Soal-Jawab-Pembahasan 3

Berikut beberapa lanjutan (Soal-Jawab-Pembahasan).

Tambahan contoh pembahasan soal OMITS 2012

1. (OMITS 2012)

Tentukan digit terakhir dari 

((2012^2011)^2010)^2009     +    ((2013^2012)^2011)^2000   +     ((2014^2013)^2012)^2011   +    ((2015^2014)^2013)^2012   adalah …

atau

\begin{array}{ll}\\ 1.&(\textrm{OMITS}\: 2012)\\ &\textrm{Tentukanlah digit terakhir dari}\\ &\\ &2012^{2011^{2010^{2009}}}\: +\: 2013^{2012^{2011^{2010}}}\: +\: 2014^{2013^{2012^{2011}}}\: +\: 2015^{2014^{2013^{2012}}} \end{array}.

Jawab :

Perhatikan bahwa untuk angka satuan

|——————————————————————————–|

| angka satuan |  pangkat 1  |   pangkat 2 |   pangkat 3 |    pangkat 4 | pangkat 5 |

|____________________________________________________________|

Bila   0                    0                    0                   0                    0                0

         1                   1                    1                    1                     1               1

         2                   2                   4                    8                     6                2

         3                   3                   9                    7                     1                3

         4                   4                   6                   4                     6                 4

         5                   5                   5                   5                     5                 5

         9                   9                   1                    9                    1                 9

Selanjutnya kita tinggal melihat digit terakhir setiap bilangan

Contoh  : 2010^2009 (dibaca 2010 pangkat 2009) pada bilangan pangkat (2009) berangka satuan 9 dan ini ganjil. Nol (0) pangkat ganjil-lihat tabel-tetap berakhir dengan nol juga. Kemudian perhatikan bilangan 2011^2010^2009 sama saja 2011 berpangkat ….0(maksudnya sebuah bilangan yang berakhiran nol, lihat tabel, hasilnya adalah sebuah bilangan yang berakhiran digit 1. Dan bilangan yang berakhiran dengan digit 1 ini akan menjadi pangkat dari 2012, sehingga 2012^….1 ( 2012 berpangkat sekian-sekian digit yang berakhiran 1)-lihat tabel-akan tetap menghasilkan bilangan 2

Sehingga untuk 

((2012^2011)^2010)^2009   akan berakhiran dengan digit 2

Selanjutnya,

((2013^2012)^2011)^2000   akan berakhiran berupa digit 9

((2014^2013)^2012)^2011  akan berakhiran dengan digit 4

((2015^2014)^2013)^2012  akan berakhiran dengan digit 5

_____________________________________________   +

Sehingga 2 + 9 + 4 + 5 = 20 

Jadi,

((2012^2011)^2010)^2009     +    ((2013^2012)^2011)^2000   +     ((2014^2013)^2012)^2011   +    ((2015^2014)^2013)^2012

akan berakhiran dengan digit 0

Koreksi atas jawaban di atas adalah sebagai berikut (Terimakasih atas masukan dari pembaca), moga tidak salah lagi

