Soal-Jawab-Pembahasan 4

Bagian ke 4 Soal dan Pembahasan 

Membahas soal memang kadang mengasyikkan itu kalau ketemu jawabannya, kalau belum jawabannya ya sabar dulu, yang penting tetap semangat

Berikut masih contoh soal pembahasan dari Olimpiade matematika ITS 2012 (OMITS 2012)

1. (OMITS 2012)

Tentukan nilai dari 

1/[1.2.3.4] + 1/[2.3.4.5] + 1/[3.4.5.6] + … + 1/[2012.2013.2014.2015]

Jawab :

Sebenarnya soal seperti ini mudah ditebak pasti menggunakan prinsip teleskopis, yaitu saling menghabiskan suku sebelahnya

1/[1.2.3.4] + 1/[2.3.4.5] + 1/[3.4.5.6] + … + 1/[2012.2013.2014.2015]

Pecahlah masing masing-masing bilangan pecahan di atas menjadi penguran 2 bilangan pecahan dari bilangan(penyebut) pembentuknya

Perhatikan untuk

 1/[1.2.3.4] = 1/[1.2.3] – 1/[2.3.4] = 1/6 – 1/24 = 3/24

 1/[2.3.4.5] = 1/[2.3.4] – 1/[3.4.5] = 1/24 – 1/60 = 3/120

…….

…….

……

dst

1/[2012.2013.2014.2015] = 1/[2012.2013.2014] – 1/[2013.2014.2015] 

Perhatikan dengan prinsip teleskopis akan terlihat unik

Kita tulis ulang untuk langkah solusi di awal tadi, yaitu

( 1/1.2.3 – 1/2.3.4) + ( 1/2.3.4 – 1/3.4.5 ) + . . . + ( 1/2012.2013.2014 – 1/2013.2014.2015 ) 

= ( 1/6 – 1/24) + ( 1/24 – 1/60 ) + . . . + ( 1/2012.2013.2014 – 1/2013.2014.2015 )

Karena pecahan satu suku menjadi dua suku tadi mengandung pembilang 3 masing semuanya dikalikan dengan 1/3, sehingga 

= 1/3 . ( 1/6 – 1/24 + 1/24 – 1/60 + . . . +  1/2012.2013.2014 – 1/2013.2014.2015 )

Sekali lagi kalau anda perhatikan suku kedua yaitu -1/24 akan habis dengan + 1/24

Jadi ,

 1/[1.2.3.4] + 1/[2.3.4.5] + 1/[3.4.5.6] + … + 1/[2012.2013.2014.2015] 

= 1/3 . ( 1/6 – 1/2013.2014.2015 )

2. (OMITS 2012)

Pada suatu permainan, STIMO meminta anda untuk memikirkan sebuah bilangan tiga digit ITS, dimana I, T dan S adalah digit-digit basis 10. Kemudian STIMO meminta anda untuk memikirkan bilangan baru dengan bentuk IST, TSI, TIS, STI dan SIT kemudian menjumlahkannya. Jika kelima bilangan baru berjumlah 3194 dan STIMO dapat menebak bilangan yang anda pikirkan di awal tadi, Berapakah bilangan ITS itu?

Jawab :

Sebuah bilangan yang terdiri dari 3 digit(masing-masing berbeda) kalau digitnya dipermutasikan akan berupa 6 bilangan yang masing-masing juga berupa bilangan 3 digit pula.

Dan jumlah hasil permutasi tadi adalah 222 kali dari jumlah salah satu bilangan yang dipermutasikan

Misalkan bilangan itu I, T dan S dan hasil permutasinya ITS,IST, SIT, STI, TIS dan TSI

maka

ITS = 100I + 10 T + S

IST = 100I + 10 S + T

SIT = 100S + 10 I + T

STI = 100S + 10 T + I

TIS = 100T + 10 I + S

TSI = 100T + 10 S + I

________________   +

ITS+IST+SIT+STI+TIS+TSI= 100.(2I + 2T + 2S) + 10.(2I + 2T + 2S) + (2I + 2T + 2S)

= 200.(I+T+S) + 20.(I+T+S) + 2.(I+T+S) = 222.(I+T+S)

Pada soal terdapat fakta

222.(I+T+S) – ITS = 3194

Karena ITS dengan I≠T≠S maka dapat dipastikan ITS adalah bilangan genap. Untuk jumlah digit ITS karena ketiganya berbeda nilai paling tinggi adalah 24(dengan memisalkan I = 7, T = 8 dan S = 9) dan paling rendah bernilai 6

Dengan cara coba-coba kita akan tertuju pada jawaban yang diinginkan.

