac{-1}{-0,097}\\ &=10,31\: \textrm{tahun}\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.
      untuk
      No. 2. Dalam sebuah laboratorium sedang diteliti tentang pertumbuhan bakteri. Jika mula-mula terdapat 25 bakteri dan setelah 2 jam jumlah bakteri menjadi 100, maka berapakah jumlah bakteri setelah 4 jam (asumsikan bakteri terus bertambah dan dirumuskan dengan k(x)=k.a^{x}.
      Jawab:
      \begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Diketahui saat}\: t=0&\textrm{Saat}\: t=2\: \textrm{jam}&\textrm{Setelah 4 jam}\\\hline \begin{aligned}&k(x)=k.a^{x}\\ &\textrm{untuk}\: t=0\: \textrm{jam},\: k=25\\ &k(0)=(25).a^{0}=25 \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Jumlah bakteri(k)}\\ &\textrm{saat}\: t=2\: \textrm{jam},\: k(2)=100\\ &k(2)=25.a^{2}=100\\ &a^{2}=4\rightarrow a=2 \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{maka}\: k(4)=...?\\ &k(4)=25.2^{4}\\ &k(4)=25.16\\ &k(4)=400\: \textrm{bakteri} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

      apa yang ini atau yang mana?

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s