\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Bilangan satuan}\: 2^{n},\: n\in \mathbb{N}&\textrm{Pola digit Terakhir}&\textrm{Simpulan}\\\hline \begin{aligned} 2^{1}&=2,&2^{5}&=32,&2^{9}&=512,&\textrm{dst}\\ 2^{2}&=4,&2^{6}&=64,&2^{10}&=1024\\ 2^{3}&=8,&2^{7}&=128,&2^{11}&=2048\\ 2^{4}&=16,&2^{8}&=256,&2^{12}&=4096 \end{aligned}&\begin{aligned}2^{1},2^{5},2^{9}\cdots &=2\\ 2^{2},2^{6},2^{10},\cdots &=4\\ 2^{3},2^{7},2^{11},\cdots &=8\\ 2^{4},2^{8},2^{12},\cdots &=6 \end{aligned}&\begin{aligned}2^{4n}&=6\\ 2^{4n+1}&=2\\ 2^{4n+2}&=4\\ 2^{4n+3}&=8 \end{aligned}\\\hline \textrm{Bilangan satuan}\: 3^{n},\: n\in \mathbb{N}&\textrm{Pola digit Terakhir}&\textrm{Simpulan}\\\hline \begin{aligned} 3^{1}&=3,&3^{5}&=243,&3^{9}&=19683,&\textrm{dst}\\ 3^{2}&=9,&3^{6}&=729\\ 3^{3}&=27,&3^{7}&=2187\\ 3^{4}&=81,&3^{8}&=6561 \end{aligned}&\begin{aligned}3^{1},3^{5},3^{9}\cdots &=3\\ 3^{2},3^{6},3^{10},\cdots &=9\\ 3^{3},3^{7},3^{11},\cdots &=7\\ 3^{4},3^{8},3^{12},\cdots &=1 \end{aligned}&\begin{aligned}3^{4n}&=1\\ 3^{4n+1}&=3\\ 3^{4n+2}&=9\\ 2^{4n+3}&=7 \end{aligned}\\\hline \textrm{Bilangan satuan}\: 5^{n},\: n\in \mathbb{N}&\textrm{Pola digit Terakhir}&\textrm{Simpulan}\\\hline \begin{aligned} 5^{1}&=5,&\textrm{dst}\\ 5^{2}&=25,\\ 5^{3}&=125,\\ 5^{4}&=625, \end{aligned}&\begin{aligned}5^{1},5^{2},5^{3},5^{4},\cdots &=5 \end{aligned}&\begin{aligned}5^{n}&=5\end{aligned}\\\hline \textrm{Bilangan satuan}\: 6^{n},\: n\in \mathbb{N}&\textrm{Pola digit Terakhir}&\textrm{Simpulan}\\\hline \begin{aligned} 6^{1}&=6,&\textrm{dst}\\ 6^{2}&=36,\\ 6^{3}&=216,\\ 6^{4}&=1296, \end{aligned}&\begin{aligned}6^{1},6^{2},6^{3},6^{4},\cdots &=6 \end{aligned}&\begin{aligned}6^{n}&=6\end{aligned}\\\hline \end{array}.

Maka,

\begin{array}{|l|l|c|}\hline \textrm{Partisi Soal}&\textrm{Proses mencari digit terakhir}&\textrm{Hasil}\\\hline 2012^{2011^{2010^{2009}}}&\begin{aligned}2012^{2011^{2010^{2009}}}&=2012^{2011}=...2^{2011}=2^{4.502+3}=...8\\ &=...8^{2010}=8^{2010}=\left ( 2^{3} \right )^{2010}\\ &=2^{6030}=2^{4.1507+2}=...4\\ &=...4^{2009}=4^{2009}=\left ( 2^{2} \right )^{2009}\\ &=2^{4018}=2^{4.1004+2}=...4 \end{aligned}&4\\\hline \end{array},

\begin{array}{|l|l|c|}\hline \textrm{Partisi Soal}&\textrm{Proses mencari digit terakhir}&\textrm{Hasil}\\\hline 2013^{2012^{2011^{2010}}}&\begin{aligned}2013^{2012^{2011^{2010}}}&=2013^{2012}=...3^{2012}=3^{4.503}=...1\\ &=...1^{2011}=1^{2011}=1\\ &=1^{2010}=1 \end{aligned}&1\\\hline \end{array},

\begin{array}{|l|l|c|}\hline \textrm{Partisi Soal}&\textrm{Proses mencari digit terakhir}&\textrm{Hasil}\\\hline 2014^{2013^{2012^{2011}}}&\begin{aligned}2014^{2013^{2012^{2011}}}&=2014^{2013}=...4^{2013}=4^{2013}\\ &=\left ( 2^{2} \right )^{2013}=2^{4026}=2^{4.1006+2}=...4\\ &=...4^{2012}=4^{2012}=\left ( 2^{2} \right )^{2012}=2^{4024}\\ &=2^{4.1006}=...6\\ &=...6^{2011}=6 \end{aligned}&6\\\hline \end{array},

dan

\begin{array}{|l|l|c|}\hline \textrm{Partisi Soal}&\textrm{Proses mencari digit terakhir}&\textrm{Hasil}\\\hline 2015^{2014^{2013^{2012}}}&\begin{aligned}2015^{2014^{2013^{2012}}}&=2015^{2014}=...5^{2014}=5\\ &=...5^{2013}=5\\ &=5^{2012}=5 \end{aligned}&5\\\hline \end{array}.

Jadi digit terakhirnya adalah 4+1+6+5=16 = …. 6

2. (OMITS 2012)

Ardo, Romdhoni, Ahmad, Aji dan Romi mengikuti pemilihan presiden RI secara independen. Pada akhir perhitungan suara, yang mendapat suara tertinggi pertama akan menjadi Presiden dan yang memperoleh suara tertinggi kedua akan menjadi wakilnya.

