Eksponen Dan Logaritma(2)

Materi berkaitan dengan Bentuk Akar dan Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Untuk kelas X MA/SMA

Bentuk Akar

Bentuk akar di sini adalah kebalikan dari bentuk perpangkatan dari suatu bilangan. Untuk \sqrt{4} , \sqrt{25} nilainya dengan tepat kita dapat menentukannya, tetapi untuk \sqrt{3} , \sqrt{8}  tidaklah demikian karena bilangan-bilangan tersebut tidak dapat ditentukan nilai bulatnya atau tidak dapat dijadikan dalam bentuk pecahan. Bilangan-bilangan yang demikian yang tidak dapat ditentukan nilai bulat atau pecahannya tersebut selanjutnya dinamakan bilangan irasional.

Bilangan Rasional(pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  \frac{a}{b}  dengan a,b  \in bilangan bulat serta b\neq 0. Sehingga untuk bilangan irasional berlaku sebaliknya dan bentuk akar termasuk di dalamnya

Perhatikan bahwa:

  1. a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  2. a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}
  3. a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a^{1}}=\sqrt{a}

Sifat-sifat operasi aljabar pada bentuk akar

      • a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=\left ( a+b \right )\sqrt[n]{c}
      • a\sqrt[n]{c}-b\sqrt[n]{c}=\left ( a-b \right )\sqrt[n]{c}
      • \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
      • \sqrt[n]{a^{n}}=a
      • a\sqrt[n]{c} x b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}
      • \frac{a\sqrt[n]{c}}{b\sqrt[n]{d}}=\frac{a}{b}.\sqrt[n]{\frac{c}{d}}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

 

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Perhatikanlah cara merasionalkan penyebut

  • \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}

Merasionalkan dengan bantuan bentuk sekawan, misalkan bentuk a+\sqrt{b} maka bentuk sekawannya adalah a-\sqrt{b}. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar pada bagian penyebut sehingga kita dapat mengarahkannya pada bentuk

  • \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2}
  • untuk bentuk \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} Anda cukup mengalikannya dengan \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} sehingga menghasilkan bentuk a+b. Demikian juga sebaliknya

Selanjutnya, perhatikan bentuk berikut

  • \frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}.\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}.\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}{a-b}

Contoh Soal dan Pembahasan

Sederhanakanlah bentuk berikut ini

Contoh 1

6\sqrt{3}+10\sqrt{3}=\left ( 6+10 \right )\sqrt{3}=16\sqrt{3}

Contoh 2

5\sqrt{12}-4\sqrt{3}=5\sqrt{4.3}-4\sqrt{3}=10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Contoh 3

5\sqrt{3}+\sqrt{48}-2\sqrt{27}=5\sqrt{3}+\sqrt{16.3}-2\sqrt{9.3}=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6\sqrt{3}=\left ( 5+4-6 \right )\sqrt{3}=3\sqrt{3}

contoh 4

\left ( 6\sqrt{2}+\sqrt{5} \right )\left ( \sqrt{2}-3\sqrt{5} \right )=\left ( 6\sqrt{2}.\sqrt{2} \right )-\left ( 6\sqrt{2}.3\sqrt{5} \right )+\sqrt{5}.\sqrt{2}-\left ( \sqrt{5}.3\sqrt{5} \right )=12-18\sqrt{10}+\sqrt{10}-15=-3-17\sqrt{10}=-\left ( 3+17\sqrt{10} \right )

contoh 5

\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2

Contoh 6

\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{24}}{\sqrt{7}.3\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{72}}{3\sqrt{98}}=\frac{2.\sqrt{36}.\sqrt{2}}{3.\sqrt{49}.\sqrt{2}}=\frac{2.6}{3.7}=\frac{4}{7}

Contoh 7

  1. \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{\left ( 5+2 \right )+2\sqrt{5.2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}
  2. \sqrt{11+4\sqrt{6}}=\sqrt{11+2.2.\sqrt{6}}=\sqrt{11+2\sqrt{24}}=\sqrt{\left ( 8+3 \right )+2\sqrt{8.3}}=\sqrt{\left ( \sqrt{8}+\sqrt{3} \right )^{2}}=\sqrt{8}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}
  3. \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left ( 3+2-2\sqrt{3.2} \right )}=\sqrt{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, bolehkah jawaban akhir ditulis dengan \sqrt{2}-\sqrt{3} ?

Contoh 8

Rasionalkanlah penyebut dari pecahan berikut

  1. \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
  2. \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}.\frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}}{2.5}=\frac{1}{10}.\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}
  3. \frac{2}{3-\sqrt{2}}=\frac{2}{3-\sqrt{2}}.\frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{2}{7}.\left ( 3+\sqrt{2} \right )

Latihan Soal

Sederhanakanlah bentuk berikut

  1. 2\sqrt{12}-5\sqrt{3}
  2. \sqrt{96}-3\sqrt{24}
  3. \sqrt{20}-\sqrt{125}+3\sqrt{5}
  4. \sqrt{3}\left ( 4-2\sqrt{3} \right )
  5. 2\sqrt{5}\left ( \sqrt{5}+3\sqrt{2} \right )
  6. \left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )
  7. \frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right ).\left ( 2-\sqrt{3} \right )}{6}
  8. \sqrt{5+2\sqrt{6}}
  9. \sqrt{8+\sqrt{60}}
  10. \sqrt{18-2\sqrt{65}}
  11. Tunjukkan bahwa \sqrt{\left ( p+q+r \right )+2\left ( \sqrt{pq}+\sqrt{pr}+\sqrt{qr} \right )}=\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}
  12. Tentukanlah luas persegi dengan sisi \left ( 2+\sqrt{3} \right ) cm
  13. Rasionalkanlah penyebut dari \frac{15}{\sqrt{48}}  dan \frac{\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{150}}{\sqrt{96}}
  14. Sederhanan bentuk \frac{5}{\sqrt{7}}+\frac{3}{\sqrt{5}}  dan \frac{7}{2+\sqrt{8}}+\frac{11}{2-\sqrt{8}}
  15. Tentukan nilai x dan y agar persamaan \left ( x\sqrt{2}+y \right ).\left ( 3-\sqrt{2} \right )=-\sqrt{2}
  16. Jika \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{6} , maka nilai dari a+b = ….

Referensi:

  1. Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.
  2. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA Untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.

 

 

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Info, Matematika, Pendidikan. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s