Soal-Jawab-Pembahasan 2

Berlatih mengerjakan soal walaupun menjemukan tapi kalau sudah ketemu dengan jawabannya jadi sangat mengasikkan. Bagi pemirsa apabila mendapatkan ketidak tepatan dalam jawaban dari soal dan jawaban mohon kritik dan sarannya yang membangun untuk kebaikan selanjutnya.

Berikut soal-soal yang saya bahas dari berbagai macam soal, sifatnya acak saya dapat dari berbagai macam sumber, ada dari OMITS 12 (Olimpiade Matematika ITS 2012), PORSEMA NU VIII 2012 dan lain-lain.

Selanjutnya soal dijawab/dibahas :

ALJABAR DAN TEORI BILANGAN

1. (PORSEMA NU 2012)

Angka terakhir bila P = 1! + 2! + 3! + . . . + 2012! adalah. …

Jawab :

ingat bahwa n! = 1 x 2 x 3 x 4 x . . . x (n-2) x (n-1) x n

Untuk 1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

51 = 120

6! = 720

7! = ……0 , dst selalu berakhir dengan nol

Sehingga 1! + 2! + 3! + . . . + 2012! = 1 + 2 + 6 + 24 +120 + 720 + ……0 = ………3

Jadi jawaban akhirnya adalah berangka terakhir 3

2. Bila anda memiliki 6 batang korek api, bagaimana anda menyusun ke enam batang korek api itu menjadi 4 buah segitiga yang sama sisi?

Jawab :

Saya (sebelumnya minta maaf) belum bisa memvisualisasikan gambarnya di sini, berikut jawabannya : buatlah limas dengan alas segitiga sama sisi, sehingga sisi yang lain juga akan seperti yang ditanyakan dalam soal tersebut

3. (OMIT 2012)

Untuk jumlah 6036 suku pertama deret geometri adalah 1141 dan jumlah 4024 suku pertamanya sama dengan 780, maka jumlah 2012 suku pertamanya adalah. …

Jawab :

Misalkan suku pertama U1 = a, U2 = ar, U3 = ar^2, dengan r^2 dibaca” r kuadrat” dan S2012 = jumlah 2012 suku pertama, S4024 = jumlah 4024 suku pertama serta S6036 = jumlah 6036 suku pertama, dimisalkan S2012 = x, ditanya S2012?

maka, (S4024-S2012) x (S4024-S2012) = (S2012) x (S6036-S4024)

Sehingga (780 – x)(780 – x) = x. (1141 – 780)

608400 -1560x + x^2 = 361.x

x^2 – 1921x + 608400 = 0

(x – 400)(x – 1521) = 0

x = 400 v x = 1521

Jadi, dengan melihat deretnya maka S2012 = x = 400.

4. (OMITS 2012)

Jika sebuah alfametik BELGIS x 6 = GISBEL
Nilai dari SI + BELGIS + BELI + ES + LEGI =. …

Jawab :

Dari soal kita mendapatkan 6 x (BEL x 1000 + GIS) = (GIS x 1000 + BEL)

6000BEL + 6GIS = 1000GIS + BEL

6000BEL – BEL = 1000GIS – 6GIS

5999BEL = 994GIS   ==>(masing-masing ruas dibagi dengan 7)
857BEL = 142GIS

Perhatikan bahwa dengan mengamati kesamaan tersebut didapat bahwa BEL = 142 dan GIS =857

6 x 142857 = 857142 <=> 6 x BELGIS = GISBEL, maka didapat bahwa:

B = 1, E = 4, L = 2, G = 8, I = 5, S = 7

Sehingga

SI + BELGIS + BELI + ES + LEGI = 75 + 142857 + 1425 + 47 +2485 = 146889

5. (OMITS 2012)

Jika pada persegi ajaib jumlah angka setiap baris, setiap kolom dan setiap diagonal sama dan untuk persegi ajaib ukuran 4 x 4 jumlah angka setiap baris adalah 34, tentukan jumlah angka setiap baris pada persegi ajaib 12 x 12 ?