Jika Ardo mendapatkan suara 2012 lebih banyak dari Romdhoni dan 2056 lebih sedikit dari Ahmad. Romi menerima 2012 suara lebih sedikit dari Aji dan 2076 suara lebih banyak dari Romdhoni. maka yang terpilih jadi Presiden dan wakilnya adalah …

Jawab :

Ardo = 2012 + Romdhoni  ———— 1)

                  Ardo – Romdhoni = 2012

Ardo = -2056 + Ahmad —————2)

                  Ahmad – Ardo = 2056

Romi = -2012 + Aji ——————–3)

                  Aji – Romi = 2012

Romi = 2076 + Romdhoni ————-4)

                   Romi – Rhomdhoni = 2076

Maka 

Dari persamaan 4 dan 3 diperoleh  Aji – Romdhoni = 4088 ———————–5)

        persamaan 2 dan 1 diperoleh   Ahmad – Romdhoni = 2078 ——————-6)

Dari persamaan 5 dan 6 diperoleh Aji – Ahmad = 10

Sehingga dari beberapa persamaan di atas didapatkan 

  • Aji = Ahmad + 10 ————-> Aji > Ahmad
  • Ahmad = Ardo + 2056 ———> Ahmad > Ardo
  • Aji = Romi + 2012 ————–> Aji > Romi
  • Romi = Romdhoni + 2076 ——-> Romi > Romdhoni

Jadi dari uraian diatas jelas yang jadi Presiden = yang mendapatkan nilai terbanyak adalah Aji dan Ahmad sebagai wakilnya

3. (OMITS 2012)

Zakiyyah menggambarkan poligon 2012 sisi pada di sebuah kertas, kemudian Sulastri datang menghampirinya. Sulastri meminta Zakiyyah untuk menarik garis-garis diagonal dari setiap sudut poligon 2012 sisi tersebut. Tentukan banyaknya diagonal yang dibuat!

Jawab :

Untuk mengerjakan soal tersebut gunakan rumus Kombinasi yaitu

C(n,2) – n = 1/2.[n.(n-3)] dengan n = banyaknya segi

Sehingga untuk Segi (n) = 2012 diperoleh

C(2012,2) – 2012 = 1/2.[2012.2009] = 1006.2009 = 2021054

Jadi banyaknya diagonal untuk segi 2012 adalah 2021054

4. (OMITS 2012) 

Nilai eksak dari 

1/([cos 10]^2) +  1/([sin 20]^2) +  1/([sin 40]^2) +  1/([cos 45]^2)   adalah …

Jawab :

Perhatikan bahwa

 1/([cos 10]^2) = 2/(1+c0s 20) ——–misal  cos 20 = a

 1/([sin 20]^2) = 2/(1 -cos 40) —————cos 40 = b

   1/([sin 40]^2) = 2/(1 -c0s 80) ————–cos 80 = c

  1/([cos 45]^2) = 2

dan 

2/(1 + a) + 2/(1-b) + 2/(1-c) -2 = [2( 1/(1 + a) + 1/(1-b) + 1/(1-c))] -2

= [4 + 2(a-b-c) -2abc]/[1 + (a-b-c) + (-ab-ac+bc) + abc]

Perlu anda ketahui bahwa 

  • a – b – c = c0s 20 – cos 40 -cos 80 = 0 , karena cos 20 = cos 40 + cos 80
  • – ab – ac + bc = -1/2.(cos 60 + cos 20) – 1/2.(cos 100 + cos 60) + 1/2.(cos 120 + cos 40) = -3/4
  • abc = cos 20. cos 40. cos 80 = 1/8

Untuk poin 1 – 3 silahkan anda cek dan buktikan sendiri

Sehingga nilai akhirnya adalah 

 [4 + 2(a-b-c) -2abc]/[1 + (a-b-c) + (-ab-ac+bc) + abc] = [4 – 1/4 ]/[1+(-3/4)+1/8]=10

 Jadi nilai eksak dari  1/([cos 10]^2) +  1/([sin 20]^2) +  1/([sin 40]^2) +  1/([cos 45]^2) = 10

5. (OMITS 2012)

Diketahui 2012 titikpada sebuah bidang dan tidak ada 3 buah titik yang segaris. Banyaknya garis lurus yang dapat dibuat dari titik-titik tersebut adalah …

Jawab :

Gunakan rumus kombinasi untuk menyelesaikan soal ini yaitu C(2012,2) = 1/2. 2012. 2011 = 1006 . 2011

Jadi banyaknya garis ada sebanyak 1006.2011 

/p

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Matematika, Pendidikan dan tag . Tandai permalink.

2 Balasan ke Soal-Jawab-Pembahasan 3

  1. Mff berkata:

    Cra baca tabelnya bagaimana. Saya kenapa.kurang paham ya 😢

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s