Misal

  • 222 .24 = 5328 —–>tentunya ini kebanyakan
  • 222. 23 = 5106 —–>masih sama, kebanyakan
  • 222. 22 = 4884
  • 222. 21 = 4662
  • 222. 20 = 4440
  • 222. 19 = 4218
  • 222. 18 = 3996
  • 222. 17 = 3774
  • 222. 16 = 3552 ——————————–> mungkin
  • 222. 15 = 3330 —–> mulai mengecil
  • 222. 14 = 3108 —–> tidak mungkin

Ambil 3552, dengan mengambil bilangan bebas yang terdiri 3 digit berbeda dimungkinkan akan ketemu jawabannya

Andai ITS = 358 (jumlahnya = 16)

222 .(3+5+8) – 358 = 3194

Jadi bilangan yang kita pikirkan tadi adalah 358

3. (OMITS 2012)

Jika I, T dan S adalah digit-digit yang memenuhi

IST + TIS + TSI +STI + SIT – 1 = 2012
, tentukan bilangan ITS itu?

Jawab :

Perhatikan soal di atas

IST + TIS + TSI +STI + SIT – 1 = 2012

IST + TIS + TSI +STI + SIT  = 1 + 2012 = 2013

Perhatikan pada pembahasan no. 2 di atas

222.(Bilangan yang diinginkan) – ITS = 2013

222.(I+T+S) – ITS = 2013

Misal

222. 10 = 2220 —-> mungkin

Ambil saja 10 = 2 + 1 + 7, sehingga

222. (2 + 1 + 7) – 217 =2013

Jadi ITS = 217

4. (OMITS 2012)

Di sebuah perpustakaan terdapat beberapa orang yang suka membaca buku. Pada hari selasa 31 Januari 2012 terdapat 5 orang ke perpustakaan meminjam buku, mereka adalah Puput, Nadia, Dina, Dika dan Aulia. jika Puput datang untuk datang ke perpustakaan tiap 2 hari sekali, Nadia 3 hari sekali, Dina tiap 5 hari sekali, Dika tiap 7 hari sekali dan Aulia setiap 11 hari sekali, maka mereka berlima akan meminjam buku secara bersama-sama lagi pada hari selasa tanggal …

Jawab :

Gunakan KPK untuk soal di atas

Jika tidak pada tahun kabisat misal 2013, 2014, 2015, 2017, 2018 dst, maka

Januari 31 hari                              Juli 31 hari

Februari 28 hari                           Agustus 31 hari

Maret 31 hari                               September 30 hari

April 30 hari                                Oktober 31 hari

Mei 31 hari                                   Nopember 30 hari

Juni 30 hari                                  Desember 31 hari

_______________________________________   +

sehingga jumlah hari dalam 1 tahun = 365 hari

Jika pada tahun kabisat maka maka jumlah hari dalam 1 tahun = 366 hari

Sehingga KPK dari 2, 3, 5, 7, 11 adalah = 2310

Perhatikan untuk tahun

2012         2013     2014    2015     2016     2017     Januari 2018   Februar1  Maret April Mei

335hari    365       365      365        366       365      31                       28             31         30     29 = 2310

Jadi mereka bersama-sama lagi pada 29 Mei 2018

5. (OMITS 2012)

Banyaknya bilangan yang tidak lebih dari 2012 dan jika dibagi dengan 2, 3, 4, 5, dan 7 akan bersisa 1 adalah …

Jawab :

Misalkan bilangan itu X, maka

a1 : X ≡ 1 (mod 2)

a2 : X ≡ 1 (mod 3)

a3 : X ≡ 1 (mod 4)

a4 : X ≡ 1 (mod 5)

a5 : X ≡ 1 (mod 7)

Sehingga X = 420k + 1 dan kalua yang diinginkan ≤ 2012

Maka bilangan itu adalah

X1 = 421

X2 = 841

X3 = 1261

X4 = 1681

X5 = 2101 —–> tidak memenuhi

Jadi ada 4 bilangan

Tentang ahmadthohir1089

Nama saya Ahmad Thohir, asli orang Purwodadi lahir di Grobogan 02 Februari 1980. Pendidikan : Tingkat dasar lulus dari MI Nahdlatut Thullab di desa Manggar Wetan,kecamatan Godong lulus tahun 1993. Tingkat menengah MTs Nahdlatut Thullab Manggar Wetan lulus tahun 1996. MA Futuhiyyah-2 Mranggen, Demak lulus tahun 1999. Kuliah IKIP PGRI Semarang pada fakultas FPMIPA Pendidikan Matematika lulus tahun 2004. Pekerjaan : Sebagai guru (PNS DPK Kemenag) mapel matematika di MA Futuhiyah Jeketro, Gubug. Pengalaman mengajar : 1. GTT di MTs Miftahul Mubtadiin Tambakan Gubug tahun 2003 s/d 2005 2. GTT di SMK Negeri 3 Semarang 2005 s/d 2009 3. GT di MA Futuhiyah Jeketro Gubug sejak 1 September 2009 Hobi : Membaca, mendengarkan musik dll
Tulisan ini dipublikasikan di Matematika, Pendidikan dan tag . Tandai permalink.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s