(Catatan : persegi ajaib n x n hanya terisi angka – angka dari 1 sampai n^2 )

Jawab :

Jika persegi ajaib ukuran 4 x 4 jumlah angka setiap barisnya 34, maka kalau untuk 12 x 12 = ….

Gunakan rumus untuk persegi ajaib yang angka penyusunnya dari 1 sampai n^2 = 1/2. n.(n^2 + 1 )

Sehingga untuk ukuran 12 x 12 jumlah angka setiap barisnya = 1/2 . 12 . ( 12^2 + 1) = 6 . (144 + 1) = 870

KOMBINATORIKA

1. Tentukan banyaknya susunan dari kata”OLIMPIADE”!
Jawab :

Huruf O ada 1, L ada 1, I ada 2, M ada 1, P ada 1, A ada 1, D ada 1, dan E ada 1

Total huruf ada 9

Gunakan aturan permutasi

Sehingga banyaknya susunan dari huruf tersebut adalah

P(9,1,1,2,1,1,1,1,1) = 9!/(1!1!2!1!1!1!1!1!) = 181440

2. (OMITS 2012)

Bila C(n,r) = n!/(n-r)!.r!,

maka untuk nilai dari C(2012,0).C(2012,1) + C(2012,1).C(2012,2) + C(2012,2).C(2012,3) + . . . + C(2012,2011).C(2012,2012) adalah. …

Jawab :

Perhatikan bahwa ada rumus

Σ C(n,r).C(n,r+1) [dengan batas bawah r = 0 dan batas atas n] = C(2n,n+1)

Jadi jawaban untuk soal diatas adalah

C(2012,0).C(2012,1) + C(2012,1).C(2012,2) + C(2012,2).C(2012,3) + . . . + C(2012,2011).C(2012,2012) = C(4024,2013)

3. (OMITS 2012)

Berapakah banyaknya pasangan bilangan nonnegatif (O, M, I, T, S) jika

O + M + I + T + S = 12

dengan O ≤ 3, M ≤ 4, I ≤ 5, T ≤ 6, S ≤ 7?

Jawab :

Misalkan

t1 = 3 – O

t2 = 4 – M

t3 = 5 – I

t4 = 6 – T

t5 = 7 – S

t1 + t2 + t3 + t4 + t5 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 – O – M – I – T – S

t1 + t2 + t3 + t4 + t5 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 – ( O + M + I + T + S )

t1 + t2 + t3 + t4 + t5 = 25 – ( 12 ) = 13

Sehingga C(13+5-1,5-1) = C(17,4) = 17!/4!(17-4)! = 17!/4!.13! = 17.16.15.14 /4.3.2.1 = 2380

GEOMETRI DAN TRIGONOMETRI

1. (OMITS 2012)

Pada segitiga ITS, diketahui TS = 5, IS = 12 dan IT = 13 dengan titik O dan M berturut-turut terletak pada IT dan IS sedemikian hingga OM membagi segitiga ITS menjadi dua bagian yang sama luas. Tentukan panjang minimum untuk OM?

Jawab :

.                                                                        /|I      Untuk mencari OM perhatikan gambar

.                                                                    /    |         disamping!

.                                                               /         |          Bagaimana supaya OM minimum?

.                                                         /               |

.                                                     /                   |

.                                                /                        |M

.                                       O/                              |

.                                      /                                  |

.                                 /                                       |

.                       T /__________________| S

Anggap ΔITS seperti tampak pada gambar di atas, dengan IT = 13, IS = 12, dan TS = 5, jelas ΔITS adalah segitiga siku-siku serta OM membagi ΔITS menjadi 2 bagian yang sama luas.

Luas ΔIOM = 1/2.Luas ΔITS= 1/2. alas(TS). tinggi(IS) = 1/2.1/2. 5 . 12 = 15 Satuan luas

Luas ΔIOM = 1/2.IO.IM.sin <OIM = 1/2.IO.IM.5/13 = 15 <=> IO.IM = 6.13 = 78

Untuk mencari OM kita gunakan aturan cosinus,

OM^2 = IO^2 + IM^2 – 2. IO. IM. cos <OIM

OM^2 = IO^2 + IM^2 – 2. (6.13). (12/13)

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM akan diperoleh

OM^2 ≥2. IO.IM – 2. (6.13). (12/13)

OM^2 ≥2. IO.IM – 144

OM^2 ≥2. 78 – 144

OM^2 ≥ 156 – 144

OM^2 ≥ 12

OM ≥ √12

OM ≥ 2√3

Jadi panjang minimum OM adalah 2√3

2. (OMITS 2012)

Jika x= (√3+√2)^(1/2) dan tan θ = 1/6.(x^n + x^-n) dengan 0 ≤ θ ≤ 2Π,

maka nilai θ1 + θ2 adalah. …

Jawab :

x^n = [(√3+√2)^1/n]^n = √3+√2

x^-n = [(√3+√2)^1/n]^-n = √3-√2     (untuk yang ini anda rasionalkan)

tan θ = 1/6.(x^n + x^-n) = 1/6. [√3+√2 + √3-√2] = 1/6. [2√3] = 1/3.√3

tan θ = 1/3.√3                   dengan 0 ≤ θ ≤ 2Π

tan θ = tan 30^0

θ = 30^0 + k. 180^0

Untuk k = 0  ====> θ1 = 30^0 + 0. 180^0 = 30^0              (mm=memenuhi)

Untuk k = 1  ====> θ2 = 30^0 + 1. 180^0 = 210^0             (mm)

Untuk k = 2  ====> θ3 = 30^0 + 2. 180^0 = 390^0             ™

Sehingga θ1 + θ2 = 30^0 + 210^0 = 240^0

3. (OMITS 2012)

Sebuah persamaan trigonometri

√[1/tan 2θ.[2(tan 2θ – tan θ)]] = √ i  +  √-i

dengan i = √-1

Jika 0 ≤ θ ≤ 2Π dan θ1 ≥ θ2, maka harga dari cot θ1 – csc θ2 adalah …

Jawab :

Untuk

√[1/tan 2θ.[2(tan 2θ – tan θ)]] = √ i  +  √-i      kuadratkan masing-masing ruas, maka akan kita dapatkan

1/tan 2θ.[2(tan 2θ – tan θ)] = i + (-i) +2√-(i ^2)           (ingat √-(i ^2) = √-i .i = √ -(-1) = √1 = 1)

1/tan 2θ.[2(tan 2θ – tan θ)] = 2

2(tan 2θ – tan θ) = 2 tan 2θ

2tan 2θ -2 tan θ = 2 tan 2θ

tan θ = 0      dengan menggunakan persamaan untuk rumus tangen

θ = 0 + k. Π  = k. Π

untuk k = 0 ===> θ1 = 0

untuk k = 1 ===> θ2 = Π

untuk k = 2 ===> θ3 = 2Π

Dari soal Jika θ1 ≥ θ2, ambil θ1 = 2Π  dan θ2 = Π

Sehingga cot 2Π – cosec Π = cot 360^0 – cosec 180^0 = ∞ – ∞

Jadi sebagai kesimpulannya melihat hasilnya adalah cot 2Π – cosec Π = cot 360^0 – cosec 180^0 = tidak didefinisikan untuk hasil pengurangan dari 2 bilangan ini.

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggarwetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. dan untuk tingkat menengah saya tempuh di MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. Sedang untuk tingkat SMA saya menamatkannya di MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Setelah itu saya Kuliah di IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009
Pos ini dipublikasikan di Matematika, Pendidikan dan tag . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s